कोपलैंड-एर्डोस स्थिरांक

कोपलैंड-एर्डोज़ स्थिरांक 0 का संयोजन है, जिसमें अभाज्य संख्याओं के आधार 10 निरूपण क्रम में होते हैं। प्राइम की आधुनिक परिभाषा का उपयोग करते हुए इसका मूल्य, लगभग है

0.235711131719232931374143… (sequence A033308 in the OEIS).

स्थिरांक अपरिमेय संख्या है; इसे अंकगणितीय प्रगति पर डिरिचलेट के प्रमेय या बर्ट्रेंड के अभिधारणा (हार्डी और राइट, पृष्ठ 113) या ओलिवियर रामारे|रामारे के प्रमेय से सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक समता (गणित) पूर्णांक अधिकतम छह अभाज्य संख्याओं का योग है। यह सीधे अपनी सामान्यता से भी अनुसरण करता है (नीचे देखें)।

इसी तरह के तर्क से, अंकगणितीय प्रगति dn + a में सभी अभाज्य संख्याओं के साथ 0 को संयोजित करके बनाया गया कोई भी स्थिरांक, जहां a, d और 10 का सहअभाज्य है, अपरिमेय होगा; उदाहरण के लिए, फॉर्म 4n + 1 या 8n + 1 के अभाज्य। डिरिक्लेट के प्रमेय द्वारा, अंकगणितीय प्रगति dn· 10^m +a में सभी m के लिए अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं, और वे अभाज्य संख्याएँ cd + a में भी हैं, इसलिए संयोजित अभाज्य संख्याओं में अंक शून्य के मनमाने ढंग से लंबे अनुक्रम होते हैं।

आधार 10 में, स्थिरांक एक सामान्य संख्या है, यह तथ्य 1946 में आर्थर हर्बर्ट कोपलैंड और पॉल एर्डोस द्वारा सिद्ध किया गया था (इसलिए स्थिरांक का नाम)। स्थिरांक द्वारा दिया गया है

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}$

जहां पी_nnवाँ अभाज्य संख्या है.

इसका निरंतर अंश [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1,…] (OEIS: A030168).

संबंधित स्थिरांक

कोपलैंड और एर्दो का प्रमाण कि उनका स्थिरांक सामान्य है, केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है $p_{n}$ अनुक्रम#बढ़ना_और_घटना है और $p_{n}=n^{1+o(1)}$, कहाँ $p_{n}$ तब है^वें अभाज्य संख्या. अधिक सामान्यतः, यदि $s_{n}$ प्राकृतिक संख्याओं का कोई कड़ाई से बढ़ता हुआ क्रम है जैसे कि $s_{n}=n^{1+o(1)}$ और $b$ यदि कोई प्राकृतिक संख्या 2 से बड़ी या उसके बराबर है, तो 0 को संख्या आधार के साथ संयोजित करने पर प्राप्त स्थिरांक-$b$ का प्रतिनिधित्व $s_{n}$आधार में सामान्य है $b$. उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\lfloor n(\log n)^{2}\rfloor$ इन शर्तों को पूरा करता है, इसलिए स्थिरांक 0.003712192634435363748597110122136… आधार 10 में सामान्य है, और 0.003101525354661104…₇ बेस 7 में सामान्य है.

किसी दिए गए आधार में बी संख्या

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}},\,$

जिसे आधार बी में 0.0110101000101000101 लिखा जा सकता है..._b जहां nवां अंक 1 है यदि और केवल यदि n अभाज्य है, तो यह अपरिमेय है।

यह भी देखें

• स्मारांडाचे-वेलिन संख्याएँ: इस स्थिरांक का छोटा मान 10 की उचित घात से गुणा किया जाता है।
• चैम्पर्नोने स्थिरांक: केवल अभाज्य संख्याओं को ही नहीं, बल्कि सभी प्राकृतिक संख्याओं को संयोजित करना।

संदर्भ

स्रोत

• Copeland, A. H.; Erdős, P. (1946), "Note on Normal Numbers", Bulletin of the American Mathematical Society, 52 (10): 857–860, doi:10.1090/S0002-9904-1946-08657-7.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853171-0.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Copeland-Erdos Constant". MathWorld.