2 का प्राकृतिक लघुगणक
2 (संख्या) के प्राकृतिक लघुगणक का दशमलव मान (sequence A002162 in the OEIS) लगभग है
अन्य आधारों में 2 का लघुगणक लघुगणकीय सर्वसमिकाओं से प्राप्त किया जाता है
विशेष रूप से ब्रिग्सियन लघुगणक है (OEIS: A007524)
इस संख्या का व्युत्क्रम 10 का द्विआधारी लघुगणक है:
लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, 0 और 1 के अलावा किसी भी प्राकृतिक संख्या का प्राकृतिक लघुगणक (अधिक सामान्यतः, 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक बीजगणितीय संख्या का) एक पारलौकिक संख्या है।
श्रृंखला प्रतिनिधित्व
बढ़ती वैकल्पिक भाज्य
- यह प्रसिद्ध हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) # वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला है।
बाइनरी राइजिंग कॉन्स्टेंट फैक्टोरियल
अन्य श्रृंखला प्रतिनिधित्व
- का उपयोग करते हुए
- (दशकोणीय संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग)
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन को शामिल करना
(γ यूलर स्थिरांक है|यूलर-माशेरोनी स्थिरांक और ζ रिमेंन जीटा फंक्शन|रिमैन का जीटा फंक्शन।)
बीबीपी-प्रकार का प्रतिनिधित्व
(बेली-बोरवीन-प्लॉफ़ी फ़ॉर्मूला के बारे में और देखें। बेली-बोरवीन-प्लॉफ़ी (बीबीपी)-प्रकार के निरूपण।)
प्राकृतिक लघुगणक के लिए तीन सामान्य श्रृंखलाओं को सीधे 2 पर लागू करना:
उन्हें लागू करना देता है:
उन्हें लागू करना देता है:
उन्हें लागू करना देता है:
इंटीग्रल के रूप में प्रतिनिधित्व
एकीकरण के परिणाम के रूप में 2 का प्राकृतिक लघुगणक अक्सर होता है। इसके कुछ स्पष्ट सूत्रों में शामिल हैं:
अन्य अभ्यावेदन
पियर्स विस्तार है OEIS: A091846
एंगेल विस्तार है OEIS: A059180
स्पर्शरेखा विस्तार है OEIS: A081785
सरल निरंतर अंश विस्तार है OEIS: A016730
- ,
जो तर्कसंगत सन्निकटन उत्पन्न करता है, जिनमें से पहले कुछ 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 और 61/88 हैं।
- ,[1]
- के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
बूटस्ट्रैपिंग अन्य लघुगणक
का मान दिया गया है ln 2, अन्य पूर्णांकों के लघुगणक की गणना करने की एक योजना अभाज्य संख्याओं के लघुगणक को सारणीबद्ध करना है और अगली परत में समग्र संख्या संख्याओं के लघुगणक हैं c उनके प्रमुख कारकों की तालिका के आधार पर
यह काम करता है
prime | approximate natural logarithm | OEIS |
---|---|---|
2 | 0.693147180559945309417232121458 | A002162 |
3 | 1.09861228866810969139524523692 | A002391 |
5 | 1.60943791243410037460075933323 | A016628 |
7 | 1.94591014905531330510535274344 | A016630 |
11 | 2.39789527279837054406194357797 | A016634 |
13 | 2.56494935746153673605348744157 | A016636 |
17 | 2.83321334405621608024953461787 | A016640 |
19 | 2.94443897916644046000902743189 | A016642 |
23 | 3.13549421592914969080675283181 | A016646 |
29 | 3.36729582998647402718327203236 | A016652 |
31 | 3.43398720448514624592916432454 | A016654 |
37 | 3.61091791264422444436809567103 | A016660 |
41 | 3.71357206670430780386676337304 | A016664 |
43 | 3.76120011569356242347284251335 | A016666 |
47 | 3.85014760171005858682095066977 | A016670 |
53 | 3.97029191355212183414446913903 | A016676 |
59 | 4.07753744390571945061605037372 | A016682 |
61 | 4.11087386417331124875138910343 | A016684 |
67 | 4.20469261939096605967007199636 | A016690 |
71 | 4.26267987704131542132945453251 | A016694 |
73 | 4.29045944114839112909210885744 | A016696 |
79 | 4.36944785246702149417294554148 | A016702 |
83 | 4.41884060779659792347547222329 | A016706 |
89 | 4.48863636973213983831781554067 | A016712 |
97 | 4.57471097850338282211672162170 | A016720 |
तीसरी परत में, परिमेय संख्याओं के लघुगणक r = a/b की गणना की जाती है ln(r) = ln(a) − ln(b), और जड़ों के लघुगणक के माध्यम से ln n√c = 1/n ln(c).
2 (संख्या) का लघुगणक इस अर्थ में उपयोगी है कि 2 की शक्तियाँ सघन रूप से वितरित हैं; शक्तियों का पता लगाना 2i शक्तियों के करीब {{math|bj}अन्य नंबरों की b तुलनात्मक रूप से आसान है, और श्रृंखला का प्रतिनिधित्व ln(b) को 2 से जोड़ कर पाए जाते हैं b लघुगणकीय पहचान के साथ।
उदाहरण
अगर ps = qt + d कुछ छोटे के साथ d, तब ps/qt = 1 + d/qt और इसलिए
चुनना q = 2 प्रतिनिधित्व करता है ln p द्वारा ln 2 और एक पैरामीटर की एक श्रृंखला d/qt कि कोई त्वरित अभिसरण के लिए छोटा रखना चाहता है। ले रहा 32 = 23 + 1, उदाहरण के लिए, उत्पन्न करता है
यह वास्तव में इस प्रकार के विस्तार की निम्न तालिका में तीसरी पंक्ति है:
s | p | t | q | d/qt |
---|---|---|---|---|
1 | 3 | 1 | 2 | 1/2 = 0.50000000… |
1 | 3 | 2 | 2 | −1/4 = −0.25000000… |
2 | 3 | 3 | 2 | 1/8 = 0.12500000… |
5 | 3 | 8 | 2 | −13/256 = −0.05078125… |
12 | 3 | 19 | 2 | 7153/524288 = 0.01364326… |
1 | 5 | 2 | 2 | 1/4 = 0.25000000… |
3 | 5 | 7 | 2 | −3/128 = −0.02343750… |
1 | 7 | 2 | 2 | 3/4 = 0.75000000… |
1 | 7 | 3 | 2 | −1/8 = −0.12500000… |
5 | 7 | 14 | 2 | 423/16384 = 0.02581787… |
1 | 11 | 3 | 2 | 3/8 = 0.37500000… |
2 | 11 | 7 | 2 | −7/128 = −0.05468750… |
11 | 11 | 38 | 2 | 10433763667/274877906944 = 0.03795781… |
1 | 13 | 3 | 2 | 5/8 = 0.62500000… |
1 | 13 | 4 | 2 | −3/16 = −0.18750000… |
3 | 13 | 11 | 2 | 149/2048 = 0.07275391… |
7 | 13 | 26 | 2 | −4360347/67108864 = −0.06497423… |
10 | 13 | 37 | 2 | 419538377/137438953472 = 0.00305254… |
1 | 17 | 4 | 2 | 1/16 = 0.06250000… |
1 | 19 | 4 | 2 | 3/16 = 0.18750000… |
4 | 19 | 17 | 2 | −751/131072 = −0.00572968… |
1 | 23 | 4 | 2 | 7/16 = 0.43750000… |
1 | 23 | 5 | 2 | −9/32 = −0.28125000… |
2 | 23 | 9 | 2 | 17/512 = 0.03320312… |
1 | 29 | 4 | 2 | 13/16 = 0.81250000… |
1 | 29 | 5 | 2 | −3/32 = −0.09375000… |
7 | 29 | 34 | 2 | 70007125/17179869184 = 0.00407495… |
1 | 31 | 5 | 2 | −1/32 = −0.03125000… |
1 | 37 | 5 | 2 | 5/32 = 0.15625000… |
4 | 37 | 21 | 2 | −222991/2097152 = −0.10633039… |
5 | 37 | 26 | 2 | 2235093/67108864 = 0.03330548… |
1 | 41 | 5 | 2 | 9/32 = 0.28125000… |
2 | 41 | 11 | 2 | −367/2048 = −0.17919922… |
3 | 41 | 16 | 2 | 3385/65536 = 0.05165100… |
1 | 43 | 5 | 2 | 11/32 = 0.34375000… |
2 | 43 | 11 | 2 | −199/2048 = −0.09716797… |
5 | 43 | 27 | 2 | 12790715/134217728 = 0.09529825… |
7 | 43 | 38 | 2 | −3059295837/274877906944 = −0.01112965… |
के प्राकृतिक लघुगणक से शुरू q = 10 कोई इन पैरामीटर का उपयोग कर सकता है:
s | p | t | q | d/qt |
---|---|---|---|---|
10 | 2 | 3 | 10 | 3/125 = 0.02400000… |
21 | 3 | 10 | 10 | 460353203/10000000000 = 0.04603532… |
3 | 5 | 2 | 10 | 1/4 = 0.25000000… |
10 | 5 | 7 | 10 | −3/128 = −0.02343750… |
6 | 7 | 5 | 10 | 17649/100000 = 0.17649000… |
13 | 7 | 11 | 10 | −3110989593/100000000000 = −0.03110990… |
1 | 11 | 1 | 10 | 1/10 = 0.10000000… |
1 | 13 | 1 | 10 | 3/10 = 0.30000000… |
8 | 13 | 9 | 10 | −184269279/1000000000 = −0.18426928… |
9 | 13 | 10 | 10 | 604499373/10000000000 = 0.06044994… |
1 | 17 | 1 | 10 | 7/10 = 0.70000000… |
4 | 17 | 5 | 10 | −16479/100000 = −0.16479000… |
9 | 17 | 11 | 10 | 18587876497/100000000000 = 0.18587876… |
3 | 19 | 4 | 10 | −3141/10000 = −0.31410000… |
4 | 19 | 5 | 10 | 30321/100000 = 0.30321000… |
7 | 19 | 9 | 10 | −106128261/1000000000 = −0.10612826… |
2 | 23 | 3 | 10 | −471/1000 = −0.47100000… |
3 | 23 | 4 | 10 | 2167/10000 = 0.21670000… |
2 | 29 | 3 | 10 | −159/1000 = −0.15900000… |
2 | 31 | 3 | 10 | −39/1000 = −0.03900000… |
ज्ञात अंक
यह अंकों की गणना में हाल के रिकॉर्ड की तालिका है ln 2. दिसंबर 2018 तक, इसकी गणना किसी भी अन्य प्राकृतिक लघुगणक की तुलना में अधिक अंकों तक की गई है[2][3] एक प्राकृतिक संख्या की, 1 को छोड़कर।
Date | Name | Number of digits |
---|---|---|
January 7, 2009 | A.Yee & R.Chan | 15,500,000,000 |
February 4, 2009 | A.Yee & R.Chan | 31,026,000,000 |
February 21, 2011 | Alexander Yee | 50,000,000,050 |
May 14, 2011 | Shigeru Kondo | 100,000,000,000 |
February 28, 2014 | Shigeru Kondo | 200,000,000,050 |
July 12, 2015 | Ron Watkins | 250,000,000,000 |
January 30, 2016 | Ron Watkins | 350,000,000,000 |
April 18, 2016 | Ron Watkins | 500,000,000,000 |
December 10, 2018 | Michael Kwok | 600,000,000,000 |
April 26, 2019 | Jacob Riffee | 1,000,000,000,000 |
August 19, 2020 | Seungmin Kim[4][5] | 1,200,000,000,100 |
September 9, 2021 | William Echols[6][7] | 1,500,000,000,000 |
यह भी देखें
- 72#Continuous कंपाउंडिंग का नियम, जिसमें ln 2 प्रमुखता से अंकित करता है
- अर्ध-आयु#घातीय क्षय में अर्ध-आयु के लिए सूत्र, जिसमें ln 2 प्रमुखता से अंकित करता है
- एर्दोस-मोजर समीकरण: सभी समाधान के एक अभिसरण (निरंतर अंश) से आना चाहिए ln 2.
संदर्भ
- Brent, Richard P. (1976). "Fast multiple-precision evaluation of elementary functions". J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314. S2CID 6761843.
- Uhler, Horace S. (1940). "Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26 (3): 205–212. Bibcode:1940PNAS...26..205U. doi:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033. PMID 16588339.
- Sweeney, Dura W. (1963). "On the computation of Euler's constant". Mathematics of Computation. 17 (82): 170–178. doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. MR 0160308.
- Chamberland, Marc (2003). "Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes" (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. Bibcode:2003JIntS...6...37C. MR 2046407. Archived from the original (PDF) on 2011-06-06. Retrieved 2010-04-29.
- Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construction of binomial sums for π[[Category: Templates Vigyan Ready]] and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas" (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237–246. MR 2346048.
{{cite journal}}
: URL–wikilink conflict (help) - Wu, Qiang (2003). "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers". Mathematics of Computation. 72 (242): 901–911. doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.
- ↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. (2004). "On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case" (PDF). Exper. Math. 13 (3): 278–280. doi:10.1080/10586458.2004.10504540. S2CID 17758274.
- ↑ "क्रंचर". numberworld.org. Retrieved 10 December 2018.
- ↑ "Natural log of 2". numberworld.org. Retrieved 10 December 2018.
- ↑ "Records set by y-cruncher". Archived from the original on 2020-09-15. Retrieved September 15, 2020.
- ↑ "Natural logarithm of 2 (Log(2)) world record by Seungmin Kim". 19 August 2020. Retrieved September 15, 2020.
- ↑ "Records set by y-cruncher". Retrieved October 26, 2021.
- ↑ "Natural Log of 2 - William Echols". Retrieved October 26, 2021.
बाहरी संबंध
- Weisstein, Eric W. "Natural logarithm of 2". MathWorld.
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "The logarithm constant:log 2".
- CS1 errors: URL–wikilink conflict
- Collapse templates
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- Navigational boxes without horizontal lists
- Sidebars with styles needing conversion
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- Created On 23/05/2023