जटिल-आधार प्रणाली

अंकगणित में, एक जटिल-आधार प्रणाली एक स्थितीय अंक प्रणाली है जिसका मूलांक एक काल्पनिक संख्या है (1955 में डोनाल्ड नुथ द्वारा प्रस्तावित)) या सम्मिश्र संख्या (1964 में एस. खमेलनिक द्वारा प्रस्तावित)। और 1965 में वाल्टर एफ. पेनी).

सामान्य तौर पर

होने देना $D$ एक अभिन्न डोमेन बनें $\subset \mathbb {C}$, और $|\cdot |$ निरपेक्ष मान (बीजगणित)#निरपेक्ष मान के प्रकार|(आर्किमिडीयन) इस पर निरपेक्ष मान।

एक संख्या $X\in D$ स्थितीय संख्या प्रणाली में इसे विस्तार के रूप में दर्शाया जाता है

$X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },$

कहाँ

$\rho \in D$		is the radix (or base) with $|\rho |>1$,
$\nu \in \mathbb {Z}$		is the exponent (position or place),
$x_{\nu }$		are digits from the finite set of digits $Z\subset D$, usually with $|x_{\nu }|<|\rho |.$

प्रमुखता $R:=|Z|$ विघटन का स्तर कहलाता है।

स्थितीय संख्या प्रणाली या 'कोडिंग प्रणाली' एक युग्म है

$\left\langle \rho ,Z\right\rangle$

मूलांक के साथ $\rho$ और अंकों का सेट $Z$, और हम अंकों का मानक सेट लिखते हैं $R$ अंकों के रूप में

$Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.$

निम्नलिखित सुविधाओं के साथ कोडिंग सिस्टम वांछनीय हैं:

• प्रत्येक संख्या में $D$, इ। जी। पूर्णांक $\mathbb {Z}$, गाऊसी पूर्णांक $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ या पूर्णांक $\mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]$, एक परिमित कोड के रूप में विशिष्ट रूप से प्रस्तुत करने योग्य है, संभवतः एक संकेत (गणित) ± के साथ।
• भिन्नों के क्षेत्र में प्रत्येक संख्या $K:=\operatorname {Quot} (D)$, जो संभवतः द्वारा दिए गए मीट्रिक (गणित) के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है $|\cdot |$ उपज $K:=\mathbb {R}$ या $K:=\mathbb {C}$, एक अनंत श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करने योग्य है $X$ जो नीचे एकत्रित हो जाता है $|\cdot |$ के लिए $\nu \to -\infty$, और एक से अधिक प्रतिनिधित्व वाले संख्याओं के सेट का माप (गणित) 0 है। बाद वाले के लिए आवश्यक है कि सेट $Z$ न्यूनतम हो, अर्थात $R=|\rho |$ वास्तविक संख्याओं के लिए और $R=|\rho |^{2}$ सम्मिश्र संख्याओं के लिए.

वास्तविक संख्याओं में

इस नोटेशन में हमारी मानक दशमलव कोडिंग योजना को दर्शाया गया है

$\left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,$

मानक बाइनरी सिस्टम है

$\left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,$

नकारात्मक आधार प्रणाली है

$\left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,$

और संतुलित टर्नरी प्रणालीहै

$\left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .$

इन सभी कोडिंग प्रणालियों में उल्लिखित विशेषताएं हैं $\mathbb {Z}$ और $\mathbb {R}$, और अंतिम दो को हस्ताक्षर की आवश्यकता नहीं है।

सम्मिश्र संख्याओं में

जटिल संख्याओं के लिए प्रसिद्ध स्थितीय संख्या प्रणालियों में निम्नलिखित शामिल हैं ($\mathrm {i}$ काल्पनिक इकाई होने के नाते):

• $\left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle$, उदा. $\left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle$ और

$\left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle$,क्वाटर-काल्पनिक आधार, 1955 में डोनाल्ड नुथ द्वारा प्रस्तावित।

• $\left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle$ और

$\left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle$(नीचे अनुभाग #Base_.E2.88.921_.C2.B1_i|Base −1 ± i भी देखें)।

• $\left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle$, कहाँ $\varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}$, $\beta <\min(R,2{\sqrt {R}})$ और $\beta _{}^{}$ एक धनात्मक पूर्णांक है जो किसी दिए गए पर अनेक मान ले सकता है $R$. के लिए $\beta =1$ और $R=2$ यही व्यवस्था है

$\left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .$

• $\left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle$.
• $\left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle$, जहां सेट है $A_{R}^{2}$ सम्मिश्र संख्याओं से मिलकर बनता है $r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i}$, और संख्याएँ $\alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}$, उदा.

$\left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .$

• $\left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle$, कहाँ $\rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}$ 

बाइनरी सिस्टम

जटिल संख्याओं की बाइनरी कोडिंग प्रणालियाँ, यानी अंकों वाली प्रणालियाँ $Z_{2}=\{0,1\}$, व्यावहारिक रुचि के हैं।नीचे कुछ कोडिंग सिस्टम सूचीबद्ध हैं $\langle \rho ,Z_{2}\rangle$ (सभी उपरोक्त प्रणालियों के विशेष मामले हैं) और सम्मान। (दशमलव) संख्याओं के लिए कोड −1, 2, −2, i. मानक बाइनरी (जिसके लिए एक संकेत, पहली पंक्ति की आवश्यकता होती है) और नेगबाइनरी सिस्टम (दूसरी पंक्ति) को भी तुलना के लिए सूचीबद्ध किया गया है। उनके पास वास्तविक विस्तार नहीं है i.

Some bases and some representations

Radix	–1 ←	2 ←	–2 ←	i ←	Twins and triplets
2	–1	10	–10	i	1 ←	0.1 = 1.0
–2	11	110	10	i	1/3 ←	0.01 = 1.10
$\mathrm {i} {\sqrt {2}}$	101	10100	100	10.101010100...	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}$ ←	0.0011 = 11.1100
${\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}$	111	1010	110	11.110001100...	${\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}$ ←	1.011 = 11.101 = 11100.110
$\rho _{2}$	101	10100	100	10	1/3 + 1/3i ←	0.0011 = 11.1100
–1+i	11101	1100	11100	11	1/5 + 3/5i ←	0.010 = 11.001 = 1110.100
2i	103	2	102	10.2	1/5 + 2/5i ←	0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300

जैसा कि निरपेक्ष मान (बीजगणित) # निरपेक्ष मान के प्रकार वाली सभी स्थितीय संख्या प्रणालियों में होता है, नकारात्मक आधार # गैर-अद्वितीय प्रतिनिधित्व वाली कुछ संख्याएँ भी होती हैं। ऐसी संख्याओं के उदाहरण तालिका के दाहिने कॉलम में दिखाए गए हैं। ये सभी भिन्नों को दोहरा रहे हैं जिनके दोहराव को इसके ऊपर एक क्षैतिज रेखा द्वारा चिह्नित किया गया है।

यदि अंकों का सेट न्यूनतम है, तो ऐसी संख्याओं के सेट का माप (गणित) 0 है। यह सभी उल्लिखित कोडिंग प्रणालियों का मामला है।

तुलनात्मक उद्देश्यों के लिए लगभग बाइनरी क्वाटर-काल्पनिक प्रणाली को निचली पंक्ति में सूचीबद्ध किया गया है। वहां वास्तविक और काल्पनिक भाग एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।

आधार −1 ± i

पूर्णांक वाली सम्मिश्र संख्याएँ आधार के सभी शून्यों को विभाजित करती हैं i – 1 प्रणाली

विशेष रुचि चतुर्-काल्पनिक आधार (आधार) की है 2i) और आधार −1 ± i नीचे चर्चा की गई प्रणालियाँ, जिनमें से दोनों का उपयोग बिना चिह्न के गॉसियन पूर्णांकों को अंतिम रूप से दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

आधार −1 ± i, अंकों का उपयोग करते हुए 0 और 1, 1964 में एस. खमेलनिक द्वारा प्रस्तावित किया गया थाऔर 1965 में वाल्टर एफ. पेनी।

ट्विनड्रैगन से संबंध

किसी पूर्णांक का गोलाकार क्षेत्र - यानी, एक सेट $S$ जटिल (गैर-पूर्णांक) संख्याएँ जो इस प्रणाली में उनके प्रतिनिधित्व के पूर्णांक भाग को साझा करती हैं - जटिल विमान में एक भग्न आकार होता है: ड्रैगन वक्र # ट्विनड्रैगन (आंकड़ा देखें)। यह सेट $S$ परिभाषा के अनुसार, वे सभी बिंदु हैं जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है $\textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}$ साथ $x_{k}\in Z_{2}$. $S$ के अनुरूप 16 टुकड़ों में विघटित किया जा सकता है ${\tfrac {1}{4}}S$. ध्यान दें कि यदि $S$ को वामावर्त दिशा में 135° घुमाया जाता है, तो हमें सर्वांगसम दो आसन्न समुच्चय प्राप्त होते हैं ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S$, क्योंकि $(\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)$. आयत $R\subset S$ केंद्र में निर्देशांक अक्षों को वामावर्त दिशा में निम्नलिखित बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है: ${\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}$, ${\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}$, और $-{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}$, और $-{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}$. इस प्रकार, $S$ इसमें निरपेक्ष मान ≤ वाली सभी सम्मिश्र संख्याएँ शामिल हैं1/15. परिणामस्वरूप, जटिल आयत का एक इंजेक्शन का कार्य होता है

$[-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i}$

अंतराल में (गणित) $[0,1)$ मानचित्रण द्वारा वास्तविक संख्याओं का पता लगाना

$\textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}$

साथ $b>2$. इसके अलावा, दो मैपिंग हैं

${\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}$

और

${\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}$

दोनों विशेषण, जो एक विशेषण (इस प्रकार स्थान-भरने) मानचित्रण को जन्म देते हैं

$[0,1)\qquad \to \qquad S$

जो, तथापि, सतत कार्य नहीं है और इस प्रकार स्थान-भरने वाला वक्र नहीं है|स्थान-भरने वाला वक्र नहीं है। लेकिन एक बहुत करीबी रिश्तेदार, ड्रैगन कर्व#ट्विंड्रैगन|डेविस-नुथ ड्रैगन, निरंतर और जगह भरने वाला वक्र है।

यह भी देखें

• ड्रैगन वक्र

बाहरी संबंध

• "Number Systems Using a Complex Base" by Jarek Duda, the Wolfram Demonstrations Project
• "The Boundary of Periodic Iterated Function Systems" by Jarek Duda, the Wolfram Demonstrations Project
• "Number Systems in 3D" by Jarek Duda, the Wolfram Demonstrations Project