डबल स्पर्शरेखा बंडल

गणित में, विशेष रूप से विभेदक टोपोलॉजी में, डबल स्पर्शरेखा बंडल या दूसरा स्पर्शरेखा बंडल स्पर्शरेखा बंडल को संदर्भित करता है (TTM,π_TTM,TM) स्पर्शरेखा बंडल के कुल स्थान टीएम का (TM,π_TM,M) एक अवकलनीय मैनिफोल्ड एम का . अंकन पर एक नोट: इस लेख में, हम प्रक्षेपण मानचित्रों को उनके डोमेन द्वारा निरूपित करते हैं, उदाहरण के लिए, π_TTM : टीटीएम → टीएम। कुछ लेखक इन मानचित्रों को उनकी सीमाओं के आधार पर अनुक्रमित करते हैं, इसलिए उनके लिए, उस मानचित्र को π लिखा जाएगा_TM.

दूसरा स्पर्शरेखा बंडल कनेक्शन (वेक्टर बंडल) और दूसरे क्रम के सामान्य अंतर समीकरणों के अध्ययन में उत्पन्न होता है, यानी, चिकनी मैनिफोल्ड पर स्प्रे (गणित) | (अर्ध) स्प्रे संरचनाएं, और इसे जेट बंडल के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना और विहित फ्लिप

तब से (TM,π_TM,M) अपने आप में एक वेक्टर बंडल है, इसके स्पर्शरेखा बंडल में द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना होती है (TTM,(π_TM)_*,TM), कहाँ (π_TM)_*:TTM→TM विहित प्रक्षेपण का पुश-फॉरवर्ड है π_TM:TM→M. निम्नलिखित में हम निरूपित करते हैं

$\xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M$

और संबंधित समन्वय प्रणाली लागू करें

$\xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ldots ,\xi ^{n})$

टीएम पर. फिर X∈T पर द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना का फाइबर_xएम का रूप लेता है

$(\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\Big |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.$

डबल स्पर्शरेखा बंडल एक डबल वेक्टर बंडल है।

विहित फ्लिप एक सहज समावेशन j:TTM→TTM है जो इन वेक्टर अंतरिक्ष संरचनाओं का आदान-प्रदान करता है इस अर्थ में कि यह बीच में एक वेक्टर बंडल समरूपता है (TTM,π_TTM,TM) और (TTM,(π_TM)_*,TM). टीएम पर संबंधित निर्देशांक में इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है

$j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.$

विहित फ्लिप में यह गुण है कि किसी भी f: 'R' के लिए²→ एम,

${\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f}{{\partial s}{\partial t}}}$ जहां s और t 'R' के मानक आधार के निर्देशांक हैं ². ध्यान दें कि दोनों आंशिक व्युत्पन्न R के फलन हैं²टीटीएम को।

वास्तव में, इस संपत्ति का उपयोग कैनोनिकल फ्लिप की आंतरिक परिभाषा देने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, वहाँ एक विसर्जन है पी: जे²₀ (आर²,M) → TTM द्वारा दिया गया

$p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0,0)$

जहाँ p को शून्य पर दो-जेटों के स्थान में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि शून्य पर दो के क्रम तक केवल f पर निर्भर करता है। हम आवेदन पर विचार करते हैं:

$J:J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\to J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]$

जहां α(s,t)= (t,s). तब J प्रक्षेपण p के साथ संगत है और भागफल TTM पर विहित फ्लिप को प्रेरित करता है।

स्पर्शरेखा बंडल पर विहित टेंसर फ़ील्ड

किसी भी वेक्टर बंडल के लिए, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान T_ξ(T_xM) तंतुओं का टी_xस्पर्शरेखा बंडल का एम (TM,π_TM,M) को फाइबर टी से पहचाना जा सकता है_xएम स्वयं. औपचारिक रूप से यह 'ऊर्ध्वाधर लिफ्ट' के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, जो एक प्राकृतिक वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता है vl_ξ:T_xM→V_ξ(T_xM) के रूप में परिभाषित

$(\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\infty }(TM).$

ऊर्ध्वाधर लिफ्ट को प्राकृतिक वेक्टर बंडल समरूपता के रूप में भी देखा जा सकता है vl:(π_TM)^*TM→VTM के पुलबैक बंडल से (TM,π_TM,M) ऊपर π_TM:TM→M ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बंडल पर

$VTM:=\operatorname {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.$

ऊर्ध्वाधर लिफ्ट हमें विहित वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित करने देती है

$V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,$

जो स्लिट स्पर्शरेखा बंडल TM\0 में चिकना है। विहित सदिश क्षेत्र को लाई-समूह क्रिया के अतिसूक्ष्म जनरेटर के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$\mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .$

कैनोनिकल वेक्टर फ़ील्ड के विपरीत, जिसे किसी भी वेक्टर बंडल के लिए परिभाषित किया जा सकता है, कैनोनिकल एंडोमोर्फिज्म

$J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM$

स्पर्शरेखा बंडल के लिए विशेष है. विहित एंडोमोर्फिज्म जे संतुष्ट करता है

$\operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}}_{V}J=-J,\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],$

और इसे निम्नलिखित कारणों से स्पर्शरेखा संरचना के रूप में भी जाना जाता है। यदि (E,p,M) कोई सदिश बंडल है कैनोनिकल वेक्टर फ़ील्ड वी और एक (1,1)-टेंसर फ़ील्ड जे के साथ जो ऊपर सूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करता है, वीटीएम के स्थान पर वीई के साथ, फिर वेक्टर बंडल (ई,पी,एम) स्पर्शरेखा बंडल के समरूपी है (TM,π_TM,M)बेस मैनिफोल्ड का, और J इस समरूपता में TM की स्पर्शरेखा संरचना से मेल खाता है।

इस तरह का एक मजबूत परिणाम भी सामने आया है जो बताता है कि यदि N एक 2n-आयामी मैनिफोल्ड है और यदि N पर एक (1,1)-टेंसर फ़ील्ड J मौजूद है जो संतुष्ट करता है

$\operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J),\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],$

तब एन कुछ एन-आयामी मैनिफोल्ड एम के स्पर्शरेखा बंडल के कुल स्थान के एक खुले सेट के लिए भिन्न है, और जे इस भिन्नता में टीएम की स्पर्शरेखा संरचना से मेल खाता है।

टीएम पर किसी भी संबद्ध समन्वय प्रणाली में विहित वेक्टर क्षेत्र और विहित एंडोमोर्फिज्म में समन्वय प्रतिनिधित्व होता है

$V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}.$

(अर्ध)स्प्रे संरचनाएं

स्मूथ मैनिफोल्ड एम पर एक स्प्रे (गणित) परिभाषा के अनुसार टीएम\0 पर एक स्मूथ वेक्टर फ़ील्ड एच है, जैसे कि जेएच=वी। एक समतुल्य परिभाषा यह है कि j(H)=H, जहां j:TTM→TTM विहित फ्लिप है। एक सेमीस्प्रे एच एक स्प्रे (गणित) है, यदि इसके अतिरिक्त, [वी,एच]=एच।

स्प्रे और सेमीस्प्रे संरचनाएं एम पर दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के अपरिवर्तनीय संस्करण हैं। स्प्रे और सेमीस्प्रे संरचनाओं के बीच अंतर यह है कि स्प्रे के समाधान वक्र सकारात्मक पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) में अपरिवर्तनीय हैं। चूंकि बिंदु एम पर सेट होता है, जबकि सेमीस्प्रे के समाधान वक्र आमतौर पर नहीं होते हैं।

चिकने मैनिफ़ोल्ड पर अरेखीय सहसंयोजक व्युत्पन्न

विहित फ्लिप निम्नानुसार चिकनी मैनिफोल्ड्स पर नॉनलाइनियर सहसंयोजक डेरिवेटिव को परिभाषित करना संभव बनाता है। होने देना

$T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)$

स्लिट स्पर्शरेखा बंडल TM\0 पर एक एह्रेसमैन कनेक्शन बनें और मैपिंग पर विचार करें

$D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),$

कहां क्यों_*:TM→TTM पुश-फॉरवर्ड है, j:TTM→TTM कैनोनिकल फ्लिप है और κ:T(TM/0)→TM/0 कनेक्टर मैप है। मैपिंग डी_X इस अर्थ में एम पर चिकनी वेक्टर क्षेत्रों के मॉड्यूल Γ (टीएम) में एक व्युत्पत्ति है

• $D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.
• $D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)$.

कोई भी मैपिंग डी_X इन गुणों के साथ इसे (अरेखीय) सहसंयोजक व्युत्पन्न कहा जाता है एम पर. नॉनलाइनियर शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि इस प्रकार का सहसंयोजक व्युत्पन्न डी_X विभेदन की दिशा X∈TM/0 के संबंध में on आवश्यक रूप से रैखिक नहीं है।

स्थानीय अभ्यावेदन को देखते हुए कोई यह पुष्टि कर सकता है कि एह्रेसमैन कनेक्शन (TM/0,π) पर है_TM/0,M) और M पर अरेखीय सहसंयोजक व्युत्पन्न एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसके अलावा, यदि डी_X एक्स में रैखिक है, तो एह्रेसमैन कनेक्शन द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना में रैखिक है, और डी_X इसके रैखिक सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ मेल खाता है।

यह भी देखें

• स्प्रे (गणित)
• माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना
• फिन्सलर मैनिफोल्ड