एफ़िन इनवॉल्यूशन

यूक्लिडियन ज्यामिति में, विशेष रुचि इनवोल्यूशन (गणित) हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर पर रैखिक परिवर्तन या परिशोधित परिवर्तन हैं।^एन. इस तरह के अंतर्विरोधों को चित्रित करना आसान है और उन्हें ज्यामितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रैखिक आक्रमण

एक रेखीय इनवोल्यूशन देने के लिए एक अनैच्छिक मैट्रिक्स देने के समान है, एक स्क्वायर मैट्रिक्स A ऐसा है

$A^{2}=I\quad \quad \quad \quad (1)$

जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है।

यह एक त्वरित जाँच है कि एक वर्ग मैट्रिक्स D जिसके सभी तत्व मुख्य विकर्ण से शून्य हैं और विकर्ण पर ±1 हैं, जो कि प्रपत्र का एक हस्ताक्षर मैट्रिक्स है

$D={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\0&\pm 1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}$

संतुष्ट करता है (1), यानी एक रैखिक आक्रमण का मैट्रिक्स है। यह पता चला है कि संतुष्ट करने वाले सभी मैट्रिक्स (1) फॉर्म के हैं

ए = यू^-1डीयू,

जहाँ U उलटा है और D ऊपर जैसा है। कहने का तात्पर्य यह है कि किसी भी रेखीय समावेशन का मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स समानता तक D के रूप का होता है। ज्यामितीय रूप से इसका मतलब यह है कि किसी भी संख्या के विरुद्ध तिरछे प्रतिबिंबों को 0 से एन hyperplane के माध्यम से मूल के माध्यम से जाने से किसी भी रैखिक आक्रमण को प्राप्त किया जा सकता है। (यहाँ प्रयुक्त तिरछे प्रतिबिंब शब्द में साधारण प्रतिबिंब शामिल हैं।)

कोई आसानी से सत्यापित कर सकता है कि ए एक रैखिक आक्रमण का प्रतिनिधित्व करता है यदि और केवल अगर ए का रूप है

ए = ± (2पी - मैं)

एक रेखीय प्रक्षेपण के लिए (रैखिक बीजगणित) पी.

एफ़िन इन्वोल्यूशन

यदि ए एक रैखिक आक्रमण का प्रतिनिधित्व करता है, तो x→A(x−b)+b एक affine परिवर्तन आक्रमण है। कोई भी जांच कर सकता है कि वास्तव में किसी भी संबंध में यह रूप है। ज्यामितीय रूप से इसका मतलब यह है कि 0 से एन हाइपरप्लेन के माध्यम से बिंदु बी के माध्यम से जाने वाले किसी भी संख्या के खिलाफ तिरछे प्रतिबिंबों को लेकर किसी भी तरह के जुड़ाव को प्राप्त किया जा सकता है।

Affine इनवोल्यूशन को निश्चित बिंदु (गणित) के affine स्थान के आयाम द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है; यह समान मैट्रिक्स डी (ऊपर देखें) के विकर्ण पर मान 1 की संख्या से मेल खाता है, यानी, eigenvalue 1 के लिए आइगेनस्पेस का आयाम।

3डी में एफाइन इनवोल्यूशन हैं:

• पहचान
• समतल के संबंध में तिरछा प्रतिबिंब
• एक रेखा के संबंध में तिरछा प्रतिबिंब
• एक बिंदु के संबंध में प्रतिबिंब।

आइसोमेट्रिक इन्वोल्यूशन

इस मामले में कि eigenvalue 1 के लिए eigenspace eigenvalue -1 के लिए ओर्थोगोनल पूरक है, यानी, eigenvalue 1 वाला प्रत्येक eigenvector eigenvalue −1 वाले प्रत्येक eigenvector के लिए ओर्थोगोनल है, ऐसा affine इनवोल्यूशन एक आइसोमेट्री है। जिन दो चरम मामलों के लिए यह हमेशा लागू होता है वे एक बिंदु में पहचान कार्य और व्युत्क्रम हैं।

अन्य समावेशी आइसोमेट्री एक रेखा में व्युत्क्रम हैं (2डी, 3डी और ऊपर में; यह 2डी में एक प्रतिबिंब (गणित) है, और 3डी में 180° द्वारा रेखा के बारे में एक घुमाव है), एक विमान में उलटा (3डी और ऊपर में) ; 3D में यह एक तल में प्रतिबिंब है), 3D स्थान में व्युत्क्रमण (3D में: पहचान), आदि।