गाऊसी फिल्टर

एक विशिष्ट गाऊसी फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया का आकार

मुख्य रूप से डिजिटल संकेत प्रसंस्करण में इलेक्ट्रानिक्स और सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक गॉसियन फिल्टर एक फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) है, जिसका आवेग प्रतिक्रिया एक गाऊसी समारोह है (या इसका एक अनुमान है, क्योंकि एक वास्तविक गॉसियन प्रतिक्रिया में [[अंकीय संकेत प्रक्रिया]] होगी)। गाऊसी फिल्टर में वृद्धि और गिरावट के समय को कम करते हुए एक चरण फ़ंक्शन इनपुट में कोई ओवरशूट (सिग्नल) नहीं होने का गुण होता है। यह व्यवहार इस तथ्य से निकटता से जुड़ा हुआ है कि गॉसियन फ़िल्टर में न्यूनतम संभव समूह विलंब है। एक गाऊसी फ़िल्टर में उच्च आवृत्तियों के दमन का सबसे अच्छा संयोजन होगा, जबकि फूरियर परिवर्तन#अनिश्चितता सिद्धांत का महत्वपूर्ण बिंदु होने के नाते, स्थानिक फैलाव को कम करना भी होगा। ऑसिलोस्कोप#द वर्टिकल एम्प्लीफायर जैसे क्षेत्रों में ये गुण महत्वपूर्ण हैं और डिजिटल दूरसंचार प्रणाली।

गणितीय रूप से, एक गॉसियन फ़िल्टर गॉसियन फ़ंक्शन के साथ घुमाव द्वारा इनपुट सिग्नल को संशोधित करता है; इस परिवर्तन को वीयरस्ट्रैस परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है।

परिभाषा

एक आयामी गाऊसी फ़िल्टर द्वारा दी गई एक आवेग प्रतिक्रिया है

$g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}e^{-ax^{2}}$

और फ़्यूरियर ट्रांसफ़ॉर्म#स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस, वन-डायमेंशनल द्वारा आवृत्ति प्रतिक्रिया दी जाती है

${\hat {g}}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}$

साथ $f$ सामान्य आवृत्ति। इन समीकरणों को मानक विचलन के साथ पैरामीटर के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}$

और आवृत्ति प्रतिक्रिया द्वारा दी गई है

${\hat {g}}(f)=e^{-f^{2}/(2\sigma _{f}^{2})}$

लेखन से $a$ के एक समारोह के रूप में $\sigma$ के लिए दो समीकरणों के साथ $g(x)$ और एक कार्य के रूप में $\sigma _{f}$ के लिए दो समीकरणों के साथ ${\hat {g}}(f)$ यह दिखाया जा सकता है कि आवृत्ति डोमेन में मानक विचलन और मानक विचलन का उत्पाद द्वारा दिया जाता है

$\sigma \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}$,

जहां मानक विचलन उनकी भौतिक इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, उदा। क्रमशः सेकंड और हर्ट्ज़ में समय और आवृत्ति के मामले में।

दो आयामों में, यह दो ऐसे गॉसियनों का उत्पाद है, एक प्रति दिशा:

$g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}$

जहाँ x क्षैतिज अक्ष में उत्पत्ति से दूरी है, y ऊर्ध्वाधर अक्ष में मूल बिंदु से दूरी है, और σ गाऊसी वितरण का मानक विचलन है।

डिजिटल कार्यान्वयन

गॉसियन फ़ंक्शन के लिए है $x\in (-\infty ,\infty )$ और सैद्धांतिक रूप से एक अनंत विंडो लंबाई की आवश्यकता होगी। हालांकि, चूंकि यह तेजी से क्षय होता है, इसलिए फ़िल्टर विंडो को छोटा करना और फ़िल्टर को सीधे संकीर्ण विंडो के लिए लागू करना उचित होता है, वास्तव में एक साधारण आयताकार खिड़की समारोह का उपयोग करके। अन्य मामलों में, ट्रंकेशन महत्वपूर्ण त्रुटियां पेश कर सकता है। इसके बजाय एक अलग विंडो फ़ंक्शन का उपयोग करके बेहतर परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं; विवरण के लिए स्केल स्पेस कार्यान्वयन देखें।

फ़िल्टरिंग में कनवल्शन शामिल है। फ़िल्टर फ़ंक्शन को इंटीग्रल ट्रांसफ़ॉर्म का कर्नेल कहा जाता है। गॉसियन कर्नेल निरंतर है। आमतौर पर, असतत समतुल्य नमूना गॉसियन कर्नेल होता है जो निरंतर गॉसियन से नमूने बिंदुओं द्वारा निर्मित होता है। असतत गॉसियन कर्नेल का उपयोग करने का एक वैकल्पिक तरीका है जिसमें कुछ उद्देश्यों के लिए बेहतर विशेषताएं हैं। सैंपल गॉसियन कर्नेल के विपरीत, असतत गॉसियन कर्नेल असतत प्रसार समीकरण का समाधान है।

चूंकि गॉसियन फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण से गॉसियन फ़ंक्शन उत्पन्न होता है, इसलिए सिग्नल (अधिमानतः अतिव्यापी विंडो वाले ब्लॉकों में विभाजित होने के बाद) को तेजी से फूरियर रूपांतरण के साथ परिवर्तित किया जा सकता है, जिसे गॉसियन फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है और वापस रूपांतरित किया जाता है। यह एक मनमाने परिमित आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर को लागू करने की मानक प्रक्रिया है, केवल अंतर के साथ कि फ़िल्टर विंडो का फूरियर रूपांतरण स्पष्ट रूप से ज्ञात है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय के कारण, गॉसियन को एक बहुत ही सरल फिल्टर जैसे सामान्य गति के कई रन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। साधारण मूविंग एवरेज निरंतर बी-पट्टी (एक आयताकार पल्स) के साथ कनवल्शन से मेल खाता है, और, उदाहरण के लिए, मूविंग एवरेज के चार पुनरावृत्तियों से फ़िल्टर विंडो के रूप में एक क्यूबिक बी-स्पलाइन प्राप्त होता है, जो गॉसियन को काफी अच्छी तरह से अनुमानित करता है। मूविंग एवरेज की गणना करना काफी सस्ता है, इसलिए स्तरों को काफी आसानी से कैस्केड किया जा सकता है।

असतत मामले में मानक विचलन से संबंधित हैं

$\sigma \cdot \sigma _{f}={\frac {N}{2\pi }}$

जहां मानक विचलन नमूनों की संख्या में व्यक्त किए जाते हैं और N नमूनों की कुल संख्या है। आँकड़ों से शर्तों को उधार लेते हुए, फ़िल्टर के मानक विचलन को उसके आकार के माप के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। गाऊसी फिल्टर की कट-ऑफ आवृत्ति आवृत्ति डोमेन उपज में मानक विचलन द्वारा परिभाषित की जा सकती है

$f_{c}=\sigma _{f}={\frac {1}{2\pi \sigma }}$

जहां सभी राशियों को उनकी भौतिक इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। यदि $\sigma$ नमूनों में मापा जाता है कट ऑफ आवृत्ति (भौतिक इकाइयों में) के साथ गणना की जा सकती है

$f_{c}={\frac {F_{s}}{2\pi \sigma }}$

कहां $F_{s}$ नमूना दर है। इस कट-ऑफ़ फ़्रीक्वेंसी पर गॉसियन फ़िल्टर का प्रतिक्रिया मान exp(−0.5) ≈ 0.607 के बराबर होता है।

हालांकि, कट-ऑफ फ्रीक्वेंसी को आधे पावर पॉइंट के रूप में परिभाषित करना अधिक सामान्य है: जहां पावर स्पेक्ट्रम में फ़िल्टर प्रतिक्रिया 0.5 (−3 dB) तक कम हो जाती है, या 1/√2आयाम स्पेक्ट्रम में ≈ 0.707 (उदाहरण के लिए बटरवर्थ फ़िल्टर # मूल पेपर देखें)। फ़िल्टर की प्रतिक्रिया के लिए मनमाने ढंग से कट-ऑफ़ मान 1/c के लिए कट-ऑफ़ फ़्रीक्वेंसी द्वारा दी गई है

$f_{c}={\sqrt {\ln(c)}}\cdot \sigma _{f}$

c = 2 के लिए अंतिम समीकरण में आवृत्ति डोमेन में मानक विचलन से पहले स्थिरांक लगभग 1.1774 के बराबर होता है, जो हाफ मैक्सिमम (FWHM) पर पूरी चौड़ाई का आधा होता है (गॉसियन फ़ंक्शन#गुण देखें)। सी = के लिए√2 यह स्थिरांक लगभग 0.8326 के बराबर है। ये मान 1 के काफी करीब हैं।

एक साधारण चलती औसत एक समान वितरण (असतत) से मेल खाती है और इस प्रकार आकार की इसकी फ़िल्टर चौड़ाई होती है $n$ मानक विचलन है ${\sqrt {(n^{2}-1)/12}}$. इस प्रकार क्रमिक का आवेदन $m$ आकार के साथ मूविंग एवरेज ${n}_{1},\dots ,{n}_{m}$ का मानक विचलन प्राप्त करें

$\sigma ={\sqrt {\frac {n_{1}^{2}+\cdots +n_{m}^{2}-m}{12}}}$

(ध्यान दें कि मानक विचलन योग नहीं करते हैं, लेकिन प्रसरण करते हैं।)

गॉसियन कर्नेल की आवश्यकता होती है $6\sigma -1$ मान, उदा. के लिए ${\sigma }$ 3 में से इसे लंबाई 17 के कर्नेल की आवश्यकता होती है। 5 बिंदुओं के चलने वाले औसत फ़िल्टर का सिग्मा होगा ${\sqrt {2}}$. इसे तीन बार चलाने से a मिलेगा ${\sigma }$ 2.42 का। यह देखा जाना बाकी है कि खराब सन्निकटन के बजाय गाऊसी का उपयोग करने से लाभ कहाँ है।

जब दो आयामों में लागू किया जाता है, तो यह सूत्र एक गाऊसी सतह का उत्पादन करता है जिसकी उत्पत्ति पर अधिकतम होती है, जिसका :wikt:contours केंद्र के रूप में मूल के साथ संकेंद्रित वृत्त होते हैं। एक दो आयामी कनवल्शन मैट्रिक्स (गणित) को सूत्र से पूर्व-गणना की जाती है और दो आयामी डेटा के साथ सजाया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व नया मान उस तत्व पड़ोस के भारित औसत पर सेट होता है। फोकल तत्व सबसे भारी वजन प्राप्त करता है (उच्चतम गॉसियन मान रखता है) और पड़ोसी तत्वों को छोटे वजन प्राप्त होते हैं क्योंकि फोकल तत्व से उनकी दूरी बढ़ जाती है। इमेज प्रोसेसिंग में, मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व एक पिक्सेल विशेषता का प्रतिनिधित्व करता है जैसे कि चमक या रंग की तीव्रता, और समग्र प्रभाव को गौस्सियन धुंधलापन कहा जाता है।

गॉसियन फ़िल्टर गैर-कारणात्मक है जिसका अर्थ है कि फ़िल्टर विंडो समय-क्षेत्र में उत्पत्ति के बारे में सममित है। यह गाऊसी फिल्टर को शारीरिक रूप से अवास्तविक बनाता है। यह आमतौर पर उन अनुप्रयोगों के लिए कोई परिणाम नहीं होता है जहां फ़िल्टर बैंडविड्थ सिग्नल से काफी बड़ा होता है। रीयल-टाइम सिस्टम में, देरी होती है क्योंकि आने वाले नमूनों को फ़िल्टर विंडो भरने की आवश्यकता होती है, इससे पहले कि फ़िल्टर को सिग्नल पर लागू किया जा सके। जबकि देरी की कोई भी मात्रा सैद्धांतिक गॉसियन फ़िल्टर कारण नहीं बना सकती है (क्योंकि गॉसियन फ़ंक्शन गैर-शून्य हर जगह है), गॉसियन फ़ंक्शन इतनी तेज़ी से शून्य में परिवर्तित हो जाता है कि एक कारण सन्निकटन एक मामूली देरी के साथ किसी भी आवश्यक सहिष्णुता को प्राप्त कर सकता है, यहां तक ​​​​कि सटीकता तक IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट का।

अनुप्रयोग

• जीएसएम चूंकि यह जीएमएसके मॉड्यूलेशन लागू करता है
• GFSK में गॉसियन फ़िल्टर का भी उपयोग किया जाता है।
• कैनी एज डिटेक्टर इमेज प्रोसेसिंग में उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• बटरवर्थ फिल्टर
• कंघी फिल्टर
• चेबिशेव फिल्टर
• असतत गॉसियन कर्नेल
• अण्डाकार फिल्टर
• गौस्सियन धुंधलापन
• गाऊसी पिरामिड
• स्केल स्पेस
• स्केल स्पेस कार्यान्वयन

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