कोलजेब्रा में

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, a $F$ -कोलजेब्रा एक गणितीय संरचना है जिसे एक ऑपरेटर के अनुसार परिभाषित किया गया है $F$ , विशिष्ट गुणों के साथ जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है। बीजगणितीय संरचना और कोलजेब्रा दोनों के लिए,^{[clarification needed]} एक फ़ंक्टर एक हस्ताक्षर (तर्क) को व्यवस्थित करने का एक सुविधाजनक और सामान्य तरीका है। कंप्यूटर विज्ञान में इसके अनुप्रयोग हैं: कोलजेब्रस के उदाहरणों में आलसी मूल्यांकन , रिकर्सन_(कंप्यूटर_साइंस)#रिकर्सिव_डेटा_स्ट्रक्चर_.28स्ट्रक्चरल_रिकर्सन.29 डेटा स्ट्रक्चर्स, जैसे स्ट्रीम (कंप्यूटिंग) , और राज्य संक्रमण प्रणाली भी शामिल हैं।

$F$ -कोलजेब्रस एफ-बीजगणित के लिए दोहरे (श्रेणी सिद्धांत) हैं $F$ -बीजगणित। जिस प्रकार किसी दिए गए हस्ताक्षर और समीकरण सिद्धांत के लिए सभी बीजगणितीय संरचना का वर्ग एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाता है, उसी प्रकार सभी का वर्ग $F$ -कोलजेब्रस एक दिए गए समीकरण सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए एक सहसंयोजक बनाते हैं, जहां हस्ताक्षर द्वारा दिया जाता है $F$ .

परिभाषा

होने देना

F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}

एक श्रेणी पर एक endofunctor बनें

{\mathcal {C}}

.

एक $F$ - कोलजेब्रा एक वस्तु है $A$ का ${\mathcal {C}}$ एक साथ एक रूपवाद के साथ

\alpha :A\longrightarrow FA

का ${\mathcal {C}}$ , आमतौर पर लिखा जाता है $(A,\alpha )$ .

एक $F$ -कोलजेब्रा समरूपता से $(A,\alpha )$ दूसरे करने के लिए $F$ -कोलजेब्रा $(B,\beta )$ एक रूपवाद है

f:A\longrightarrow B

में

{\mathcal {C}}

ऐसा है कि

Ff\circ \alpha =\beta \circ f

.

इस प्रकार $F$ किसी दिए गए फ़ंक्टर F के लिए -कोलजेब्रस एक श्रेणी का गठन करते हैं।

उदाहरण

एंडोफंक्टर पर विचार करें $X\mapsto X\sqcup \{*\}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ जो एक सेट को उसके असंयुक्त संघ को सिंगलटन सेट के साथ भेजता है $\{\ast \}$ . इस एंडोफंक्टर का कोलजेब्रा किसके द्वारा दिया गया है $({\overline {\mathbb {N} }},\alpha )$ , कहां ${\overline {\mathbb {N} }}=\{0,1,2,\ldots \}\sqcup \{\infty \}$ तथाकथित अलौकिक संख्याएँ हैं, जिनमें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक और अनंत और कार्य शामिल हैं $\alpha$ द्वारा दिया गया है $\alpha (0)=\ast$ , $\alpha (n)=n-1$ के लिए $n=1,2,\ldots$ और $\alpha (\infty )=\infty$ . असल में, $({\overline {\mathbb {N} }},\alpha )$ इस एंडोफंक्टर का टर्मिनल कोलजेब्रा है।

अधिक आम तौर पर, कुछ सेट ठीक करें $A$ , और फ़ैक्टर पर विचार करें $F:\mathbf {Set} \longrightarrow \mathbf {Set}$ जो भेजता है $X$ को $(X\times A)\cup \{1\}$ . फिर ए $F$ -कोलजेब्रा $\alpha :X\longrightarrow (X\times A)\cup \{1\}=FX$ वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) पर एक परिमित या अनंत धारा (कंप्यूटिंग) है $A$ , कहां $X$ राज्यों का सेट है और $\alpha$ राज्य-संक्रमण कार्य है। राज्य-संक्रमण समारोह को राज्य में लागू करने से दो संभावित परिणाम मिल सकते हैं: या तो एक तत्व $A$ धारा की अगली स्थिति, या सिंगलटन सेट के तत्व के साथ $\{1\}$ एक अलग अंतिम स्थिति के रूप में इंगित करता है कि धारा में और अधिक मान नहीं हैं।

कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, इस तरह के कोलजेब्रिक ऑब्जेक्ट का राज्य-संक्रमण कार्य रूप का हो सकता है $X\rightarrow f_{1}\times f_{2}\times \ldots \times f_{n}$ , जो आसानी से चयनकर्ताओं, पर्यवेक्षकों, विधियों के संग्रह में फ़ैक्टराइज़ करता है $X\rightarrow f_{1},\,X\rightarrow f_{2}\,\ldots \,X\rightarrow f_{n}$ . व्यावहारिक रुचि के विशेष मामलों में पर्यवेक्षकों को गुण मान देने वाले और फॉर्म के म्यूटेटर तरीके शामिल हैं $X\rightarrow X^{A_{1}\times \ldots \times A_{n}}$ अतिरिक्त पैरामीटर और उपज देने वाले राज्य लेना। यह अपघटन प्रारंभिक के अपघटन के लिए दोहरी है $F$ -अलजेब्रा को 'कंस्ट्रक्टर्स' के योग में।

P को सेट की श्रेणी पर सत्ता स्थापित निर्माण होने दें, जिसे सहसंयोजक फ़ंक्टर माना जाता है। पी-कोलजेब्रस एक द्विआधारी संबंध के साथ सेट के साथ विशेषण पत्राचार में हैं। अब एक और सेट, ए को ठीक करें। फिर एंडोफंक्टर पी (ए × (-)) के लिए कोलजेब्रस लेबल संक्रमण प्रणाली के साथ विशेषण पत्राचार में हैं, और कोलजेब्रस के बीच होमोमोर्फिज़्म लेबल ट्रांज़िशन सिस्टम के बीच कार्यात्मक bisimulation के अनुरूप हैं।

अनुप्रयोग

कंप्यूटर विज्ञान में, कोलजेब्रा सिस्टम और डेटा संरचनाओं के व्यवहार को निर्दिष्ट करने के एक सुविधाजनक और उपयुक्त सामान्य तरीके के रूप में उभरा है जो संभावित रूप से अनंत हैं, उदाहरण के लिए वस्तु उन्मुख कार्यकर्म , स्ट्रीम_(कंप्यूटिंग) और ट्रांज़िशन_सिस्टम में कक्षाएं। जबकि बीजगणितीय विनिर्देश कार्यात्मक व्यवहार से संबंधित है, आमतौर पर निर्माणकर्ताओं द्वारा उत्पन्न आगमनात्मक डेटाटाइप्स का उपयोग करते हुए, कोलजेब्रिक विनिर्देश सह-प्रक्रियात्मक प्रकारों द्वारा प्रतिरूपित व्यवहार से संबंधित है जो चयनकर्ताओं द्वारा देखे जा सकते हैं, ऑटोमेटा सिद्धांत की भावना में बहुत कुछ। अंतिम कोलजेब्रा द्वारा यहां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है, जो संभवतः अनंत व्यवहारों का पूरा सेट है, जैसे धाराएं। ऐसी प्रणालियों के गुणों को व्यक्त करने का प्राकृतिक तर्क कोलजेब्रिक मॉडल तर्क है।^{[citation needed]}

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी कड़ियाँ