एफकेजी असमानता

गणित में, फोर्टुइन-कास्टेलिन-गिनिब्रे (एफकेजी) असमानता एक सहसंबंध असमानता है, जो सीस एम. फ़ोर्टुइन, पीटर डब्ल्यू. कस्टेलीन, and जीन गिनिब्रे (1971) के कारण सांख्यिकीय यांत्रिकी और संयोजक या संभाव्य संयोजक (विशेष रूप से यादृच्छिक आरेख और संभाव्य विधि) में मौलिक उपकरण है। सामान्यतः, यह कहता है कि विभिन्न यादृच्छिक प्रणालियों में, बढ़ती घटनाएँ धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होती हैं, जबकि बढ़ती और घटती घटनाएँ ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध होती हैं। इसे यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल का अध्ययन करके प्राप्त किया गया था।

इस प्रकार आई.आई.डी. के विशेष स्थिति के लिए एक पूर्व संस्करण वैरिएबल को हैरिस असमानता कहा जाता है, जो थिओडोर एडवर्ड हैरिस (1960) के कारण है, नीचे देखें। एफकेजी असमानता का एक सामान्यीकरण नीचे हॉली असमानता (1974) है, और इससे भी आगे का सामान्यीकरण अहल्सवेडे-डेकिन "चार फलन प्रमेय (1978) है। इसके अतिरिक्त, इसका निष्कर्ष ग्रिफ़िथ असमानताओं के समान ही है, किन्तु परिकल्पनाएँ भिन्न हैं।

असमानता

मान लीजिए $X$ एक परिमित वितरणात्मक जालक है और μ उस पर एक गैर-ऋणात्मक फलन है जिसे (एफकेजी) जालक स्थिति को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है (कभी-कभी इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले फलन को लॉग सुपरमॉड्यूलर कहा जाता है) अर्थात

$\mu (x\wedge y)\mu (x\vee y)\geq \mu (x)\mu (y)$

इस प्रकार जालक में सभी x y के लिए $X$

इस प्रकार एफकेजी असमानता तब कहती है कि $X$ पर किन्हीं दो मोटोनोकली बढ़ते फलनो ƒ और g के लिए निम्नलिखित धनात्मक सहसंबंध असमानता है:

$\left(\sum _{x\in X}f(x)g(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}\mu (x)\right)\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right).$

इस प्रकार वही असमानता (धनात्मक सहसंबंध) तब सत्य होती है जब ƒ और g दोनों कम हो रहे हों। यदि एक बढ़ रहा है और दूसरा कम हो रहा है तो वह ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं और उपरोक्त असमानता विपरीत हो जाती है।

इसी प्रकार के कथन अधिक सामान्यतः तब प्रयुक्त होते हैं जब $X$ आवश्यक नहीं कि परिमित हो और यहां तक कि गणनीय भी नही होटी है। उस स्थिति में μ को एक सीमित माप होना चाहिए और जालक की स्थिति को सिलेंडर घटनाओं का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए ग्रिमेट (1999) की धारा 2.2 देखें।

इस प्रकार प्रमाण के लिए, फ़ोर्टुइन, कस्टेलीन & गिनिब्रे (1971) या अहल्सवेडे-डेकिन असमानता (1978) देखें। इसके अतिरिक्त, मार्कोव श्रृंखला युग्मन (संभावना) तर्क का उपयोग करते हुए, हॉली (1974) के कारण, नीचे अपरिष्कृत रेखाचित्र भी दिया गया है

शब्दावली में भिन्नता

इस प्रकार μ के लिए जालक स्थिति को 'बहुभिन्नरूपी कुल धनात्मकता' और कभी-कभी 'सशक्त एफकेजी स्थिति' भी कहा जाता है; शब्द ('गुणक') 'एफकेजी स्थिति' का प्रयोग पुराने साहित्य में भी किया जाता है।

इस प्रकार μ का वह गुण जिसके कारण बढ़ते फलन धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं, जिसको 'धनात्मक जुड़ाव' या 'अशक्त एफकेजी स्थिति' भी कहा जाता है।

इस प्रकार, एफकेजी प्रमेय को दोबारा दोहराया जा सकता है क्योंकि सशक्त एफकेजी स्थिति का तात्पर्य अशक्त एफकेजी स्थिति से है।

विशेष मामला: हैरिस असमानता

यदि जालक $X$ पूर्ण रूप से व्यवस्थित है, तो किसी भी माप μ के लिए जालक की स्थिति सामान्य रूप से संतुष्ट होती है। यदि माप μ एकसमान है, तो एफकेजी असमानता चेबीशेव की योग असमानता है: यदि दो बढ़ते फलन मान लेते हैं

$a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$ और $b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}$, तब

${\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.$

इस प्रकार अधिक सामान्यतः किसी भी संभाव्यता के लिए μ को $\mathbb {R}$ पर मापें और फलन और g को बढ़ाएं

$\int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),$

जो तुरंत अनुसरण करता है

$\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\geq 0.$

इस प्रकार जालक की स्थिति तब भी सामान्य रूप से संतुष्ट होती है जब जालक पूर्ण रूप से व्यवस्थित जालक $X=X_{1}\times \cdots \times X_{n}$, और $\mu =\mu _{1}\otimes \cdots \otimes \mu _{n}$ का प्रोडक्ट माप होती है । अधिकांशतः सभी कारक (जालक और माप दोनों) समान होते हैं अर्थात μ i.i.d यादृच्छिक वैरिएबल का संभाव्यता वितरण है।

इस प्रकार प्रोडक्ट माप के स्थिति में एफकेजी असमानता को [[टेड हैरिस (गणितज्ञ)|टेड हैरिस (हैरिस 1960)]] के पश्चात् 'हैरिस असमानता' के रूप में भी जाना जाता है। , जिन्होंने विमान में अंतःस्त्राव सिद्धांत के अपने अध्ययन में इसे पाया और इसका उपयोग किया। हैरिस असमानता का एक प्रमाण जो $\mathbb {R}$ पर उपरोक्त डबल इंटीग्रल ट्रिक का उपयोग करता है, उदाहरण के लिए, ग्रिमेट (1999) की धारा 2.2 में पाया जा सकता है।

सामान्य उदाहरण

एक विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है अनंत हनीकांब जालक के प्रत्येक षट्भुज को प्रायिकता $p$ के साथ काला और प्रायिकता $1-p$ के साथ व्हाइट रंग दें, एक दूसरे से स्वतंत्र। मान लीजिए कि a, b, c, d चार षट्भुज हैं, आवश्यक नहीं कि भिन्न-भिन्न हों। मान लीजिए कि $a\leftrightarrow b$ और $c\leftrightarrow d$ क्रमशः घटनाएँ हैं कि a से b तक एक काला पथ है, और c से d तक एक काला पथ है। फिर हैरिस असमानता कहती है कि यह घटनाएँ $\Pr(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow d)\geq \Pr(a\leftrightarrow b)\Pr(c\leftrightarrow d)$ धनात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं दूसरे शब्दों में, एक पथ की उपस्थिति मानने से केवल दूसरे की संभावना बढ़ सकती है।

इसी प्रकार यदि हम $n\times n$ रोम्बस के आकार वाले हेक्स बोर्ड के अंदर हेक्सागोन्स को अनुचित विधि से रंगते हैं तो बोर्ड के बाईं ओर से दाईं ओर ब्लैक क्रॉसिंग होने की घटना धनात्मक रूप से ऊपर की ओर से ब्लैक क्रॉसिंग होने के साथ सहसंबद्ध होती है। दूसरी ओर, बाएं से दाएं ब्लैक क्रॉसिंग होने का ऊपर से नीचे व्हाइट क्रॉसिंग होने के साथ ऋणात्मक संबंध है, क्योंकि पहला बढ़ती हुई घटना है (कालेपन की मात्रा में), जबकि दूसरा कम हो रहा है। वास्तव में, हेक्स बोर्ड के किसी भी रंग में इन दो घटनाओं में से पूर्णतः घटित होती है - यही कारण है कि हेक्स अच्छी प्रकार से परिभाषित खेल है।

इस प्रकार एर्डोस-रेनी मॉडल या एर्डोस-रेनी यादृच्छिक आरेख में, हैमिल्टनियन साईकल का अस्तित्व आरेख के रंग या 3-रंग योग्यता के साथ ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध है, क्योंकि पहली बढ़ती हुई घटना है, जबकि पश्चात् वाली कम हो रही है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी से उदाहरण

इस प्रकार सांख्यिकीय यांत्रिकी में, जालक की स्थिति (और इसलिए एफकेजी असमानता) को संतुष्ट करने वाले विधियों का सामान्य स्रोत निम्नलिखित है:

यदि $S$ एक क्रमित समुच्चय है (जैसे कि$\{-1,+1\}$ और $\Gamma$ एक परिमित या अनंत आरेख है, तो $S$-वैल्यू विन्यास का समुच्चय $S^{\Gamma }$ एक पोसेट है जो एक वितरणात्मक जालक है

अब यदि $\Phi$ एक सबमॉड्यूलर गिब्स माप है (अर्थात फलनो का एक वर्ग)।

$\Phi _{\Lambda }:S^{\Lambda }\longrightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \},$

प्रत्येक परिमित $\Lambda \subset \Gamma$ के लिए एक जैसे कि प्रत्येक $\Phi _{\Lambda }$ सबमॉड्यूलर है) तो कोई संबंधित हैमिल्टनियन को इस प्रकार परिभाषित करता है

$H_{\Lambda }(\varphi ):=\sum _{\Delta \cap \Lambda \not =\emptyset }\Phi _{\Delta }(\varphi ).$

यदि विन्यास $\varphi$ के समुच्चय पर इस हैमिल्टनियन के लिए μ एक चरम गिब्स माप है तो यह दिखाना सरल है कि μ जालक की स्थिति को संतुष्ट करता है, शेफील्ड (2005) देखें।

एक प्रमुख उदाहरण आरेख $S=\{-1,+1\}$ पर आइसिंग मॉडल है जिसे स्पिन और $\beta \in [0,\infty ]$ कहा जाता है। निम्नलिखित क्षमता लें:

$\Phi _{\Lambda }(\varphi )={\begin{cases}\beta 1_{\{\varphi (x)\not =\varphi (y)\}}&{\text{if }}\Lambda =\{x,y\}{\text{ is a pair of adjacent vertices of }}\Gamma ;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

इस प्रकार सबमॉड्यूलैरिटी की जांच करना सरल है; सामान्यतः, न्यूनतम या अधिकतम दो विन्यास लेने से असहमत स्पिनों की संख्या कम हो जाती है। फिर, आरेख़ $\Gamma$ और $\beta$ का मान ,एक या अधिक चरम गिब्स विधि हो सकते हैं, देखें, उदाहरणार्थ, जॉर्जी, हैगस्ट्रॉम & माएस (2001) और लियोन्स (2000).

है

सामान्यीकरण: हॉली असमानता

रिचर्ड हॉली (1974) के कारण हॉली असमानता बताती है कि अपेक्षित मान

$\langle f\rangle _{i}={\frac {\sum _{x\in X}f(x)\mu _{i}(x)}{\sum _{x\in X}\mu _{i}(x)}}$

एक परिमित वितरण जालक पर मोटोनोकली बढ़ते फलन का धनात्मक फलनो के संबंध में $X$ जालक पर μ₁ μ₂ स्थिति को संतुष्ट करता है

$\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2},$

किन्तु फलन हॉली नियम (मानदंड) को संतुष्ट करते है

$\mu _{2}(x\wedge y)\mu _{1}(x\vee y)\geq \mu _{1}(x)\mu _{2}(y)$

जालक में सभी x, y के लिए।

1. एफकेजी असमानता को पुनर्प्राप्त करने के लिए यदि μ जालक की स्थिति को संतुष्ट करता है और ƒ और g $X$ पर बढ़ते कार्य हैं, तो μ₁(x)=g(x)μ(x) और μ₂(x)= μ(x) जालक प्रकार को संतुष्ट करेंगे होली असमानता की स्थिति तब होली असमानता बताती है कि

${\frac {\langle fg\rangle _{\mu }}{\langle g\rangle _{\mu }}}=\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}=\langle f\rangle _{\mu },$

जो कि केवल एफकेजी असमानता है।

जहां तक ​​एफकेजी का प्रश्न है, हॉली असमानता अहल्सवेड-डेकिन असमानता से आती है।

जालक की स्थिति को अशक्त करना: मोनोटोनीसिटी

कुछ परिमित समुच्चय V के लिए $X$ के प्रोडक्ट $\mathbb {R} ^{V}$ होने के सामान्य स्थिति पर विचार करें। μ पर जालक की स्थिति को सरलता से निम्नलिखित मोनोटोनीसिटी के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें यह गुण है कि इसे जालक की स्थिति की तुलना में जांचना अधिकांशतः सरल होता है।

जब भी कोई एक शीर्ष$v\in V$ को सही करता है और दो विन्यास φ और ψ v के बाहर इस प्रकार से करता है कि सभी $w\not =v$ के लिए, μ- $\{\varphi (w):w\not =v\}$ दिए गए φ(v) का नियमबद्ध वितरण, $\{\psi (w):w\not =v\}$ दिए गए ψ(v) के μ-नियमबद्ध वितरण पर अधिकृत है

अब, यदि μ इस मोनोटोनीसिटी गुण को संतुष्ट करता है, तो यह एफकेजी असमानता (धनात्मक संघ) को बनाए रखने के लिए पहले से ही पर्याप्त है।

इस प्रकार यहां प्रमाण का एक रेखाचित्र दिया गया है : हॉली (1974) के कारण $V$ पर किसी भी प्रारंभिक विन्यास से प्रारंभ होने पर, कोई एक साधारण मार्कोव श्रृंखला (मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम) चला सकता है जो प्रत्येक चरण में विन्यास को अद्यतन करने के लिए स्वतंत्र यूनिफ़ॉर्म [0,1] यादृच्छिक वैरिएबल का उपयोग करता है, जैसे कि श्रृंखला में अद्वितीय स्थिर माप होता है, दिया गया μ या μ की मोनोटोनीसिटी का तात्पर्य है कि प्रत्येक चरण पर विन्यास स्वतंत्र वैरिएबल का मोनोटोन फलन है, इसलिए हैरिस के प्रोडक्ट माप संस्करण का तात्पर्य है कि इसमें धनात्मक जुड़ाव है। इसलिए, सीमित स्थिर माप μ में भी यह गुण है।

इस प्रकार मोनोटोनीसिटी गुण का दो मापों के लिए प्राकृतिक संस्करण है, जो कहता है कि μ₁ सनियम रूप से बिंदुवार μ₂ पर अधिकृत है यह देखना पुनः सरल है कि यदि μ₁ और μ₂ हॉली असमानता सामान्यीकरण की जालक-प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करें: , पुनः μ₁ सनियम रूप से बिंदुवार μ₂ पर अधिकृत है. दूसरी ओर, मार्कोव श्रृंखला युग्मन (संभावना) तर्क उपरोक्त के समान है, किन्तु अब हैरिस असमानता का आह्वान किए बिना, यह दर्शाता है कि स्टोकेस्टिक डोमिनेशन , वास्तव में, स्टोकेस्टिक ऑर्डरिंग का तात्पर्य है। स्टोकेस्टिक डोमिनेशन $\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}$ के समान है सभी के लिए बढ़ते हुए, इस प्रकार हमें हॉली असमानता का प्रमाण मिलता है। (और इस प्रकार हैरिस असमानता का उपयोग किए बिना, एफकेजी असमानता का प्रमाण भी है।)

विवरण के लिए हाली (1974) और जॉर्जी, हैगस्ट्रॉम & माएस (2001) देखें।

यह भी देखें

• अहलस्वेड-डेकिन असमानता
• एक्सवाईजेड असमानता
• बीके असमानता

संदर्भ

• Eaton, Morris L. (1987), "The FKG inequality and association", Lectures on Topics in Probability Inequalities, Amsterdam, pp. 111–151, ISBN 90-6196-316-8
• Fishburn, P.C. (2001) [1994], "FKG inequality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Fortuin, C. M.; Kasteleyn, P. W.; Ginibre, J. (1971), "Correlation inequalities on some partially ordered sets", Communications in Mathematical Physics, 22 (2): 89–103, Bibcode:1971CMaPh..22...89F, doi:10.1007/BF01651330, MR 0309498, S2CID 1011815
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
• Georgii, H-O.; Häggström, O.; Maes, C. (2001), "The random geometry of equilibrium phases", Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 18, Academic Press, San Diego, CA, pp. 1–142, arXiv:math/9905031, doi:10.1016/S1062-7901(01)80008-2, ISBN 9780122203183, MR 2014387, S2CID 119137791
• Grimmett, G. R. (1999), Percolation. Second edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 321, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03981-6, ISBN 3-540-64902-6, MR 1707339
• Harris, T. E. (1960), "A lower bound for the critical probability in a certain percolation process", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 56 (1): 13–20, Bibcode:1960PCPS...56...13H, doi:10.1017/S0305004100034241, MR 0115221, S2CID 122724783
• Holley, R. (1974), "Remarks on the FKG inequalities", Communications in Mathematical Physics, 36 (3): 227–231, Bibcode:1974CMaPh..36..227H, doi:10.1007/BF01645980, MR 0341552, S2CID 73649690
• Lyons, R. (2000), "Phase transitions on nonamenable graphs", J. Math. Phys., 41 (3): 1099–1126, arXiv:math/9908177, Bibcode:2000JMP....41.1099L, doi:10.1063/1.533179, MR 1757952, S2CID 10350129
• Sheffield, S. (2005), "Random surfaces", Astérisque, 304, arXiv:math/0304049, Bibcode:2003math......4049S, MR 2251117