औपचारिक गणना

गणितीय तर्क में, एक औपचारिक गणना, या औपचारिक संक्रिया, एक ऐसी गणना है जो व्यवस्थित लेकिन कठोर औचित्य के बिना होती है। इसमें एक सामान्य प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति में प्रतीकों में हेरफेर करना शामिल है, बिना यह साबित किए कि आवश्यक शर्तें लागू हैं। अनिवार्य रूप से, इसमें अंतर्निहित अर्थ पर विचार किए बिना अभिव्यक्ति का रूप शामिल है। यह तर्क या तो सकारात्मक प्रमाण के रूप में काम कर सकता है कि कुछ कथन सत्य है जब प्रमाण प्रदान करना कठिन या अनावश्यक हो या नई (पूरी तरह से कठोर) परिभाषाओं के निर्माण के लिए प्रेरणा के रूप में हो।

हालांकि, औपचारिक शब्द की यह व्याख्या सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं की जाती है, और कुछ लोग इसे बिल्कुल विपरीत मानते हैं: एक पूरी तरह से कठोर तर्क, जैसा कि गणितीय तर्क में है।

उदाहरण

औपचारिक गणना ऐसे परिणाम दे सकती हैं जो एक संदर्भ में गलत हैं, लेकिन दूसरे संदर्भ में सही हैं। समीकरण

$\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}$

धारण करता है यदि q का निरपेक्ष मान 1 से कम है। इस प्रतिबंध को अनदेखा करना, और q = 2 को प्रतिस्थापित करने के लिए

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=-1.$

प्रथम समीकरण के प्रमाण में q=2 को प्रतिस्थापित करने पर, एक औपचारिक गणना प्राप्त होती है जो अंतिम समीकरण उत्पन्न करती है। लेकिन यह वास्तविक संख्याओं के बारे में गलत है, क्योंकि श्रंखला अभिसरण नहीं करती है। हालाँकि, अन्य संदर्भों में (उदाहरण के लिए p-adic number|2-adic नंबरों के साथ काम करना, या मॉड्यूलर अंकगणित के साथ), श्रृंखला अभिसरण करती है। औपचारिक गणना का तात्पर्य है कि अंतिम समीकरण उन संदर्भों में मान्य होना चाहिए।

q=-1 को प्रतिस्थापित करके एक अन्य उदाहरण प्राप्त किया जाता है। परिणामी श्रंखला Grandi's series|1-1+1-1+... अपसारी है (वास्तविक और P-adic संख्या|p-adic संख्याओं पर) लेकिन योग की वैकल्पिक विधि के साथ इसे एक मान दिया जा सकता है, जैसे कि सेसारो योग। परिणामी मान, 1/2, वही है जो औपचारिक संगणना द्वारा प्राप्त किया गया था।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला

औपचारिक शक्ति श्रृंखला एक अवधारणा है जो वास्तविक विश्लेषण से शक्ति श्रृंखला के रूप को अपनाती है। औपचारिक शब्द इंगित करता है कि श्रृंखला को अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है। गणित में, और विशेष रूप से बीजगणित में, एक औपचारिक श्रृंखला एक अनंत योग है जिसे अभिसरण की किसी भी धारणा से स्वतंत्र रूप से माना जाता है और श्रृंखला (जोड़, घटाव, गुणा, भाग, आंशिक योग, आदि) पर बीजगणितीय संचालन के साथ हेरफेर किया जा सकता है।

एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला एक विशेष प्रकार की औपचारिक श्रृंखला है, जिसे एक बहुपद के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जहां शब्दों की संख्या अनंत होने की अनुमति है, अभिसरण की कोई आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, श्रृंखला अब अपने चर के एक समारोह का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती है, केवल गुणांक का एक औपचारिक अनुक्रम, एक शक्ति श्रृंखला के विपरीत, जो अभिसरण की त्रिज्या के भीतर चर के लिए संख्यात्मक मान लेकर एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है। एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला में, चर की शक्तियों का उपयोग केवल गुणांकों के लिए स्थिति-धारकों के रूप में किया जाता है, जिससे कि गुणांक $\displaystyle x^{5}}x^{5$अनुक्रम में पाँचवाँ पद है। कॉम्बिनेटरिक्स में, कार्यों को उत्पन्न करने की विधि संख्यात्मक अनुक्रमों और मल्टीसेट्स का प्रतिनिधित्व करने के लिए औपचारिक शक्ति श्रृंखला का उपयोग करती है, उदाहरण के लिए पुनरावर्ती रूप से परिभाषित अनुक्रमों के लिए संक्षिप्त अभिव्यक्ति की अनुमति देता है चाहे पुनरावर्तन को स्पष्ट रूप से हल किया जा सके। अधिक आम तौर पर, औपचारिक शक्ति श्रृंखला में चर के किसी भी परिमित (या गणनीय) संख्या के साथ श्रृंखला शामिल हो सकती है, और एक मनमानी अंगूठी में गुणांक के साथ।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला के छल्ले पूर्ण स्थानीय छल्ले हैं, जो बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित के विशुद्ध रूप से बीजगणितीय ढांचे में कलन जैसी विधियों का समर्थन करते हैं। वे पी-एडिक पूर्णांकों के अनुरूप हैं, जिन्हें पी की शक्तियों की औपचारिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

प्रतीक हेरफेर

अंतर समीकरण को हल करने के लिए

${\frac {dy}{dx}}=y^{2}$

इन प्रतीकों को सामान्य बीजगणितीय प्रतीकों के रूप में माना जा सकता है, और इस चरण की वैधता के संबंध में कोई औचित्य दिए बिना, हम दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेते हैं:

${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y^{2}}}$

एक साधारण antiderivative :

$x={\frac {-1}{y}}+C$

$y={\frac {1}{C-x}}$

क्योंकि यह एक औपचारिक गणना है, यह जाने के लिए स्वीकार्य है $C=\infty$ और दूसरा समाधान प्राप्त करें:

$y={\frac {1}{\infty -x}}={\frac {1}{\infty }}=0$

अंतिम समाधानों की पुष्टि करने के लिए जाँच की जा सकती है कि वे समीकरण को हल करते हैं।

यह भी देखें

• औपचारिक शक्ति श्रृंखला
• गणितीय तर्क

संदर्भ

• Stuart S. Antman (1995). Nonlinear Problems of Elasticity, Applied Mathematical Sciences vol. 107. Springer-Verlag. ISBN 0-387-20880-1.