खेल सुलझ गया

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हल किया गया खेल एक ऐसा खेल है जिसके परिणाम (जीत, हार या टाई (ड्रा)) का किसी भी स्थिति से सही अनुमान लगाया जा सकता है, यह मानते हुए कि दोनों खिलाड़ी पूरी तरह से खेलते हैं। यह अवधारणा आम तौर पर अमूर्त रणनीति खेलों पर लागू होती है, और विशेष रूप से पूरी जानकारी वाले खेलों पर और मौके का कोई तत्व नहीं; ऐसे गेम को हल करने के लिए कॉम्बिनेटरियल गेम थ्योरी और/या कंप्यूटर सहायता का उपयोग किया जा सकता है।

अवलोकन

दो खिलाड़ियों वाले खेल को कई स्तरों पर हल किया जा सकता है:[1][2]

अति-कमजोर
साबित करें कि क्या पहला खिलाड़ी शुरुआती स्थिति से जीतेगा, हारेगा या ड्रा खेलेगा, बशर्ते दोनों तरफ से #परफेक्ट खेल हो। यह एक रचनात्मक प्रमाण | गैर-रचनात्मक प्रमाण (संभवतः एक रणनीति-चोरी तर्क शामिल) हो सकता है जिसे वास्तव में सही खेल की किसी भी चाल को निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं होती है।
कमज़ोर
एक एल्गोरिथ्म प्रदान करें जो खेल की शुरुआत से ही प्रतिद्वंद्वी की किसी भी संभावित चाल के खिलाफ एक खिलाड़ी की जीत या दोनों में से किसी एक के लिए ड्रॉ सुनिश्चित करता है।
मज़बूत
एक एल्गोरिदम प्रदान करें जो किसी भी स्थिति से सही चाल उत्पन्न कर सके, भले ही एक या दोनों तरफ से पहले ही गलतियाँ हो चुकी हों।

उनके नाम के बावजूद, कई गेम सिद्धांतकारों का मानना ​​है कि अति-कमजोर प्रमाण सबसे गहरे, सबसे दिलचस्प और मूल्यवान हैं। अति-कमजोर प्रमाणों के लिए एक विद्वान को खेल के अमूर्त गुणों के बारे में तर्क करने की आवश्यकता होती है, और यह दिखाना होता है कि अगर सही खेल का एहसास होता है तो ये गुण कुछ निश्चित परिणामों की ओर कैसे ले जाते हैं।[citation needed]

इसके विपरीत, मजबूत सबूत अक्सर क्रूर बल से आगे बढ़ते हैं - एक खेल का पेड़ की विस्तृत खोज के लिए कंप्यूटर का उपयोग करके यह पता लगाना कि अगर सही खेल का एहसास हुआ तो क्या होगा। परिणामी प्रमाण बोर्ड पर हर संभावित स्थिति के लिए एक इष्टतम रणनीति देता है। हालाँकि, ये सबूत गहरे कारणों को समझने में उतने सहायक नहीं हैं कि क्यों कुछ गेम ड्रॉ के रूप में हल किए जा सकते हैं, और अन्य, प्रतीत होता है कि बहुत ही समान गेम जीत के रूप में हल किए जा सकते हैं।

किसी भी दो-व्यक्ति गेम के नियमों को सीमित संख्या में पदों के साथ देखते हुए, कोई भी हमेशा एक अल्पमहिष्ठ एल्गोरिथ्म का निर्माण कर सकता है जो गेम ट्री को विस्तृत रूप से पार करेगा। हालाँकि, चूंकि कई गैर-तुच्छ खेलों के लिए ऐसे एल्गोरिदम को किसी दिए गए स्थान पर एक चाल उत्पन्न करने के लिए असंभाव्य समय की आवश्यकता होगी, एक गेम को कमजोर या दृढ़ता से हल नहीं माना जाता है जब तक कि एल्गोरिदम को मौजूदा हार्डवेयर द्वारा नहीं चलाया जा सकता है उपयुक्त समय। कई एल्गोरिदम एक विशाल पूर्व-निर्मित डेटाबेस पर निर्भर करते हैं और प्रभावी रूप से इससे अधिक कुछ नहीं हैं।

एक मजबूत समाधान के उदाहरण के रूप में, टिक टीएसी को पैर की अंगुली का खेल दोनों खिलाड़ियों के लिए सही खेल के साथ ड्रॉ के रूप में हल करने योग्य है (परिणाम मैन्युअल रूप से निर्धारित किया जा सकता है)। निम जैसे गेम भी कॉम्बिनेटरियल गेम थ्योरी का उपयोग करके एक कठोर विश्लेषण स्वीकार करते हैं।

कोई खेल सुलझ गया है या नहीं, यह जरूरी नहीं है कि यह इंसानों के खेलने के लिए दिलचस्प बना रहे या नहीं। यहां तक ​​कि दृढ़ता से हल किया गया खेल तब भी दिलचस्प हो सकता है यदि उसका समाधान याद रखने के लिए बहुत जटिल हो; इसके विपरीत, यदि जीतने की रणनीति याद रखने योग्य सरल है (उदाहरण के लिए, महाराजा और सिपाही) तो एक कमजोर ढंग से हल किया गया खेल अपना आकर्षण खो सकता है। एक अति-कमजोर समाधान (उदाहरण के लिए, पर्याप्त बड़े बोर्ड पर चॉम्प या हेक्स (बोर्ड गेम)) आम तौर पर खेलने की क्षमता को प्रभावित नहीं करता है।

उत्तम नाटक

खेल सिद्धांत में, सही खेल एक खिलाड़ी का व्यवहार या रणनीति है जो प्रतिद्वंद्वी की प्रतिक्रिया की परवाह किए बिना उस खिलाड़ी के लिए सर्वोत्तम संभव परिणाम की ओर ले जाता है। किसी गेम के लिए सही खेल का पता तब चलता है जब गेम हल हो जाता है।[1]खेल के नियमों के आधार पर, प्रत्येक संभावित अंतिम स्थिति का मूल्यांकन किया जा सकता है (जीत, हार या ड्रा के रूप में)। पीछे की ओर जंजीर द्वारा, कोई भी गैर-अंतिम स्थिति का पुनरावर्ती मूल्यांकन उस स्थिति के समान कर सकता है जो एक कदम दूर है और उस खिलाड़ी के लिए सर्वोत्तम मूल्यांकित है जिसकी चाल है। इस प्रकार पदों के बीच परिवर्तन से आगे बढ़ने वाले खिलाड़ी के लिए कभी भी बेहतर मूल्यांकन नहीं हो सकता है, और किसी स्थिति में एक आदर्श कदम उन पदों के बीच एक संक्रमण होगा जिनका समान रूप से मूल्यांकन किया जाता है। उदाहरण के तौर पर, ड्रा स्थिति में एक आदर्श खिलाड़ी को हमेशा ड्रॉ या जीत मिलेगी, हार कभी नहीं। यदि समान परिणाम वाले कई विकल्प हैं, तो कभी-कभी सही खेल को अच्छे परिणाम की ओर ले जाने वाली सबसे तेज़ विधि माना जाता है, या बुरे परिणाम की ओर ले जाने वाली सबसे धीमी विधि माना जाता है।

परफेक्ट प्ले को गैर-परफेक्ट सूचना गेम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, क्योंकि ऐसी रणनीति जो प्रतिद्वंद्वी की रणनीति की परवाह किए बिना उच्चतम न्यूनतम अपेक्षित मूल्य की गारंटी देगी। उदाहरण के तौर पर, रॉक पेपर कैंची के लिए सही रणनीति प्रत्येक विकल्प को समान (1/3) संभावना के साथ यादृच्छिक रूप से चुनना होगा। इस उदाहरण में नुकसान यह है कि यह रणनीति कभी भी प्रतिद्वंद्वी की गैर-इष्टतम रणनीतियों का फायदा नहीं उठाएगी, इसलिए किसी भी रणनीति की तुलना में इस रणनीति का अपेक्षित परिणाम हमेशा न्यूनतम अपेक्षित परिणाम के बराबर होगा।

हालाँकि किसी गेम की इष्टतम रणनीति (अभी तक) ज्ञात नहीं हो सकती है, गेम खेलने वाला कंप्यूटर अभी भी कुछ शतरंज एंडगेम स्थितियों (एंडगेम टेबलबेस के रूप में) से गेम के समाधान से लाभान्वित हो सकता है, जो गेम में कुछ बिंदु के बाद उसे पूरी तरह से खेलने की अनुमति देगा। कंप्यूटर शतरंज कार्यक्रम ऐसा करने के लिए प्रसिद्ध हैं।

समाधान खेल

ओवारे (मनकाला परिवार का एक खेल)
ग्रैंड स्लैम को समाप्त करने वाले खेल की अनुमति देने वाले अंत के संस्करण को एम्स्टर्डम, नीदरलैंड्स (2002) में निःशुल्क विश्वविद्यालय में हेनरी बॉल और जॉन रोमिन द्वारा दृढ़ता से हल किया गया था। कोई भी खिलाड़ी खेल को ड्रा के लिए बाध्य कर सकता है।
चॉपस्टिक्स (हाथ का खेल)
दृढ़ता से हल किया गया। यदि दो खिलाड़ी अच्छा खेलें तो खेल अनिश्चित काल तक चलता रहेगा।[citation needed]
चार कनेक्ट करें
कनेक्ट फोर का गेम सुलझ गया है
सबसे पहले 1 अक्टूबर 1988 को जेम्स डी. एलन द्वारा और स्वतंत्र रूप से 16 अक्टूबर 1988 को विक्टर एलिस द्वारा हल किया गया।[3] पहला खिलाड़ी जीत को मजबूर कर सकता है। जॉन ट्रॉम्प के 8-प्लाई डेटाबेस द्वारा दृढ़ता से हल किया गया[4] (फरवरी 4, 1995)। सभी बोर्ड आकारों के लिए कमजोर रूप से हल किया गया जहां चौड़ाई+ऊंचाई अधिकतम 15 है (साथ ही 2015 के अंत में 8×8)[3](फरवरी 18, 2006)।
परिशुद्ध करण
मार्टेन शैड द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया। गेम ड्रा है.[5]
मुफ़्त Gomoku
विक्टर एलिस द्वारा हल किया गया (1993)। पहला खिलाड़ी नियम खोले बिना जीत को मजबूर कर सकता है।[1]; भूत (खेल)
1987 में आधिकारिक स्क्रैबल प्लेयर्स डिक्शनरी का उपयोग करके एलन फ्रैंक द्वारा हल किया गया।[6]
हेक्सापॉन
3×3 संस्करण को काले रंग की जीत के रूप में हल किया गया, कई अन्य बड़े वेरिएंट भी हल किए गए।[7]
खोया
कलाह (6/6) को छोड़कर अधिकांश वेरिएंट जेफ्री इरविंग, जेरोएन डोनकर्स और जोस उइटरविज्क (2000) द्वारा हल किए गए। (6/6) संस्करण को एंडर्स कार्स्टेंसन (2011) द्वारा हल किया गया था। अधिकांश मामलों में प्रथम-खिलाड़ी का मजबूत लाभ सिद्ध हुआ।[8][9] गैथर्सबर्ग, एमडी के मार्क रॉलिंग्स ने (6/6) संस्करण (2015) में पहले खिलाड़ी की जीत की मात्रा निर्धारित की है। 39 जीबी के एंडगेम डेटाबेस के निर्माण के बाद, कुल 106 दिनों के सीपीयू समय और 55 ट्रिलियन से अधिक नोड्स की खोज के बाद, यह साबित हुआ कि, सही खेल के साथ, पहला खिलाड़ी 2 से जीतता है। ध्यान दें कि ये सभी परिणाम खाली-पिट कैप्चर को संदर्भित करते हैं वैरिएंट और इसलिए मानक गेम के लिए बहुत सीमित रुचि रखते हैं। मानक नियम खेल का विश्लेषण अब कलाह(6,4) के लिए पोस्ट किया गया है, जो पहले खिलाड़ी के लिए 8 से जीत है, और कलाह(6,5), जो पहले खिलाड़ी के लिए 10 से जीत है। मानक नियमों के साथ कलाह(6,6) का विश्लेषण जारी है, हालांकि, यह साबित हो गया है कि यह पहले खिलाड़ी के लिए कम से कम 4 से जीत है।
एल खेल
आसानी से हल करने योग्य। कोई भी खिलाड़ी खेल को ड्रा के लिए बाध्य कर सकता है।
शतरंज हारना
1. e3 से शुरुआत करते हुए श्वेत की जीत के रूप में कमजोर रूप से हल किया गया।[10]
महाराजा और सिपाही
यह असममित खेल सही खेल वाले सिपाही खिलाड़ी की जीत है।[citation needed]
एनआईएम
दृढ़ता से हल किया गया।[11]
नौ पुरुषों की मॉरिस
राल्फ गैसर द्वारा हल किया गया (1993)। कोई भी खिलाड़ी खेल को ड्रा के लिए बाध्य कर सकता है।[12][13]
व्यवस्था और अराजकता
ऑर्डर (पहला खिलाड़ी) जीतता है।[14]
अभिमानी
मनुष्यों द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया, लेकिन कंप्यूटर द्वारा सिद्ध किया गया।[citation needed] (हालाँकि, डैकोन ओहवाल्हू के समान नहीं है, वह खेल जिसे वास्तव में डी वूग्ट ने देखा था)[citation needed]
सिंक कैमिंस#वेरिएंट
जेसन डौकेट (2001) द्वारा सशक्त रूप से हल किया गया।[15] गेम ड्रा है. यदि आप प्रतिबिंबित स्थितियों को छोड़ दें तो केवल दो अद्वितीय पहली चालें हैं। एक ड्रा को मजबूर करता है, और दूसरा प्रतिद्वंद्वी को 15 में जबरन जीत दिलाता है।
पेंटागो
एनईआरएससी में एक सुपरकंप्यूटर के उपयोग के साथ जेफ्री इरविंग द्वारा दृढ़ता से हल किया गया। पहला खिलाड़ी जीतता है.
pentominoes
एच.के. ऑरमन द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया।[16] यह पहले खिलाड़ी की जीत है.
क्वार्टो (बोर्ड गेम)
ल्यूक गूसेन्स द्वारा हल किया गया (1998)। दो पूर्ण खिलाड़ी हमेशा ड्रा करेंगे।[17][18][19]
3D_tic-tac-toe#%22Qubic%22
ोरें पाताशनिक (1980) और विक्टर एलिस द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया। पहला खिलाड़ी जीतता है.
साम्राज्य जैसा गेम जिसमें शुरुआती नियम शामिल नहीं हैं
जानोस वैगनर और इस्तवान विराग (2001) द्वारा हल किए जाने का दावा किया गया।[citation needed] पहले खिलाड़ी की जीत।
सिम (पेंसिल गेम)
कमजोर ढंग से हल किया गया: दूसरे खिलाड़ी की जीत।[citation needed]
टीको
गाइ एल. स्टील, जूनियर द्वारा हल (1998)। प्रकार के आधार पर या तो पहले खिलाड़ी की जीत होती है या ड्रा होता है।[20]
तीन पुरुषों की मॉरिस
तुच्छ रूप से हल करने योग्य. कोई भी खिलाड़ी खेल को ड्रा के लिए बाध्य कर सकता है।[citation needed]
तीन बन्दूकधारी (खेल)
2009 में जोहान्स लायर द्वारा दृढ़तापूर्वक हल किया गया, और 2017 में अली एलाब्रिडी द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया।[21] यह नीले मोहरों (कार्डिनल रिशेल्यू के आदमी, या, दुश्मन) की जीत है।[22]
टिक टीएसी को पैर की अंगुली
छोटे गेम ट्री के कारण इसे आसानी से हल किया जा सकता है।[23] यदि कोई गलती नहीं की जाती है तो खेल ड्रा है, शुरुआती चाल में कोई गलती संभव नहीं है।
बाघ-चल
यू जिन लिम (2007) द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया। गेम ड्रा है.[24]
विथॉफ का खेल
विलेम अब्राहम विथॉफ द्वारा दृढ़तापूर्वक हल किया गया| 1907 में डब्ल्यू. ए. वाइथॉफ़।[25]


कमज़ोर-समाधान

अंग्रेजी ड्राफ्ट (चेकर्स)
ड्राफ्ट के इस 8×8 संस्करण को जोनाथन शेफ़र की टीम द्वारा 29 अप्रैल, 2007 को कमजोर रूप से हल किया गया था। मानक शुरुआती स्थिति से, दोनों खिलाड़ी सही खेल के साथ ड्रॉ की गारंटी दे सकते हैं।[26] चेकर्स अब तक हल किया गया सबसे बड़ा गेम है, जिसमें 5×10 का खोज स्थान है20.[27] इसमें शामिल गणनाओं की संख्या 10 थी14, जो 18 वर्षों की अवधि में किये गये। इस प्रक्रिया में अपने चरम पर 200 डेस्कटॉप कंप्यूटर से लेकर लगभग 50 तक शामिल थे।[28]
बाघ और बकरी
यू जिन लिम (2007) द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया। गेम ड्रा है.[24]
pentominoes
एच.के. ऑरमैन द्वारा कमजोर रूप से हल किया गया। यह पहले खिलाड़ी की जीत है.[16]


आंशिक रूप से हल किए गए खेल

शतरंज
Main article: Solving chess
शतरंज को पूरी तरह से हल करना अभी भी मायावी है, और यह अनुमान लगाया गया है कि खेल की जटिलता इसे कभी भी हल करने से रोक सकती है। प्रतिगामी विश्लेषण के माध्यम से, दो राजाओं (शतरंज) को मोहरों के रूप में गिनते हुए, सभी तीन से सात-टुकड़ों वाले शतरंज के एंडगेम के लिए एंडगेम टेबलबेस (मजबूत समाधान) पाए गए हैं।
कुछ मिनीचेस का समाधान हो गया है। कुछ अन्य लोकप्रिय वेरिएंट भी हल कर लिए गए हैं; उदाहरण के लिए, महाराजा और सिपाहियों के लिए एक कमजोर समाधान चालों की एक आसानी से यादगार श्रृंखला है जो सिपाही खिलाड़ी को जीत की गारंटी देती है।
जाओ (खेल)
2002 में सभी शुरुआती चालों के लिए 5×5 बोर्ड को कमजोर रूप से हल किया गया था।[29] 7×7 बोर्ड 2015 में कमजोर रूप से हल किया गया था।[30] मनुष्य आमतौर पर 19×19 बोर्ड पर खेलते हैं जो 7×7 की तुलना में 145 ऑर्डर से अधिक जटिल है।[31]
हेक्स (बोर्ड गेम)
एक रणनीति-चोरी तर्क (जैसा कि जॉन फोर्ब्स नैश, जूनियर द्वारा उपयोग किया गया) से पता चलता है कि सभी वर्ग बोर्ड आकार पहले खिलाड़ी द्वारा नहीं खोए जा सकते हैं। ड्रॉ की असंभवता के प्रमाण के साथ मिलकर, यह दर्शाता है कि खेल पहले खिलाड़ी की जीत है (इसलिए यह अति-कमजोर हल है)।[citation needed] विशेष बोर्ड आकारों के बारे में अधिक जानकारी है: 6×6 तक के बोर्ड आकारों के लिए इसे कई कंप्यूटरों द्वारा दृढ़ता से हल किया जाता है।[citation needed] कमजोर समाधान बोर्ड आकार 7×7 (पाई नियम का उपयोग करके), 8×8, और 9×9 के लिए जाने जाते हैं;[citation needed] 8×8 मामले में, सभी शुरुआती चालों के लिए एक कमजोर समाधान जाना जाता है।[32] एन×एन बोर्ड पर हेक्स को मजबूती से हल करना असंभावित है क्योंकि समस्या को पीएसपीएसीई-पूर्ण दिखाया गया है।[citation needed] यदि हेक्स को एन×(एन + 1) बोर्ड पर खेला जाता है तो जिस खिलाड़ी के पास कनेक्ट करने के लिए कम दूरी होती है वह हमेशा सरल जोड़ी रणनीति से जीत सकता है, भले ही दूसरा खेलने का नुकसान हो।[citation needed]
अंतर्राष्ट्रीय ड्राफ्ट
दो से सात मोहरों वाली सभी एंडगेम स्थितियाँ हल कर ली गईं, साथ ही 4×4 और 5×3 मोहरों वाली स्थितियाँ जहाँ प्रत्येक पक्ष में एक राजा या उससे कम था, पाँच पुरुषों बनाम चार पुरुषों वाली स्थितियाँ, पाँच पुरुषों बनाम तीन पुरुषों और एक राजा वाली स्थितियाँ, और चार पुरुषों और एक राजा बनाम चार पुरुषों वाली स्थितियाँ। अंतिम स्थिति की स्थिति 2007 में संयुक्त राज्य अमेरिका के एड गिल्बर्ट द्वारा हल की गई थी। कंप्यूटर विश्लेषण से पता चला कि यदि दोनों खिलाड़ियों ने अच्छा प्रदर्शन किया तो मैच के ड्रॉ पर समाप्त होने की अत्यधिक संभावना है।[33][better source needed]
एम,एन,के-गेम|एम,एन,के-गेम
यह दिखाना मामूली बात है कि दूसरा खिलाड़ी कभी नहीं जीत सकता; रणनीति-चोरी का तर्क देखें। लगभग सभी मामले k ≤ 4 के लिए कमजोर ढंग से हल किए गए हैं। कुछ परिणाम k = 5 के लिए ज्ञात हैं। खेल k ≥ 8 के लिए ड्रा किए गए हैं।[citation needed]
में वापिस आ गया (ओथेलो)
जुलाई 1993 में जोएल फेनस्टीन द्वारा दूसरे खिलाड़ी की जीत के रूप में 4×4 और 6×6 बोर्ड पर कमजोर रूप से हल किया गया।[34] 8×8 बोर्ड (मानक एक) पर यह गणितीय रूप से अनसुलझा है, हालांकि कंप्यूटर विश्लेषण एक संभावित ड्रा दिखाता है। 10×10 और इससे बड़े बोर्ड पर शुरुआती खिलाड़ी (ब्लैक) के लिए बढ़ी हुई संभावनाओं के अलावा कोई पुख्ता अनुमान मौजूद नहीं है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Allis, Louis Victor (1994-09-23). गेम्स और आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस में समाधान खोजना (PhD thesis). Maastricht: Rijksuniversiteit Limburg. ISBN 90-9007488-0.
  2. ↑ H. Jaap van den Herik, Jos W.H.M. Uiterwijk, Jack van Rijswijck, Games solved: Now and in the future, Artificial Intelligence 134 (2002) 277–311.
  3. ↑ 3.0 3.1 "जॉन्स कनेक्ट फोर प्लेग्राउंड". tromp.github.io.
  4. ↑ "UCI Machine Learning Repository: Connect-4 Data Set". archive.ics.uci.edu.
  5. ↑ M.P.D. Schadd; M.H.M. Winands; J.W.H.M. Uiterwijk; H.J. van den Herik; M.H.J. Bergsma (2008). "फैनोरोना में सर्वश्रेष्ठ खेल ड्रा की ओर ले जाता है" (PDF). New Mathematics and Natural Computation. 4 (3): 369–387. doi:10.1142/S1793005708001124. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2015-04-08.
  6. ↑ Frank, Alan (1987-08-01). "भूत दर्द". Word Ways. 20 (4).
  7. ↑ Price, Robert. "हेक्सापॉन". www.chessvariants.com.
  8. ↑ Solving Kalah by Geoffrey Irving, Jeroen Donkers and Jos Uiterwijk.
  9. ↑ Solving (6,6)-Kalaha by Anders Carstensen.
  10. ↑ Watkins, Mark. "Losing Chess: 1. e3 wins for White" (PDF). Retrieved 17 January 2017.
  11. ↑ Bouton, C. L. (1901–1902), "Nim, a game with a complete mathematical theory", Annals of Mathematics, 3 (14): 35–39, doi:10.2307/1967631, JSTOR 1967631
  12. ↑ Gasser, Ralph (1996). "Solving Nine Men's Morris". In Nowakowski, Richard (ed.). कोई मौका नहीं के खेल (PDF). Vol. 29. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 101–113. ISBN 9780521574112.
  13. ↑ Nine Men's Morris is a Draw by Ralph Gasser
  14. ↑ "solved: Order wins - Order and Chaos".
  15. ↑ Pangki is strongly solved as a Draw by Jason Doucette
  16. ↑ 16.0 16.1 Hilarie K. Orman: Pentominoes: A First Player Win in Games of no chance, MSRI Publications – Volume 29, 1996, pages 339-344. Online: pdf.
  17. ↑ http://wouterkoolen.info/Talks/quarto.pdf[bare URL PDF]
  18. ↑ "414298141056 Quarto Draws Suffice!".
  19. ↑ "Quarto". Archived from the original on 2004-10-12.
  20. ↑ Teeko, by E. Weisstein
  21. ↑ Elabridi, Ali. "आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस और गेम थ्योरी का उपयोग करके थ्री मस्किटियर्स गेम को कमजोर रूप से हल करना" (PDF).
  22. ↑ Three Musketeers, by J. Lemaire
  23. ↑ Tic-Tac-Toe, by R. Munroe
  24. ↑ 24.0 24.1 Yew Jin Lim. On Forward Pruning in Game-Tree Search. Ph.D. Thesis, National University of Singapore, 2007.
  25. ↑ Wythoff, W. A. (1907), "A modification of the game of nim", Nieuw Archief voor Wiskunde, 7 (2): 199–202
  26. ↑ Schaeffer, Jonathan (2007-07-19). "चेकर्स का समाधान हो गया है". Science. 317 (5844): 1518–22. Bibcode:2007Sci...317.1518S. doi:10.1126/science.1144079. PMID 17641166. S2CID 10274228. Retrieved 2007-07-20.
  27. ↑ "प्रोजेक्ट - चिनूक - वर्ल्ड मैन-मशीन चेकर्स चैंपियन". Retrieved 2007-07-19.
  28. ↑ Mullins, Justin (2007-07-19). "चेकर्स ने वर्षों तक नंबर क्रंच करने के बाद 'समाधान' किया". NewScientist.com news service. Retrieved 2020-12-06.
  29. ↑ 5×5 Go is solved by Erik van der Werf
  30. ↑ "首期喆理围棋沙龙举行 李喆7路盘最优解具有里程碑意义_下棋想赢怕输_新浪博客". blog.sina.com.cn. (which says the 7x7 solution is only weakly solved and it's still under research, 1. the correct komi is 9 (4.5 stone); 2. there are multiple optimal trees - the first 3 moves are unique - but within the first 7 moves there are 5 optimal trees; 3. There are many ways to play that don't affect the result)
  31. ↑ Counting legal positions in Go Archived 2007-09-30 at the Wayback Machine, Tromp and Farnebäck, accessed 2007-08-24.
  32. ↑ P. Henderson, B. Arneson, and R. Hayward, [webdocs.cs.ualberta.ca/~hayward/papers/solve8.pdf Solving 8×8 Hex ], Proc. IJCAI-09 505-510 (2009) Retrieved 29 June 2010.
  33. ↑ Some of the nine-piece endgame tablebase by Ed Gilbert
  34. ↑ "6×6 Othello weakly solved". Archived from the original on 2009-11-01.


अग्रिम पठन

  • Allis, Beating the World Champion? The state-of-the-art in computer game playing. in New Approaches to Board Games Research.


बाहरी संबंध

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