टी-मानदंड फ़ज़ी लॉजिक

टी-नॉर्म फजी लॉजिक्स गैर-शास्त्रीय लॉजिक्स का एक परिवार है, जिसे अनौपचारिक रूप से एक शब्दार्थ द्वारा सीमांकित किया जाता है जो सत्य मूल्यों और कार्यों की प्रणाली के लिए वास्तविक संख्या इकाई अंतराल [0,1] लेता है जिसे तार्किक संयोजन की अनुमेय व्याख्याओं के लिए टी-नॉर्म्स कहा जाता है। . इनका उपयोग मुख्य रूप से व्यावहारिक फ़ज़ी लॉजिक और फजी सेट में अनुमानित तर्क के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में किया जाता है।

टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स फ़ज़ी लॉजिक्स और कई-मूल्यवान लॉजिक्स के व्यापक वर्गों से संबंधित हैं। एक अच्छी तरह से व्यवहारित तार्किक निहितार्थ उत्पन्न करने के लिए, टी-मानदंडों को आमतौर पर बाएं-निरंतर होना आवश्यक है; बाएं-निरंतर टी-मानदंडों के तर्क आगे उप-संरचनात्मक तर्कों की श्रेणी में आते हैं, जिनमें से उन्हें प्रीलाइनरिटी के कानून की वैधता के साथ चिह्नित किया जाता है, (ए → बी) ∨ ( बी → ए)। प्रस्तावात्मक तर्क और प्रथम-क्रम तर्क|प्रथम-क्रम (या उच्चतर-क्रम तर्क|उच्च-क्रम) टी-मानद फ़ज़ी लॉजिक्स, साथ ही मोडल ऑपरेटर और अन्य ऑपरेटरों द्वारा उनके विस्तार दोनों का अध्ययन किया जाता है। ऐसे तर्क जो टी-मानदंड शब्दार्थ को वास्तविक इकाई अंतराल के सबसेट तक सीमित करते हैं (उदाहरण के लिए, अंतिम रूप से मूल्यवान लुकासिविक्ज़ तर्क) आमतौर पर वर्ग में भी शामिल होते हैं।

टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स के महत्वपूर्ण उदाहरण हैं मोनोइडल टी-मानदंड तर्क | सभी बाएं-निरंतर टी-नॉर्म्स के मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक (एमटीएल), बीएल (तर्क) | सभी निरंतर टी-नॉर्म्स के मूल तर्क (बीएल), उत्पाद उत्पाद टी-मानदंड का अस्पष्ट तर्क, या शून्य-पोटेंट न्यूनतम टी-मानदंड का शून्य-पोटेंट न्यूनतम तर्क। कुछ स्वतंत्र रूप से प्रेरित तर्क भी टी-मानदंड फ़ज़ी लॉजिक्स में से हैं, उदाहरण के लिए लुकासिविक्ज़ तर्क (जो लुकासिविक्ज़ टी-मानदंड का तर्क है) या मध्यवर्ती तर्क|गोडेल-डुमेट तर्क (जो न्यूनतम टी-मानदंड का तर्क है) .

प्रेरणा

फ़ज़ी लॉजिक्स के परिवार के सदस्यों के रूप में, टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स का मुख्य उद्देश्य प्रस्तावों की सत्यता की डिग्री का प्रतिनिधित्व करने वाले 1 (सत्य) और 0 (झूठ) के बीच मध्यस्थ सत्य मूल्यों को स्वीकार करके शास्त्रीय दो-मूल्य वाले तर्क को सामान्य बनाना है। इकाई अंतराल [0, 1] से डिग्री को वास्तविक संख्या माना जाता है। प्रस्तावक टी-मानक फ़ज़ी लॉजिक्स में, प्रस्तावक सूत्र सत्य-कार्यात्मक होने के लिए निर्धारित होते हैं, अर्थात, कुछ घटक प्रस्तावों से एक प्रस्तावक संयोजक द्वारा गठित एक जटिल प्रस्ताव का सत्य मूल्य एक फ़ंक्शन होता है (जिसे संयोजक का सत्य कार्य कहा जाता है) घटक प्रस्तावों के सत्य मूल्य। सत्य फ़ंक्शन सत्य डिग्री के सेट पर संचालित होते हैं (मानक शब्दार्थ में, [0, 1] अंतराल पर); इस प्रकार एक n-ary प्रस्तावात्मक संयोजक c का सत्य फलन एक फलन F है_c: [0, 1]ⁿ → [0, 1]. सत्य कार्य सत्य मूल्यों की बड़ी प्रणाली पर काम करने के लिए शास्त्रीय तर्क से ज्ञात प्रस्तावात्मक संयोजकों की सत्य तालिकाओं को सामान्यीकृत करते हैं।

टी-मानक फ़ज़ी लॉजिक्स तार्किक संयोजन के सत्य कार्य पर कुछ प्राकृतिक बाधाएँ लगाते हैं। सत्य कार्य $*\colon [0,1]^{2}\to [0,1]$ यह माना जाता है कि संयोजन निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

कम्यूटेटिविटी, यानी, $x*y=y*x$ [0, 1] में सभी x और y के लिए। यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि अस्पष्ट प्रस्तावों का क्रम संयोजन में सारहीन है, भले ही मध्यवर्ती सत्य डिग्री को स्वीकार किया गया हो।
सहयोगिता, अर्थात, $(x*y)*z=x*(y*z)$ [0, 1] में सभी x, y और z के लिए। यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि संयोजन निष्पादित करने का क्रम सारहीन है, भले ही मध्यवर्ती सत्य डिग्री को स्वीकार किया गया हो।
एकरसता अर्थात यदि $x\leq y$ तब $x*z\leq y*z$ [0, 1] में सभी x, y और z के लिए। यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि संयोजन की सत्यता की डिग्री बढ़ाने से संयोजन की सत्यता की डिग्री कम नहीं होनी चाहिए।
1 की तटस्थता, अर्थात, $1*x=x$ [0, 1] में सभी x के लिए। यह धारणा सत्य डिग्री 1 को पूर्ण सत्य मानने से मेल खाती है, जिसके संयोजन से दूसरे संयोजन का सत्य मान कम नहीं होता है। पिछली स्थितियों के साथ यह स्थिति भी सुनिश्चित करती है $0*x=0$ [0, 1] में सभी x के लिए, जो सत्य डिग्री 0 को पूर्ण मिथ्या के रूप में संदर्भित करता है, जिसके साथ संयोजन हमेशा पूर्ण रूप से असत्य होता है।
कार्य की निरंतरता $*$ (पिछली स्थितियाँ इस आवश्यकता को किसी भी तर्क में निरंतरता तक कम कर देती हैं)। अनौपचारिक रूप से यह इस धारणा को व्यक्त करता है कि संयोजनों की सत्यता की डिग्री में सूक्ष्म परिवर्तन के परिणामस्वरूप उनके संयोजन की सत्यता की डिग्री में स्थूल परिवर्तन नहीं होना चाहिए। यह स्थिति, अन्य बातों के अलावा, संयोजन से प्राप्त (अवशिष्ट) निहितार्थ का एक अच्छा व्यवहार सुनिश्चित करती है; हालाँकि, अच्छे व्यवहार को सुनिश्चित करने के लिए, फ़ंक्शन की बाईं-निरंतरता (किसी भी तर्क में)। $*$ काफी है।^[1] सामान्यतः टी-मानदंड फ़ज़ी लॉजिक्स में, केवल बाईं-निरंतरता होती है $*$ आवश्यक है, जो इस धारणा को व्यक्त करता है कि संयोजन की सत्यता की डिग्री में सूक्ष्म कमी से संयोजन की सत्यता की डिग्री में स्थूल रूप से कमी नहीं आनी चाहिए।

ये धारणाएँ संयोजन के सत्य कार्य को बाएँ-निरंतर टी-मानदंड बनाती हैं, जो फ़ज़ी लॉजिक्स (टी-मानदंड आधारित) के परिवार के नाम की व्याख्या करता है। परिवार के विशिष्ट तर्क संयोजन के व्यवहार के बारे में और अधिक धारणाएँ बना सकते हैं (उदाहरण के लिए, गोडेल-डुमेट तर्क को इसकी निष्क्रियता की आवश्यकता होती है) या अन्य संयोजक (उदाहरण के लिए, तर्क आईएमटीएल (इनवॉल्विटिव मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक) को इनवोल्यूशन (गणित) की आवश्यकता होती है नकार का)

सभी वाम-निरंतर टी-मानदंड $*$ एक अद्वितीय t-norm#Residual, यानी एक बाइनरी फ़ंक्शन है $\Rightarrow$ जैसे कि [0, 1] में सभी x, y, और z के लिए,

x*y\leq z

अगर और केवल अगर

x\leq y\Rightarrow z.

बाएं-निरंतर टी-मानदंड के अवशेष को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है

(x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.

यह सुनिश्चित करता है कि अवशेष बिंदुवार सबसे बड़ा कार्य है जैसे कि सभी x और y के लिए,

x*(x\Rightarrow y)\leq y.

उत्तरार्द्ध की व्याख्या अनुमान के मूड सेट करना नियम के अस्पष्ट संस्करण के रूप में की जा सकती है। इस प्रकार बाएं-निरंतर टी-मानदंड के अवशेष को सबसे कमजोर फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो फ़ज़ी मोडस पोनेंस को वैध बनाता है, जो इसे फ़ज़ी लॉजिक में निहितार्थ के लिए एक उपयुक्त सत्य फ़ंक्शन बनाता है। टी-मानदंड संयोजन और इसके अवशिष्ट निहितार्थ के बीच इस संबंध के लिए टी-मानदंड की वाम-निरंतरता आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

आगे के प्रस्तावात्मक संयोजकों के सत्य कार्यों को टी-मानदंड और उसके अवशेष के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए अवशिष्ट निषेध $\neg x=(x\Rightarrow 0)$ या द्वि-अवशिष्ट तुल्यता $x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).$ प्रस्तावात्मक संयोजकों के सत्य कार्यों को अतिरिक्त परिभाषाओं द्वारा भी प्रस्तुत किया जा सकता है: सबसे सामान्य हैं न्यूनतम (जो एक अन्य संयोजन संयोजक की भूमिका निभाता है), अधिकतम (जो एक वियोजक संयोजक की भूमिका निभाता है), या बाज़ डेल्टा ऑपरेटर, [0, 1] के रूप में परिभाषित किया गया है $\Delta x=1$ अगर $x=1$ और $\Delta x=0$ अन्यथा। इस तरह, एक बाएं-निरंतर टी-मानदंड, इसका अवशेष, और अतिरिक्त प्रस्तावक संयोजकों के सत्य कार्य [0, 1] में जटिल प्रस्तावक सूत्रों के सत्य मान निर्धारित करते हैं।

वे सूत्र जो हमेशा 1 का मूल्यांकन करते हैं, दिए गए बाएं-निरंतर टी-मानदंड के संबंध में टॉटोलॉजी कहलाते हैं $*,$ या $*{\mbox{-}}$ tautology. सबका सेट $*{\mbox{-}}$ टॉटोलॉजी को टी-मानदंड का तर्क कहा जाता है $*,$ क्योंकि ये सूत्र फ़ज़ी लॉजिक (टी-मानदंड द्वारा निर्धारित) के नियमों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो परमाणु सूत्रों की सत्यता की डिग्री की परवाह किए बिना (डिग्री 1 तक) धारण करते हैं। कुछ सूत्र वाम-निरंतर टी-मानदंडों के एक बड़े वर्ग के संबंध में टॉटोलॉजी (तर्क) हैं; ऐसे सूत्रों के समुच्चय को वर्ग का तर्क कहा जाता है। महत्वपूर्ण टी-मानदंड तर्क विशेष टी-मानदंड या टी-मानदंड के वर्गों के तर्क हैं, उदाहरण के लिए:

लुकासिविक्ज़ तर्क टी-मानदंड का तर्क है#प्रमुख उदाहरण|लुकासिविक्ज़ टी-मानदंड $x*y=\max(x+y-1,0)$
मध्यवर्ती तर्क|गोडेल-डुमेट तर्क टी-मानदंड#प्रमुख उदाहरण|न्यूनतम टी-मानदंड का तर्क है $x*y=\min(x,y)$
उत्पाद फ़ज़ी लॉजिक टी-मानदंड#प्रमुख उदाहरण|उत्पाद टी-मानदंड का तर्क है $x*y=x\cdot y$
मोनोइडल टी-मानदंड तर्क एमटीएल सभी बाएं-निरंतर टी-मानदंडों का (वर्ग) तर्क है
बुनियादी फ़ज़ी लॉजिक बीएल सभी निरंतर टी-मानदंडों का (वर्ग का) तर्क है

यह पता चला है कि विशेष टी-मानदंडों और टी-मानदंडों की कक्षाओं के कई तर्क स्वयंसिद्ध हैं। [0, 1] पर संबंधित टी-मानदंड शब्दार्थ के संबंध में स्वयंसिद्ध प्रणाली की पूर्णता प्रमेय को तर्क की मानक पूर्णता कहा जाता है। [0, 1] पर मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ के अलावा, तर्क सामान्य बीजगणितीय शब्दार्थ के संबंध में ठोस और पूर्ण हैं, जो प्रीलीनियर कम्यूटेटिव बाउंडेड इंटीग्रल अवशिष्ट जाली के उपयुक्त वर्गों द्वारा गठित होते हैं।

इतिहास

कुछ विशेष टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स को परिवार की पहचान से बहुत पहले ही पेश और जांच किया गया था (फ़ज़ी लॉजिक या टी-नॉर्म की धारणाओं के उभरने से भी पहले):

लुकासिविक्ज़ तर्क (लुकासिविक्ज़ टी-नॉर्म का तर्क) को मूल रूप से जन लुकासिविक्ज़ (1920) द्वारा तीन-मूल्यवान तर्क के रूप में परिभाषित किया गया था;^[2] इसे बाद में एन-वैल्यू (सभी परिमित एन के लिए) के साथ-साथ अनंत-अनेक-मूल्यवान वेरिएंट, प्रस्तावात्मक और प्रथम-क्रम दोनों के लिए सामान्यीकृत किया गया।^[3]
इंटरमीडिएट तर्क|गोडेल-डुमेट तर्क (न्यूनतम टी-मानदंड का तर्क) गोडेल के 1932 में अंतर्ज्ञानवादी तर्क के अनंत-मूल्य के प्रमाण में निहित था।^[4] बाद में (1959) इसका स्पष्ट रूप से माइकल डमेट द्वारा अध्ययन किया गया जिन्होंने तर्क के लिए पूर्णता प्रमेय साबित किया।^[5]

विशेष टी-मानदंड फ़ज़ी लॉजिक्स और उनकी कक्षाओं का एक व्यवस्थित अध्ययन पेट्र हाजेक|हाजेक के (1998) मोनोग्राफ फ़ज़ी लॉजिक के मेटामैथमैटिक्स के साथ शुरू हुआ, जिसने निरंतर टी-मानदंड के तर्क की धारणा प्रस्तुत की, तीन बुनियादी निरंतर टी के तर्क -मानदंड (Łukasiewicz, Gödel, और उत्पाद), और सभी निरंतर टी-मानदंडों के 'बुनियादी' फ़ज़ी लॉजिक बीएल (तर्क) (वे सभी प्रस्तावात्मक और प्रथम-क्रम दोनों)। पुस्तक ने हिल्बर्ट-शैली की गणना, बीजगणितीय शब्दार्थ और अन्य तर्कशास्त्र (पूर्णता प्रमेय, कटौती प्रमेय, कम्प्यूटेशनल जटिलता, आदि) से ज्ञात मेटामैथमैटिकल गुणों के साथ गैर-शास्त्रीय तर्कशास्त्र के रूप में फ़ज़ी लॉजिक्स की जांच भी शुरू की।

तब से, ढेर सारे टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स पेश किए गए हैं और उनके मेटामैथमैटिकल गुणों की जांच की गई है। कुछ सबसे महत्वपूर्ण टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स 2001 में एस्टेवा और गोडो (मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक, आईएमटीएल, एसएमटीएल, एनएम, डब्ल्यूएनएम) द्वारा पेश किए गए थे।^[1]एस्टेवा, गोडो, और मोंटागना (प्रस्तावित ŁΠ),^[6] और सिंटुला (प्रथम क्रम ŁΠ)।^[7]

तार्किक भाषा

प्रोपोज़िशनल लॉजिक टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स की तार्किक शब्दावली में मानक रूप से निम्नलिखित संयोजक शामिल हैं:

निहितार्थ $\rightarrow$ (arity). टी-मानदंड-आधारित फ़ज़ी लॉजिक्स के अलावा अन्य के संदर्भ में, टी-मानदंड-आधारित निहितार्थ को कभी-कभी अवशिष्ट निहितार्थ या आर-निहितार्थ कहा जाता है, क्योंकि इसका मानक शब्दार्थ टी-मानदंड का टी-मानदंड # अवशेष है जो मजबूत का एहसास करता है संयोजक।
मजबूत संयोजन $\And$ (बाइनरी)। अवसंरचनात्मक तर्क के संदर्भ में, संकेत $\otimes$ और नाम समूह, गहन, गुणक, या समानांतर संयोजन अक्सर मजबूत संयोजन के लिए उपयोग किए जाते हैं।
'कमजोर संयोजन' $\wedge$ (बाइनरी), जिसे जाली संयोजन भी कहा जाता है (क्योंकि यह हमेशा बीजगणितीय शब्दार्थ में मीट (गणित) के जाली (क्रम) संचालन द्वारा महसूस किया जाता है)। अवसंरचनात्मक तर्कशास्त्र के संदर्भ में, एडिटिव, एक्सटेंशनल, या तुलनात्मक संयोजन नाम कभी-कभी जाली संयोजन के लिए उपयोग किए जाते हैं। तर्क बीएल (तर्क) और इसके विस्तार में (हालांकि सामान्य रूप से टी-मानदंड तर्क में नहीं), कमजोर संयोजन निहितार्थ और मजबूत संयोजन के संदर्भ में निश्चित है, द्वारा $A\wedge B\equiv A\mathbin {\And } (A\rightarrow B).$ दो संयोजन संयोजकों की उपस्थिति संकुचन-मुक्त उपसंरचनात्मक तर्क की एक सामान्य विशेषता है।
तल $\bot$ (शून्य); $0$ या ${\overline {0}}$ सामान्य वैकल्पिक संकेत हैं और शून्य, प्रस्तावित स्थिरांक के लिए एक सामान्य वैकल्पिक नाम है (चूंकि सबस्ट्रक्चरल लॉजिक्स के स्थिरांक नीचे और शून्य टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स में मेल खाते हैं)। विनती $\bot$ असत्यता या बेतुकेपन का प्रतिनिधित्व करता है और शास्त्रीय सत्य मूल्य असत्य से मेल खाता है।
'नकार' $\neg$ (यूनरी ऑपरेशन), जिसे कभी-कभी अवशिष्ट निषेध कहा जाता है यदि अन्य निषेध संयोजकों पर विचार किया जाता है, क्योंकि इसे रिडक्टियो एड एब्सर्डम द्वारा अवशिष्ट निहितार्थ से परिभाषित किया जाता है: $\neg A\equiv A\rightarrow \bot$
समतुल्यता $\leftrightarrow$ (बाइनरी), के रूप में परिभाषित $A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)$ टी-मानदंड तर्कशास्त्र में, परिभाषा इसके समतुल्य है $(A\rightarrow B)\mathbin {\And } (B\rightarrow A).$
(कमजोर) विच्छेद $\vee$ (बाइनरी), जिसे जाली विच्छेदन भी कहा जाता है (क्योंकि यह हमेशा बीजगणितीय शब्दार्थ में जुड़ने (गणित) के जाली (क्रम) संचालन द्वारा महसूस किया जाता है)। टी-नॉर्म लॉजिक्स में इसे अन्य संयोजकों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है $A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)$
ऊपर $\top$ (nullary), जिसे एक भी कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $1$ या ${\overline {1}}$ (चूंकि सबस्ट्रक्चरल लॉजिक्स के शीर्ष और शून्य स्थिरांक टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स में मेल खाते हैं)। विनती $\top$ शास्त्रीय सत्य मान सत्य से मेल खाता है और इसे टी-मानदंड तर्क के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\top \equiv \bot \rightarrow \bot .$

कुछ प्रस्तावात्मक टी-मानदंड तर्क उपरोक्त भाषा में और अधिक प्रस्तावात्मक संयोजक जोड़ते हैं, जो अक्सर निम्नलिखित होते हैं:

डेल्टा संयोजक $\triangle$ एक एकल संयोजक है जो किसी प्रस्ताव के शास्त्रीय सत्य को प्रपत्र के सूत्रों के रूप में प्रस्तुत करता है $\triangle A$ शास्त्रीय तर्क के अनुसार व्यवहार करें। इसे बाज़ डेल्टा भी कहा जाता है, क्योंकि इसका उपयोग सबसे पहले मैथियास बाज़ ने इंटरमीडिएट लॉजिक|गोडेल-डुमेट लॉजिक के लिए किया था।^[8] टी-मानदंड तर्क का विस्तार $L$ डेल्टा संयोजक द्वारा आमतौर पर निरूपित किया जाता है $L_{\triangle }.$
सत्य स्थिरांक अशक्त संयोजक हैं जो मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ में 0 और 1 के बीच विशेष सत्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। वास्तविक संख्या के लिए $r$ , संगत सत्य स्थिरांक को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है ${\overline {r}}.$ अक्सर, सभी परिमेय संख्याओं के लिए सत्य स्थिरांक जोड़े जाते हैं। भाषा में सभी सत्य स्थिरांकों की प्रणाली को बहीखाता सिद्धांतों को संतुष्ट करना चाहिए:^[9] ${\overline {r\mathbin {\And } s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}\mathbin {\And } {\overline {s}}),$ ${\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}\mathbin {\rightarrow } {\overline {s}}),$ आदि सभी प्रस्तावात्मक संयोजकों और भाषा में परिभाषित सभी सत्य स्थिरांकों के लिए।
अनैच्छिक निषेध $\sim$ (यूनरी) को टी-नॉर्म लॉजिक्स में एक अतिरिक्त निषेध के रूप में जोड़ा जा सकता है जिसका अवशिष्ट निषेध स्वयं इनवोल्यूशन (गणित) नहीं है, अर्थात, यदि यह दोहरे निषेध के नियम का पालन नहीं करता है $\neg \neg A\leftrightarrow A$ . एक टी-मानदंड तर्क $L$ अनैच्छिक निषेध के साथ विस्तारित को आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $L_{\sim }$ और बुलाया $L$ शामिल होने के साथ.
'मजबूत विच्छेदन' $\oplus$ (बाइनरी)। अवसंरचनात्मक तर्क के संदर्भ में इसे समूह, गहन, गुणक, या समानांतर विच्छेदन भी कहा जाता है। भले ही संकुचन-मुक्त सबस्ट्रक्चरल लॉजिक्स में मानक, टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक्स में इसका उपयोग आमतौर पर केवल अनैच्छिक निषेध की उपस्थिति में किया जाता है, जो इसे मजबूत संयोजन से डी मॉर्गन के नियम द्वारा निश्चित (और इसलिए स्वयंसिद्ध) बनाता है: $A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A\mathbin {\And } \mathrm {\sim } B).$
अतिरिक्त टी-मानदंड संयोजन और अवशिष्ट निहितार्थ। कुछ स्पष्ट रूप से मजबूत टी-मानदंड तर्क, उदाहरण के लिए तर्क ŁΠ, उनकी भाषा में एक से अधिक मजबूत संयोजन या अवशिष्ट निहितार्थ हैं। मानक वास्तविक-मूल्यवान शब्दार्थ में, ऐसे सभी मजबूत संयोजनों को विभिन्न टी-मानदंडों और अवशिष्ट निहितार्थों को उनके अवशेषों द्वारा महसूस किया जाता है।

प्रपोजल टी-नॉर्म लॉजिक्स के सुव्यवस्थित सूत्रों को प्रस्तावात्मक चर (आमतौर पर गणनीय कई) से उपरोक्त तार्किक संयोजकों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जैसा कि प्रपोजल लॉजिक्स में हमेशा होता है। कोष्ठकों को सहेजने के लिए, प्राथमिकता के निम्नलिखित क्रम का उपयोग करना आम है:

यूनरी संयोजक (सबसे निकट से बांधें)
निहितार्थ और तुल्यता के अलावा अन्य बाइनरी संयोजक
निहितार्थ और तुल्यता (सबसे शिथिलता से बांधें)

टी-नॉर्म लॉजिक्स के प्रथम-क्रम वेरिएंट उपरोक्त प्रस्तावित संयोजकों और निम्नलिखित परिमाणक (तर्क)तर्क) के साथ प्रथम-क्रम तर्क की सामान्य तार्किक भाषा को नियोजित करते हैं:

सामान्य परिमाणक $\forall$
अस्तित्वगत परिमाणक $\exists$

प्रस्तावित टी-मानदंड तर्क का प्रथम-क्रम संस्करण $L$ सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है $L\forall .$

शब्दार्थ

बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का उपयोग मुख्य रूप से प्रस्तावित टी-मानद फ़ज़ी लॉजिक्स के लिए किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय संरचना के तीन मुख्य वर्ग होते हैं जिनके संबंध में एक टी-मानद फ़ज़ी तर्क होता है $L$ पूर्णता है (तर्क):

सामान्य शब्दार्थ, सभी का गठन $L$ -बीजगणित - अर्थात, सभी बीजगणित जिनके लिए तर्क ध्वनि प्रमेय है।
'रैखिक शब्दार्थ', सभी रैखिक से बना $L$ -बीजगणित - यानी, सब कुछ $L$ -बीजगणित जिसका जालक (आदेश) क्रम कुल क्रम है।
मानक शब्दार्थ, सभी मानक से निर्मित $L$ -बीजगणित - यानी, सब कुछ $L$ -बीजगणित जिसकी जाली कटौती सामान्य क्रम के साथ वास्तविक इकाई अंतराल [0,1] है। मानक में $L$ -बीजगणित, मजबूत संयोजन की व्याख्या एक बाएं-निरंतर टी-मानदंड है और अधिकांश प्रस्तावक संयोजकों की व्याख्या टी-मानदंड द्वारा निर्धारित की जाती है (इसलिए नाम टी-मानदंड-आधारित तर्क और टी-मानदंड हैं) $L$ -बीजगणित, जिसका उपयोग भी किया जाता है $L$ -जाली पर बीजगणित [0, 1])। हालांकि, अतिरिक्त संयोजकों के साथ टी-मानदंड तर्कशास्त्र में, अतिरिक्त संयोजकों की वास्तविक-मूल्यवान व्याख्या को टी-मानदंड बीजगणित को मानक कहे जाने के लिए आगे की शर्तों द्वारा प्रतिबंधित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, मानक में $L_{\sim }$ -तर्क के बीजगणित $L$ समावेशन के साथ, अतिरिक्त समावेशी निषेध की व्याख्या $\sim$ मानक सम्मिलन होना आवश्यक है $f_{\sim }(x)=1-x,$ अन्य आविष्कारों के बजाय जो व्याख्या भी कर सकते हैं $\sim$ टी-मानदंड से अधिक $L_{\sim }$ -बीजगणित.^[10] सामान्य तौर पर, इसलिए, अतिरिक्त संयोजकों के साथ टी-मानदंड तर्क के लिए मानक टी-मानदंड बीजगणित की परिभाषा स्पष्ट रूप से दी जानी चाहिए।

ग्रन्थसूची

Esteva F. & Godo L., 2001, "Monoidal t-norm based logic: Towards a logic of left-continuous t-norms". Fuzzy Sets and Systems 124: 271–288.
Flaminio T. & Marchioni E., 2006, T-norm based logics with an independent involutive negation. Fuzzy Sets and Systems 157: 3125–3144.
Gottwald S. & Hájek P., 2005, Triangular norm based mathematical fuzzy logic. In E.P. Klement & R. Mesiar (eds.), Logical, Algebraic, Analytic and Probabilistic Aspects of Triangular Norms, pp. 275–300. Elsevier, Amsterdam 2005.
Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6.

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Esteva & Godo (2001)
↑ Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (Polish, On three-valued logic). Ruch filozoficzny 5:170–171.
↑ Hay, L.S., 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus. Journal of Symbolic Logic 28:77–86.
↑ Gödel K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.
↑ Dummett M., 1959, Propositional calculus with denumerable matrix, Journal of Symbolic Logic 27: 97–106
↑ Esteva F., Godo L., & Montagna F., 2001, The ŁΠ and ŁΠ½ logics: Two complete fuzzy systems joining Łukasiewicz and product logics, Archive for Mathematical Logic 40: 39–67.
↑ Cintula P., 2001, The ŁΠ and ŁΠ½ propositional and predicate logics, Fuzzy Sets and Systems 124: 289–302.
↑ Baaz M., 1996, Infinite-valued Gödel logic with 0-1-projections and relativisations. In P. Hájek (ed.), Gödel'96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science, and Physics, Springer, Lecture Notes in Logic 6: 23–33
↑ Hájek (1998)
↑ Flaminio & Marchioni (2006)

[EG2001-1] 1.0 ^1.1 Esteva & Godo (2001)

[Luk1920-2] Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (Polish, On three-valued logic). Ruch filozoficzny 5:170–171.

[Hay1963-3] Hay, L.S., 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus. Journal of Symbolic Logic 28:77–86.

[Goe1932-4] Gödel K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.

[Dum1959-5] Dummett M., 1959, Propositional calculus with denumerable matrix, Journal of Symbolic Logic 27: 97–106

[EGM2001-6] Esteva F., Godo L., & Montagna F., 2001, The ŁΠ and ŁΠ½ logics: Two complete fuzzy systems joining Łukasiewicz and product logics, Archive for Mathematical Logic 40: 39–67.

[Cin2001-7] Cintula P., 2001, The ŁΠ and ŁΠ½ propositional and predicate logics, Fuzzy Sets and Systems 124: 289–302.

[Baa96-8] Baaz M., 1996, Infinite-valued Gödel logic with 0-1-projections and relativisations. In P. Hájek (ed.), Gödel'96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science, and Physics, Springer, Lecture Notes in Logic 6: 23–33

[Haj98-9] Hájek (1998)

[FM2006-10] Flaminio & Marchioni (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]