जाली मॉडल (भौतिकी)

For other uses, see Lattice model (disambiguation).

दो अणुओं ए और बी से भरी एक त्रि-आयामी जाली, यहां काले और सफेद गोले के रूप में दिखाई गई है। इस तरह की जाली का उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए - फ्लोरी-हगिन्स समाधान सिद्धांत में

गणितीय भौतिकी में, एक जाली मॉडल एक भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल है जिसे एक सातत्य (सिद्धांत) के विपरीत, एक जाली (समूह) पर परिभाषित किया जाता है, जैसे कि अंतरिक्ष या अंतरिक्ष समय की निरंतरता। जाली मॉडल मूल रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जहां क्रिस्टल के परमाणु स्वचालित रूप से एक जाली बनाते हैं। वर्तमान में, कई कारणों से जाली मॉडल सैद्धांतिक भौतिकी में काफी लोकप्रिय हैं। कुछ मॉडल बिल्कुल हल करने योग्य हैं, और इस प्रकार गड़बड़ी सिद्धांत से जो सीखा जा सकता है उससे परे भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। जाली मॉडल कम्प्यूटेशनल भौतिकी के तरीकों से अध्ययन के लिए भी आदर्श हैं, क्योंकि किसी भी सातत्य मॉडल का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे जाली मॉडल में बदल देता है। इनमें से कई मॉडलों के सटीक समाधान (जब वे हल करने योग्य हों) में सॉलिटन की उपस्थिति शामिल है। इन्हें हल करने की तकनीकों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन और लैक्स जोड़े की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम समूह शामिल हैं। इन मॉडलों के समाधान ने चरण संक्रमण, चुंबकीयकरण और स्केलिंग व्यवहार की प्रकृति के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है। भौतिक जाली मॉडल अक्सर एक सातत्य सिद्धांत के सन्निकटन के रूप में होते हैं, या तो विचलन को रोकने के लिए या संख्यात्मक विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत को एक पराबैंगनी कटऑफ देने के लिए। सातत्य सिद्धांत का एक उदाहरण जिसका व्यापक रूप से जाली मॉडल द्वारा अध्ययन किया जाता है, क्यूसीडी जाली मॉडल है, जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का एक विवेकीकरण है। हालाँकि, डिजिटल भौतिकी प्लैंक पैमाने पर प्रकृति को मौलिक रूप से अलग मानती है, जो सूचना घनत्व पर टॉक:बेकेंस्टीन बाउंड#सेलुलर ऑटोमेटा, उर्फ ​​होलोग्राफिक सिद्धांत#सीमा लगाती है। अधिक सामान्यतः, जाली गेज सिद्धांत और जाली क्षेत्र सिद्धांत अध्ययन के क्षेत्र हैं। जाली मॉडल का उपयोग पॉलिमर की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।

गणितीय विवरण

निम्नलिखित डेटा द्वारा कई जाली मॉडलों का वर्णन किया जा सकता है:

• एक जाली (समूह) $\Lambda$, अक्सर एक जाली के रूप में लिया जाता है $d$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{d}$ या $d$-आयामी टोरस यदि जाली आवधिक है। ठोस रूप से, $\Lambda$ प्रायः पूर्णांक जालक होता है। यदि जाली पर दो बिंदुओं को 'निकटतम पड़ोसी' माना जाता है, तो उन्हें एक किनारे से जोड़ा जा सकता है, जिससे जाली एक जाली ग्राफ में बदल जाती है। के शिखर $\Lambda$ कभी-कभी इन्हें साइट भी कहा जाता है।
• एक स्पिन-वेरिएबल स्पेस $S$. कॉन्फ़िगरेशन स्थान ${\mathcal {C}}$ संभावित सिस्टम अवस्थाओं का तब कार्यों का स्थान होता है $\sigma :\Lambda \rightarrow S$. कुछ मॉडलों के लिए, हम इसके बजाय फ़ंक्शंस के स्थान पर विचार कर सकते हैं $\sigma :E\rightarrow S$ कहाँ $E$ ऊपर परिभाषित ग्राफ़ का किनारा सेट है।
• एक ऊर्जा कार्यात्मक $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$, जो अतिरिक्त मापदंडों या 'युग्मन स्थिरांक' के एक सेट पर निर्भर हो सकता है $\{g_{i}\}$.

उदाहरण

आइसिंग मॉडल सामान्य घन जाली ग्राफ द्वारा दिया गया है $G=(\Lambda ,E)$ कहाँ $\Lambda$ में एक अनंत घन जालक है $\mathbb {R} ^{d}$ या एक अवधि $n$ घन जाली में $T^{d}$, और $E$ निकटतम पड़ोसियों का किनारा समूह है (एक ही अक्षर का उपयोग ऊर्जा कार्यात्मकता के लिए किया जाता है लेकिन विभिन्न उपयोग संदर्भ के आधार पर अलग-अलग होते हैं)। स्पिन-वेरिएबल स्पेस है $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$. ऊर्जा कार्यात्मक है

$E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).$

स्पिन-वेरिएबल स्पेस को अक्सर सह समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास पॉट्स मॉडल है $S=\mathbb {Z} _{n}$. सीमा में $n\rightarrow \infty$, हम XY मॉडल प्राप्त करते हैं जो है $S=SO(2)$. XY मॉडल को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से मिलता है $n$-वेक्टर मॉडल जो है $S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)$.

समाधान योग्य मॉडल

हम अंकों की एक सीमित संख्या और एक सीमित स्पिन-चर स्थान के साथ एक जाली में विशेषज्ञ हैं। इसे आवर्त के साथ, जाली को आवर्ती बनाकर प्राप्त किया जा सकता है $n$ में $d$ आयाम. फिर कॉन्फ़िगरेशन स्थान ${\mathcal {C}}$ भी सीमित है. हम विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित कर सकते हैं

$Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))$

और अभिसरण का कोई मुद्दा नहीं है (जैसा कि क्षेत्र सिद्धांत में उभरता है) क्योंकि योग सीमित है। सिद्धांत रूप में, इस योग की गणना एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है जो केवल मापदंडों पर निर्भर है $\{g_{i}\}$ और $\beta$. व्यवहार में, साइटों के बीच गैर-रैखिक इंटरैक्शन के कारण यह अक्सर मुश्किल होता है। विभाजन फ़ंक्शन के लिए बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्ति वाले मॉडल को बिल्कुल हल करने योग्य के रूप में जाना जाता है।

बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल के उदाहरण हैं आवधिक 1डी आइसिंग मॉडल, और लुप्त हो रहे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ आवधिक 2डी आइसिंग मॉडल, $H=0,$ लेकिन आयाम के लिए $d>2$, आइसिंग मॉडल अनसुलझा है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत

सटीक समाधान प्राप्त करने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अक्सर माध्य क्षेत्र सिद्धांत का सहारा लेना पड़ता है। यह माध्य क्षेत्र स्थानिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।

वैश्विक माध्य क्षेत्र

कॉन्फ़िगरेशन स्थान ${\mathcal {C}}$ कार्यों का $\sigma$ स्पिन स्पेस के उत्तल पतवार द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $S$, कब $S$ के उपसमुच्चय के संदर्भ में एक बोध है $\mathbb {R} ^{m}$. हम इसे इससे निरूपित करेंगे $\langle {\mathcal {C}}\rangle$. यह हमारे पास फ़ील्ड के औसत मान पर जाने से उत्पन्न होता है $\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)$.

जाली साइटों की संख्या के रूप में $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$, के संभावित मान $\langle \sigma \rangle$ के उत्तल पतवार को भरें $S$. एक उपयुक्त अनुमान लगाने से, ऊर्जा कार्यात्मकता माध्य क्षेत्र का एक फलन बन जाती है, अर्थात, $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ तब विभाजन फ़ंक्शन बन जाता है

$Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.$

जैसा $N\rightarrow \infty$, अर्थात, थर्मोडायनामिक सीमा में, सैडल पॉइंट सन्निकटन हमें बताता है कि इंटीग्रल असम्बद्ध रूप से उस मूल्य पर हावी है जिस पर $f(\langle \sigma \rangle )$ न्यूनतम किया गया है:

$Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}$

कहाँ $\langle \sigma \rangle _{0}$ क्या तर्क न्यूनतम हो रहा है? $f$.

एक सरल, लेकिन गणितीय रूप से कम कठोर दृष्टिकोण, जो फिर भी कभी-कभी सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है $\langle \sigma \rangle$. कॉन्फ़िगरेशन को इस रूप में लिखना $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$, की शर्तों को छोटा करना ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ फिर कॉन्फ़िगरेशन का योग विभाजन फ़ंक्शन की गणना की अनुमति देता है।

आवधिक आइसिंग मॉडल के लिए ऐसा दृष्टिकोण $d$ आयाम चरण परिवर्तन में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

स्थानिक रूप से भिन्न माध्य फ़ील्ड

मान लीजिए कि जाली की सातत्य सीमा $\Lambda$ है $\mathbb {R} ^{d}$. सभी का औसत निकालने के बजाय $\Lambda$, हम आस-पड़ोस का औसत रखते हैं $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$. यह स्थानिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र देता है $\langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle$. हम पुनः लेबल करते हैं $\langle \sigma \rangle$ साथ $\phi$ अंकन को क्षेत्र सिद्धांत के करीब लाने के लिए। यह विभाजन फ़ंक्शन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में लिखने की अनुमति देता है

$Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}$

जहां मुक्त ऊर्जा $F[\phi ]$ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्रिया का एक विक घुमाया गया संस्करण है।

उदाहरण

संघनित पदार्थ भौतिकी

• आइज़िंग मॉडल
• ANNNI मॉडल
• पॉट्स मॉडल
• चिरल पॉट्स मॉडल
• XY मॉडल
• शास्त्रीय हाइजेनबर्ग मॉडल
• एन-वेक्टर मॉडल
• वर्टेक्स मॉडल
• टोडा जाली

पॉलिमर भौतिकी

• बॉन्ड उतार-चढ़ाव मॉडल
• दूसरा मॉडल

उच्च ऊर्जा भौतिकी

• क्यूसीडी जाली मॉडल

यह भी देखें

• क्रिस्टल की संरचना
• स्केलिंग सीमा
• क्यूसीडी मामला
• जालीदार गैस

संदर्भ

• Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics (PDF), London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578