कॉन्ट्राहार्मोनिक मतलब

गणित में, कॉन्ट्राअनुकूल माध्य हार्मोनिक माध्य का पूरक कार्य है। कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य लेहमर माध्य का एक विशेष मामला है, $L_{p}$, जहां पी = 2।

परिभाषा

धनात्मक संख्याओं के समुच्चय के कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य को संख्याओं के वर्गों के अंकगणितीय माध्य के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य से विभाजित होता है:

$${\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \over n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \over {1 \over n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}$$

गुण

यह दिखाना आसान है कि यह माध्य के चारित्रिक गुणों को संतुष्ट करता है:

• $$\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\,\dots ,\,x_{n}\right)\in \left[\min \left(x_{1},x_{2},\,\dots ,\,x_{n}\right),\,\max \left(x_{1},x_{2},\,\dots ,\,x_{n}\right)\right]$$
• $$\operatorname {C} \left(t\cdot x_{1},t\cdot x_{2},\,\dots ,\,t\cdot x_{n}\right)=t\cdot C\left(x_{1},x_{2},\,\dots ,\,x_{n}\right){\text{ for }}t>0$$

पहला गुण निश्चित बिंदु गुण दर्शाता है, कि सभी k > 0 के लिए,

C(k, k, ..., k) = k

कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य अंकगणित माध्य की तुलना में मूल्य में अधिक है और मूल माध्य वर्ग से भी अधिक है:

$$\min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )$$

जहाँ x मूल्यों की एक सूची है, H हार्मोनिक माध्य है, G ज्यामितीय माध्य है, L लघुगणकीय माध्य है, A अंकगणितीय माध्य है, R मूल माध्य वर्ग है और C कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य है। जब तक x के सभी मान समान न हों, ऊपर दिए गए ≤ चिह्नों को < से बदला जा सकता है।

कॉन्ट्राहार्मोनिक नाम इस तथ्य के कारण हो सकता है कि जब केवल दो चरों का माध्य लेते हैं, तो कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य से उतना ही अधिक होता है जितना कि अंकगणितीय माध्य हार्मोनिक माध्य से ऊपर होता है (अर्थात, अंकगणितीय माध्य दो चर उनके हार्मोनिक और कॉन्ट्राहार्मोनिक साधनों के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं)।

दो-चर सूत्र

हमारे पास दो चरों के अंकगणितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य के सूत्रों से:

$${\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि दो चर के लिए हार्मोनिक और कॉन्ट्राहार्मोनिक औसत का औसत अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

A(H(a, b), C(a, b)) = A(a, b)

जैसे-जैसे a 0 के करीब आता जाता है, वैसे-वैसे 'H'(a, b) भी 0 के करीब होता जाता है। हार्मोनिक माध्य निम्न मानों के प्रति बहुत संवेदनशील होता है। दूसरी ओर, कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य बड़े मानों के प्रति संवेदनशील होता है, इसलिए जैसे-जैसे a 0 की ओर बढ़ता है तब 'C'(a, b) b के पास पहुंचता है (इसलिए उनका औसत 'A'(a, b) बना रहता है)।

2-चर साधनों के बीच दो अन्य उल्लेखनीय संबंध हैं। सबसे पहले, अंकगणितीय और हार्मोनिक साधनों का ज्यामितीय माध्य दो मानों के ज्यामितीय माध्य के बराबर है:

$$\operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)$$

दूसरा संबंध यह है कि अंकगणितीय और विरोधाभासी साधनों का ज्यामितीय माध्य मूल माध्य वर्ग है:

$${\begin{aligned}&\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)={}\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\={}&{\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}={}{\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\\[2pt]={}&\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}$$

दो वेरिएबल्स का कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य ज्यामितीय रूप से एक ट्रैपेज़ॉइड का उपयोग करके बनाया जा सकता है (देखें [1])।

अतिरिक्त निर्माण

कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य का निर्माण एक वृत्त के समान किया जा सकता है जिस तरह से दो चरों के पाइथागोरस का अर्थ है का निर्माण किया जाता है। कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य उस व्यास का शेष भाग है जिस पर हार्मोनिक माध्य स्थित होता है।

गुण

एक यादृच्छिक चर का कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य के योग के बराबर है और अंकगणितीय माध्य से विभाजित विचरण है। चूँकि प्रसरण हमेशा ≥0 होता है, कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य हमेशा अंकगणितीय माध्य से अधिक या उसके बराबर होता है।

क्लैफम द्वारा परीक्षण सांख्यिकी के रूप में विचरण और माध्य का अनुपात प्रस्तावित किया गया था। यह आँकड़ा कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य कम है।

यह काट्ज़ के आँकड़ों से भी संबंधित है

$$J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}$$

जहां एम मतलब है, एस² प्रसरण और n नमूना आकार है।

जे_n असमान रूप से सामान्य रूप से शून्य के माध्य और 1 के विचरण के साथ वितरित किया जाता है।

आँकड़ों में उपयोग

कॉक्स ने 1969 में रेशों के नमूने लेने की समस्या पर आकार पक्षपाती नमूने की समस्या पर चर्चा की थी। आकार के पक्षपाती नमूने का अपेक्षित मूल्य इसके विपरीत माध्य के बराबर है। किसी फाइबर के नमूने लिए जाने की संभावना उसकी लंबाई के समानुपाती होती है। इस वजह से सामान्य नमूना माध्य (अंकगणितीय माध्य) सही माध्य का एक पक्षपाती अनुमानक है। इसे देखने के लिए विचार करें

$$g(x)={\frac {xf(x)}{m}}$$

जहाँ f(x) सही जनसंख्या वितरण है, g(x) लंबाई भारित वितरण है और m नमूना माध्य है। यहाँ माध्य की सामान्य अपेक्षा लेने से नमूने के सामान्य (अंकगणितीय) माध्य के बजाय कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य मिलता है। इसके बजाय हार्मोनिक माध्य (1/x) की अपेक्षा लेकर इस समस्या को दूर किया जा सकता है। 1/x की अपेक्षा और विचरण हैं

$$\operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}$$

और भिन्नता है

$$\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {mE\left[{\frac {1}{x}}-1\right]}{nm^{2}}}$$

कहाँ E अपेक्षा संकारक है। असम्बद्ध रूप से E[1/x] सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।

लंबाई के पक्षपाती नमूने की स्पर्शोन्मुख दक्षता अंतर्निहित वितरण पर यादृच्छिक नमूने की तुलना में निर्भर करती है। यदि f(x) लॉग सामान्य है तो दक्षता 1 है, जबकि जनसंख्या सूचकांक b के साथ गामा वितरण है, तो दक्षता है b/(b − 1).

इस वितरण का उपयोग कई क्षेत्रों में किया गया है। इसका उपयोग छवि विश्लेषण में किया गया है।

इतिहास

चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में यूनानी गणितज्ञ कनिडस का यूडोक्सस द्वारा कॉन्ट्राहार्मोनिक माध्य की खोज की गई थी।

यह भी देखें

• अनुकूल माध्य
• लेहमर मतलब
• पाइथागोरस का अर्थ है

संदर्भ

• Essay #3 - Some "mean" Trapezoids, by Shannon Umberger: [2]
• Construction of the Contraharmonic Mean in a Trapezoid: [3]
• Means in the Trapezoid: [4]
• Means of Complex Numbers: [5]
• Proofs without Words / Exercises in Visual Thinking, by Roger B. Nelsen, page 56, ISBN 0-88385-700-6
• Pythagorean Means: [6] (extend the segment that represents the Harmonic mean through the circle's center to the other side, creating a diameter. The length of the diameter segment after the Harmonic segment is the Contraharmonic mean.)
• Pahikkala, Jussi (2010), On contraharmonic mean and Pythagorean triples, Elemente der Mathematik 65 (2): 62–67.

बाहरी संबंध

• Contraharmonic Proportion at PlanetMath.