क्वांटम घड़ी मॉडल

क्वांटम क्लॉक मॉडल एक क्वांटम जाली मॉडल है। यह अनुप्रस्थ-क्षेत्र आइसिंग मॉडल का सामान्यीकरण है। इसे एक जाली पर परिभाषित किया गया है $N$ प्रत्येक साइट पर स्थितियाँ। इस मॉडल का हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है

$H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right)$

यहां, सबस्क्रिप्ट जाली साइटों और योग को संदर्भित करते हैं $\sum _{\langle i,j\rangle }$ निकटतम पड़ोसी साइटों के जोड़े पर किया जाता है $i$ और $j$. घड़ी मैट्रिक्स $X_{j}$ और $Z_{j}$ हैं $N\times N$ पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण संतोषजनक है

$Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}$ और $X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1$

कहाँ $\delta _{j,k}$ यदि 1 है $j$ और $k$ वही साइट हैं और अन्यथा शून्य। $J$ ऊर्जा के आयामों वाला एक प्रीफ़ेक्टर है, और $g$ एक अन्य युग्मन गुणांक है जो निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन की तुलना में बाहरी क्षेत्र की सापेक्ष ताकत निर्धारित करता है।

मॉडल एक वैश्विक का पालन करता है $\mathbb {Z} _{N}$ समरूपता, जो एकात्मक संचालक द्वारा उत्पन्न होती है $U_{X}=\prod _{j}X_{j}$ जहां उत्पाद जाली की प्रत्येक साइट पर है। दूसरे शब्दों में, $U_{X}$ हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करता है।

कब $N=2$ क्वांटम क्लॉक मॉडल अनुप्रस्थ-क्षेत्र आइसिंग मॉडल के समान है। कब $N=3$ क्वांटम क्लॉक मॉडल क्वांटम थ्री-स्टेट पॉट्स मॉडल के बराबर है। कब $N=4$, मॉडल फिर से आइसिंग मॉडल के बराबर है। कब $N>4$इस बात के पुख्ता प्रमाण मिले हैं कि इन मॉडलों में प्रदर्शित चरण परिवर्तन कुछ सामान्यीकरण होने चाहिए कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण का, जिसकी भौतिक प्रकृति अभी भी काफी हद तक अज्ञात है।

एक आयामी मॉडल

ऐसी विभिन्न विश्लेषणात्मक विधियाँ हैं जिनका उपयोग विशेष रूप से एक आयाम में क्वांटम घड़ी मॉडल का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

क्रेमर्स-वानियर द्वैत

क्लॉक मैट्रिसेस की एक गैर-स्थानीय मैपिंग जिसे क्रेमर्स-वानियर द्वैत परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, निम्नानुसार की जा सकती है:

$${\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}^{\dagger }Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}$$

फिर, टिल्ड के साथ नए परिभाषित घड़ी मैट्रिक्स के संदर्भ में, जो मूल घड़ी मैट्रिक्स के समान बीजगणितीय संबंधों का पालन करते हैं, हैमिल्टनियन बस है $H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j}^{\dagger }+{\textrm {h.c.}})$. यह इंगित करता है कि युग्मन पैरामीटर वाला मॉडल $g$ युग्मन पैरामीटर वाले मॉडल से दोहरा है $g^{-1}$, और आदेशित चरण और अव्यवस्थित चरण के बीच द्वंद्व स्थापित करता है।

ध्यान दें कि एक आयामी श्रृंखला की सीमाओं पर कुछ सूक्ष्म विचार हैं; इनके फलस्वरूप पतन और $\mathbb {Z} _{N}$ क्रेमर्स-वैनियर द्वैत के तहत चरणों के समरूपता गुण बदल जाते हैं। अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण में सिद्धांत को एक से जोड़ना शामिल है $\mathbb {Z} _{N}$ गेज फ़ील्ड; गेज को ठीक करने से क्रेमर्स वानियर परिवर्तन के परिणाम पुन: उत्पन्न होते हैं।

चरण संक्रमण

के लिए $N=2,3,4$, क्रमित चरण से अव्यवस्थित चरण तक एक अद्वितीय चरण संक्रमण होता है $g=1$. मॉडल को स्व-दोहरा कहा जाता है क्योंकि क्रेमर्स-वानियर परिवर्तन हैमिल्टनियन को स्वयं में बदल देता है। के लिए $N>4$, पर दो चरण संक्रमण बिंदु हैं $g_{1}<1$ और $g_{2}=1/g_{1}>1$. इस बात के पुख्ता प्रमाण मिले हैं कि ये चरण परिवर्तन सामान्यीकरण का एक वर्ग होना चाहिए कोस्टरलिट्ज़-थूलेस संक्रमण का। केटी संक्रमण भविष्यवाणी करता है कि मुक्त ऊर्जा में एक आवश्यक विलक्षणता होती है जो इस प्रकार होती है $e^{-{\tfrac {c}{\sqrt {|g-g_{c}|}}}}$, जबकि विक्षुब्ध अध्ययन में पाया गया कि आवश्यक विलक्षणता इस प्रकार व्यवहार करती है $e^{-{\tfrac {c}{|g-g_{c}|^{\sigma }}}}$ कहाँ $\sigma$ से चला जाता है $0.2$ को $0.5$ जैसा $N$ से बढ़ता है $5$ को $9$. भौतिक चित्र इनमें से चरण परिवर्तन अभी भी स्पष्ट नहीं हैं।

जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन

जॉर्डन विग्नर परिवर्तन के रूप में जाना जाने वाला एक अन्य गैर-स्थानीय मानचित्रण का उपयोग सिद्धांत को पैराफर्मियन के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।