एपेरी का स्थिरांक

एपेरी का स्थिरांक

Rationality	Irrational
Symbol	ζ(3)
Representations
Decimal	1.2020569031595942854...
Continued fraction	$1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}$ Unknown whether periodic Infinite
Binary	1.0011001110111010...
Hexadecimal	1.33BA004F00621383...

गणित में, एपेरी स्थिरांक धनात्मक घन (बीजगणित) के गुणनात्मक व्युत्क्रम का योग है। यानी इसे संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है

${\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right),\end{aligned}}$

कहाँ ζ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है। इसका अनुमानित मूल्य है

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292… (sequence A002117 in the OEIS).

स्थिरांक (गणित) का नाम रोजर एपेरी के नाम पर रखा गया है। यह कई भौतिक समस्याओं में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है, जिसमें क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन के जाइरोमैग्नेटिक अनुपात के दूसरे और तीसरे क्रम के शब्द शामिल हैं। यह यादृच्छिक न्यूनतम फैले हुए पेड़ों के विश्लेषण में भी उठता है और भागफल में घातीय कार्यों से जुड़े कुछ अभिन्न अंग को हल करते समय गामा फ़ंक्शन के साथ संयोजन में, जो कभी-कभी भौतिकी में दिखाई देते हैं, उदाहरण के लिए, डेबी मॉडल और स्टीफन-बोल्ट्ज़मान कानून के द्वि-आयामी मामले का मूल्यांकन करते समय।

अपरिमेय संख्या

Unsolved problem in mathematics:

Is Apéry's constant transcendental?

(more unsolved problems in mathematics)

ζ(3) को फ्रांसीसी गणितज्ञ रोजर एपेरी के नाम पर एपेरी स्थिरांक नाम दिया गया, जिन्होंने 1978 में साबित किया कि यह एक अपरिमेय संख्या है। इस परिणाम को एपेरी प्रमेय के रूप में जाना जाता है। मूल प्रमाण जटिल और समझने में कठिन है, और सरल प्रमाण बाद में मिले। फ्रिट्स_बेउकर्स के सरलीकृत अतार्किकता प्रमाण में ज्ञात ट्रिपल इंटीग्रल के इंटीग्रैंड का अनुमान लगाना शामिल है ζ(3),

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,$ लीजेंड्रे बहुपद द्वारा।

विशेष रूप से, वैन डेर पॉर्टन का लेख इस बात पर ध्यान देकर इस दृष्टिकोण का वर्णन करता है

$I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},$

कहाँ $|I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}$, $P_{n}(z)$ लीजेंड्रे बहुपद और उसके बाद के क्रम हैं $b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z}$ पूर्णांक या लगभग पूर्णांक हैं।

यह अभी भी ज्ञात नहीं है कि एपेरी का स्थिरांक पारलौकिक संख्या है या नहीं।

श्रृंखला प्रतिनिधित्व

शास्त्रीय

मौलिक श्रृंखला के अतिरिक्त:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},$

लियोनहार्ड यूलर ने श्रृंखला का प्रतिनिधित्व दिया:

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)$

1772 में, जिसे बाद में कई बार पुनः खोजा गया।

तेज़ अभिसरण

19वीं शताब्दी के बाद से, कई गणितज्ञों ने दशमलव स्थानों की गणना के लिए अभिसरण त्वरण श्रृंखला पाई है ζ(3). 1990 के दशक से, इस खोज ने तेज़ अभिसरण दरों के साथ कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल श्रृंखला पर ध्यान केंद्रित किया है (अनुभाग #ज्ञात अंक देखें)।

निम्नलिखित श्रृंखला का प्रतिनिधित्व एंड्री मार्कोव|ए द्वारा पाया गया था। 1890 में ए. मार्कोव, 1953 में हजोर्टनेस द्वारा पुनः खोजा गया, और एक बार फिर से खोजा गया और 1979 में एपेरी द्वारा व्यापक रूप से विज्ञापित किया गया:

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.$

निम्नलिखित श्रृंखला प्रतिनिधित्व प्रति पद 1.43 नए सही दशमलव स्थान देता है:

$\zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.$

निम्नलिखित श्रृंखला प्रतिनिधित्व प्रति पद 3.01 नए सही दशमलव स्थान देता है:

$\zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.$

निम्नलिखित श्रृंखला प्रतिनिधित्व प्रति पद 5.04 नए सही दशमलव स्थान देता है:

$\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.$

इसका उपयोग कई मिलियन सही दशमलव स्थानों के साथ एपेरी के स्थिरांक की गणना करने के लिए किया गया है। निम्नलिखित श्रृंखला प्रतिनिधित्व प्रति पद 3.92 नए सही दशमलव स्थान देता है:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.$

अंक दर अंक

1998 में, ब्रॉडहर्स्ट ने एक श्रृंखला प्रतिनिधित्व दिया जो मनमाने ढंग से बाइनरी अंकों की गणना करने की अनुमति देता है, और इस प्रकार, स्थिरांक को लगभग रैखिक समय और लघुगणकीय स्थान में प्राप्त किया जा सकता है।

थ्यू-मोर्स क्रम

टोथ द्वारा 2022 में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व पाया गया:

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}$

कहाँ $(t_{n})_{n\geq 0}$ है $n^{\rm {th}}$ थ्यू-मोर्स अनुक्रम की अवधि। वास्तव में, यह निम्नलिखित सूत्र का एक विशेष मामला है (सभी के लिए मान्य)। $s$ वास्तविक भाग से अधिक के साथ $1$):

$(2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).$

अन्य

रामानुजन द्वारा निम्नलिखित श्रृंखला का प्रतिनिधित्व पाया गया:

$\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.$

निम्नलिखित श्रृंखला का प्रतिनिधित्व 1998 में साइमन प्लॉफ़े द्वारा पाया गया था:

$\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.$

Srivastava (2000) ने कई शृंखलाएँ एकत्र कीं जो एपेरी के स्थिरांक से मेल खाती हैं।

अभिन्न प्रतिनिधित्व

एपेरी के स्थिरांक के लिए कई अभिन्न प्रतिनिधित्व हैं। उनमें से कुछ सरल हैं, अन्य अधिक जटिल हैं।

अधिक जटिल सूत्र

अन्य सूत्र शामिल हैं

$\zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx$

और

$\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.$

भी,

${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}$

गामा फ़ंक्शन के डेरिवेटिव से एक कनेक्शन

$\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)$

गामा और बहुविवाह समारोह के लिए ज्ञात अभिन्न सूत्रों के माध्यम से विभिन्न अभिन्न प्रतिनिधित्वों की व्युत्पत्ति के लिए भी बहुत उपयोगी है।

ज्ञात अंक

एपेरी स्थिरांक के ज्ञात अंकों की संख्या ζ(3) पिछले दशकों के दौरान नाटकीय रूप से वृद्धि हुई है। यह कंप्यूटर के बढ़ते प्रदर्शन और एल्गोरिथम सुधार दोनों के कारण है।

Number of known decimal digits of Apéry's constant ζ(3)

Date	Decimal digits	Computation performed by
1735	16	Leonhard Euler
Unknown	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1000000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
May 1997	10536006	Patrick Demichel
February 1998	14000074	Sebastian Wedeniwski
March 1998	32000213	Sebastian Wedeniwski
July 1998	64000091	Sebastian Wedeniwski
December 1998	128000026	Sebastian Wedeniwski
September 2001	200001000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
February 2002	600001000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
February 2003	1000000000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
April 2006	10000000000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
January 21, 2009	15510000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
February 15, 2009	31026000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
September 17, 2010	100000001000	Alexander J. Yee
September 23, 2013	200000001000	Robert J. Setti
August 7, 2015	250000000000	Ron Watkins
December 21, 2015	400000000000	Dipanjan Nag
August 13, 2017	500000000000	Ron Watkins
May 26, 2019	1000000000000	Ian Cutress
July 26, 2020	1200000000100	Seungmin Kim

पारस्परिक

का व्युत्क्रम (गणित)। ζ(3) (0.8319073725807... (sequence A088453 in the OEIS)) यह संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए कोई भी तीन सकारात्मक पूर्णांक, इस अर्थ में अपेक्षाकृत अभाज्य होंगे कि जैसे N अनंत तक पहुंचता है, संभावना है कि तीन सकारात्मक पूर्णांक से कम N यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना गया एक सामान्य अभाज्य कारक इस मूल्य के करीब नहीं आएगा। (n धनात्मक पूर्णांकों की प्रायिकता है 1/ζ(n).) उसी अर्थ में, यह संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक सकारात्मक पूर्णांक एक से बड़े पूर्णांक के घन से समान रूप से विभाज्य नहीं होगा। (एन-वें घात से विभाज्यता न होने की प्रायिकता है 1/ζ(n).)

विस्तार ζ(2n + 1)

Main article: Particular values of the Riemann zeta function

कई लोगों ने एपेरी के प्रमाण को आगे बढ़ाने की कोशिश की है ζ(3) विषम तर्कों के साथ जीटा फ़ंक्शन के अन्य मानों के लिए तर्कहीन है। असंख्य संख्याएँ ζ(2n + 1) तर्कहीन होना चाहिए, और कम से कम एक संख्या ζ(5), ζ(7), ζ(9), और ζ(11) तर्कहीन होना चाहिए.

यह भी देखें

• रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन
• बेसल समस्या - ζ(2)
• व्युत्क्रमों के योग की सूची

संदर्भ

• Amdeberhan, Tewodros (1996), "Faster and faster convergent series for $\zeta (3)$", El. J. Combinat., 3 (1).
• Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron (1997), "Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method", El. J. Combinat., 4 (2), arXiv:math/9804121, Bibcode:1998math......4121A.
• Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de $\zeta 2$ et $\zeta 3$", Astérisque, 61: 11–13.
• Berndt, Bruce C. (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer.
• Beukers, F. (1979), "A Note on the Irrationality of $\zeta (2)$ and $\zeta (3)$", Bull. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112/blms/11.3.268.
• Blagouchine, Iaroslav V. (2014), "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results", The Ramanujan Journal, 35 (1): 21–110, doi:10.1007/s11139-013-9528-5, S2CID 120943474.
• Broadhurst, D.J. (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of $\zeta (3)$ and $\zeta (5)$, arXiv:math.CA/9803067.
• Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in Latina), 17: 173–204, retrieved 2008-05-18.
• Evgrafov, M. A.; Bezhanov, K. A.; Sidorov, Y. V.; Fedoriuk, M. V.; Shabunin, M. I. (1969), A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian], Moscow: Nauka.
• Frieze, A. M. (1985), "On the value of a random minimum spanning tree problem", Discrete Applied Mathematics, 10 (1): 47–56, doi:10.1016/0166-218X(85)90058-7, MR 0770868.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), The Apéry's constant: $\zeta (3)$.
• Hjortnaes, M. M. (August 1953), Overføring av rekken $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)$ til et bestemt integral, in Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund, Sweden: Scandinavian Mathematical Society, pp. 211–213.
• Jensen, Johan Ludwig William Valdemar (1895), "Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver", L'Intermédiaire des Mathématiciens, II: 346–347.
• Markov, A. A. (1890), "Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes", Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, No. 9: 18pp.
• Mohammed, Mohamud (2005), "Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7: 11–24, doi:10.46298/dmtcs.342.
• Mollin, Richard A. (2009), Advanced Number Theory with Applications, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, p. 220, ISBN 9781420083293.
• Plouffe, Simon (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II.
• Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4): 267–270, arXiv:math/0008051, Bibcode:2000CRASM.331..267R, doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4, S2CID 119678120.
• Srivastava, H. M. (December 2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, 4 (4): 569–599, doi:10.11650/twjm/1500407293, OCLC 36978119, retrieved 2015-08-22.
• van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $\zeta (3)$" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, S2CID 121589323, archived from the original (PDF) on 2011-07-06.
• Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe (ed.), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
• Wedeniwski, Sebastian (13 December 1998), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
• Yee, Alexander J. (2009), Large Computations.
• Yee, Alexander J. (2017), Zeta(3) - Apéry's Constant

• Nag, Dipanjan (2015), Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record
• Zudilin, Wadim (2001), "One of the numbers $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$, $\zeta (11)$ is irrational", Russ. Math. Surv., 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427, S2CID 250734661.
• Zudilin, Wadim (2002), An elementary proof of Apéry's theorem, arXiv:math/0202159, Bibcode:2002math......2159Z.

अग्रिम पठन

• Ramaswami, V. (1934), "Notes on Riemann's $\zeta$-function", J. London Math. Soc., 9 (3): 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165.
• Nahin, Paul J. (2021). In pursuit of zeta-3 : the world's most mysterious unsolved math problem. Princeton. ISBN 978-0-691-22759-7. OCLC 1260168397.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W., "Apéry's constant", MathWorld
• Plouffe, Simon, Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places, archived from the original on 2008-02-05, retrieved 2005-07-29
• Setti, Robert J. (2015), Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits, archived from the original on 2013-10-08.

This article incorporates material from Apéry's constant on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.