आयतन तत्व

गणित में, एक आयतन तत्व विभिन्न समन्वय प्रणालियों जैसे गोलाकार समन्वय प्रणाली और बेलनाकार समन्वय प्रणाली में आयतन के संबंध में अभिन्न ए फ़ंक्शन (गणित) के लिए एक साधन प्रदान करता है। इस प्रकार आयतन तत्व रूप की अभिव्यक्ति है

$\mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$

जहां $u_{i}$ निर्देशांक हैं, ताकि किसी भी सेट का आयतन हो $B$ द्वारा गणना की जा सकती है

$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में $\mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$, इसलिए $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$.

वॉल्यूम तत्व की धारणा तीन आयामों तक सीमित नहीं है: दो आयामों में इसे अक्सर क्षेत्र तत्व के रूप में जाना जाता है, और इस सेटिंग में यह सतह अभिन्न करने के लिए उपयोगी है। निर्देशांक के परिवर्तन के तहत, आयतन तत्व समन्वय परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक के पूर्ण मूल्य से बदलता है (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण द्वारा # कई चर के लिए प्रतिस्थापन)। यह तथ्य आयतन तत्वों को कई गुना पर एक प्रकार के माप (गणित) के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है। उन्मुखता विभेदक अनेक गुना पर, एक वॉल्यूम तत्व आम तौर पर वॉल्यूम फॉर्म से उत्पन्न होता है: एक शीर्ष डिग्री विभेदक रूप । एक गैर-ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड पर, वॉल्यूम तत्व आमतौर पर (स्थानीय रूप से परिभाषित) वॉल्यूम फॉर्म का निरपेक्ष मान होता है: यह मैनिफोल्ड|1-घनत्व पर घनत्व को परिभाषित करता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आयतन तत्व

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, आयतन तत्व कार्टेशियन निर्देशांक के अंतर के उत्पाद द्वारा दिया जाता है

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.$

प्रपत्र की विभिन्न समन्वय प्रणालियों में $x=x(u_{1},u_{2},u_{3})$, $y=y(u_{1},u_{2},u_{3})$, $z=z(u_{1},u_{2},u_{3})$, समन्वय परिवर्तन का आयतन तत्व जैकोबियन_मैट्रिक्स_और_निर्धारक (निर्धारक):

$\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक (गणितीय सम्मेलन) में

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}$

जैकोबियन निर्धारक है

$\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi$

ताकि

$\mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .$

इसे इस तथ्य के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है कि विभेदक रूप पुलबैक के माध्यम से बदल जाते हैं $F^{*}$ जैसा

$F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$

एक रैखिक उपस्थान का आयतन तत्व

एन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस 'आर' के रैखिक उप-स्थान पर विचार करेंⁿ जो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टरों के संग्रह द्वारा फैला हुआ है

$X_{1},\dots ,X_{k}.$

उपस्थान के आयतन तत्व को खोजने के लिए, रैखिक बीजगणित से इस तथ्य को जानना उपयोगी है कि समानांतर चतुर्भुज का आयतन $X_{i}$ के ग्रामियन मैट्रिक्स के निर्धारक का वर्गमूल है $X_{i}$:

${\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.$

उप-स्थान में किसी भी बिंदु p को निर्देशांक दिए जा सकते हैं $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})$ ऐसा है कि

$p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.$

एक बिंदु p पर, यदि हम भुजाओं वाला एक छोटा सा समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं $\mathrm {d} u_{i}$, तो उस समांतर चतुर्भुज का आयतन ग्रैमियन मैट्रिक्स के निर्धारक का वर्गमूल है

${\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.$

इसलिए यह रैखिक उपस्थान में आयतन रूप को परिभाषित करता है।

मैनिफोल्ड्स का आयतन तत्व

See also: Riemannian volume form

आयाम n के एक ओरिएंटेड रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, वॉल्यूम तत्व इकाई स्थिर फ़ंक्शन के हॉज दोहरे के बराबर एक वॉल्यूम रूप है, $f(x)=1$:

$\omega =\star 1.$

समान रूप से, वॉल्यूम तत्व बिल्कुल लेवी-सिविटा टेंसर है $\epsilon$. निर्देशांक में,

$$\omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$$

कहाँ $\det g$ समन्वय प्रणाली में लिखे गए मीट्रिक टेंसर जी का निर्धारक है।

किसी सतह का क्षेत्रफल तत्व

वॉल्यूम तत्व का एक सरल उदाहरण एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड दो-आयामी सतह पर विचार करके खोजा जा सकता है। ऐसे आयतन तत्व को कभी-कभी क्षेत्र तत्व भी कहा जाता है। एक उपसमुच्चय पर विचार करें $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ और एक मैपिंग फ़ंक्शन

$\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$

इस प्रकार अंतर्निहित सतह को परिभाषित करना $\mathbb {R} ^{n}$. दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्रफल है, और आयतन तत्व सतह के हिस्सों के क्षेत्रफल को निर्धारित करने का एक तरीका देता है। इस प्रकार आयतन तत्व रूप की अभिव्यक्ति है

$f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}$

जो किसी को इंटीग्रल की गणना करके सतह पर पड़े सेट बी के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है

$\operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.$

यहां हम सतह पर आयतन तत्व पाएंगे जो सामान्य अर्थ में क्षेत्र को परिभाषित करता है। मैपिंग का जैकोबियन मैट्रिक्स है

$\lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}$

सूचकांक के साथ i 1 से n तक चल रहा है, और j 1 से 2 तक चल रहा है। n-आयामी स्थान में यूक्लिडियन मीट्रिक (गणित) एक मीट्रिक को प्रेरित करता है $g=\lambda ^{T}\lambda$ सेट यू पर, मैट्रिक्स तत्वों के साथ

$g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.$

मीट्रिक का निर्धारक द्वारा दिया गया है

$\det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )$

एक नियमित सतह के लिए, यह निर्धारक गैर-लुप्त नहीं होता है; समकक्ष रूप से, जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक 2 है।

अब एक भिन्नता द्वारा दिए गए यू पर निर्देशांक के परिवर्तन पर विचार करें

$f\colon U\to U,$

ताकि निर्देशांक $(u_{1},u_{2})$ के संदर्भ में दिए गए हैं $(v_{1},v_{2})$ द्वारा $(u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})$. इस परिवर्तन का जैकोबियन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

$F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.$

नए निर्देशांक में, हमारे पास है

${\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}$

और इसलिए मीट्रिक इस प्रकार बदल जाती है

${\tilde {g}}=F^{T}gF$

कहाँ ${\tilde {g}}$ वी समन्वय प्रणाली में पुलबैक मीट्रिक है। निर्धारक है

$\det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.$

उपरोक्त निर्माण को देखते हुए, अब यह समझना आसान हो जाना चाहिए कि निर्देशांक के अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन के तहत वॉल्यूम तत्व कैसे अपरिवर्तनीय है।

दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्रफल है। एक उपसमुच्चय का क्षेत्रफल $B\subset U$ अभिन्न द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}$

इस प्रकार, किसी भी समन्वय प्रणाली में, आयतन तत्व एक ही अभिव्यक्ति लेता है: निर्देशांक के परिवर्तन के तहत आयतन तत्व की अभिव्यक्ति अपरिवर्तनीय है।

ध्यान दें कि उपरोक्त प्रस्तुति में दो आयामों के बारे में कुछ भी विशेष नहीं था; उपरोक्त तुच्छ रूप से मनमाने आयामों का सामान्यीकरण करता है।

उदाहरण: गोला

उदाहरण के लिए, 'R' में मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या r वाले गोले पर विचार करें³. इसे मानचित्र के साथ गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है

$\phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).$

तब

$g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},$

और क्षेत्र तत्व है

$\omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.$

यह भी देखें

• Cylindrical coordinate system § Line and volume elements
• Spherical coordinate system § Integration and differentiation in spherical coordinates
• सतह अभिन्न
• आयतन अभिन्न

संदर्भ

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8