तारकीय गतिशीलता

स्टेलर (तारकीय) गतिशास्त्र खगोलीय भौतिकी की एक शाखा है जो तारों की समूहिक गतियों का सांख्यिकीय ढंग से वर्णन करती है, जो उनके संघटीय गुरुत्वाकर्षण के कारण होती है। इसका महत्वपूर्ण अंतर आकाशीय यांत्रिकी से है कि इसमें पिंडो की संख्या $N\gg 10.$ होती है।

दो-निकाय क्षमता में एक परीक्षण निकाय का स्लिंगशॉट

अनिवार्य रूप से स्थिर क्षमता के चरण स्थान (x, mv) में अर्ध-आवधिक गति में एन-कण

विशिष्ट आकाशगंगाओं में लाखों मैक्रोस्कोपिक गुरुत्वाकर्षण निकाय और अनगिनत संख्या में न्यूट्रिनो और संभवतः अन्य गहरे सूक्ष्म निकाय हैं. साथ ही प्रत्येक तारा कुल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में कम या ज्यादा समान रूप से योगदान देता है, जबकि आकाशीय यांत्रिकी में एक विशाल निकाय का आकर्षण किसी भी उपग्रह कक्षाओं पर निर्भर करता है।

द्रव गतिकी के साथ संबंध

तारकीय गतिशीलता में प्लाज्मा भौतिकी के क्षेत्र से भी संबंध हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभिक अवधि में समान समय अवधि के माध्यम से दो क्षेत्रों में महत्वपूर्ण विकास हुआ, और दोनों गणितीय औपचारिकता ऋण मूल रूप से द्रव यांत्रिकी के क्षेत्र में विकसित हुए।

अभिवृद्धि डिस्क और तारकीय सतहों में, घने प्लाज्मा या गैस के कण बहुत बार टकराते हैं, और टकराव के परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र के नीचे संचय और संभवतः दृश्यता होती है।. हम अभिवृद्धि डिस्क और तारकीय वायुमंडल के लिए विभिन्न आकारों को देखते हैं, दोनों सूक्ष्म कण द्रव्यमान, $(L/V,M/N)$ की अत्यधिक संख्या से बने होते हैं।

• $\sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})$ तारकीय सतहों पर हैं।
• $\sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})$ सूर्य जैसे तारों या किमी आकार के तारकीय ब्लैक होल के आसपास है।
• $\sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})$ आकाशगंगाओं के केंद्रों में एयू-आकार (के बारे में लगभग मिलियन सौर द्रव्यमान ब्लैक होल) है।

तारकीय गतिशीलता में समय के पैमाने को पार करने वाली प्रणाली लंबी है, जहां इसे टिप्पणी करना सरल है।

$1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.$

लंबे समयसीमा का तात्पर्य यह है कि अभिवृद्धि डिस्क में गैस कणों के विपरीत, आकाशगंगा डिस्क में तारे बहुत कम ही अपने तारकीय जीवनकाल में टकराव देखते हैं। हालांकि, आकाशगंगा समूहों में आकाशगंगाएं कभी-कभी टकराती हैं, और तारों का स्टार समूहों में कभी-कभी करीबी टकराव होता है।

सामान्य नियम के अनुसार, संबंधित विशिष्ट पैमाने (पी.सी.बुडासी के ब्रह्मांड के लघुगणकीय मानचित्र का ऊपरी भाग देखें) $(L/V,M/N)$ हैं।

• $\sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)$ एम13 स्टार समूह के लिए है।
• $\sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})$ एम31 डिस्क गैलेक्सी के लिए।
• $\sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })$ बुलेट समूह में न्यूट्रिनो के लिए, जो N = 1000 आकाशगंगाओं का विलय प्रणाली है।

केप्लर समस्या और 3-निकाय समस्या से संबंध

एक सतही स्तर पर, सभी स्टेलर गतिकी को न्यूटन के दूसरे कानून द्वारा एक N-निकाय समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है, जहां एन सदस्यों की एक अलग तारकीय प्रणाली की आंतरिक बातचीत के लिए गति के समीकरण (ईओएम) को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$$m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.$$

यहां N-निकाय प्रणाली में, कोई भी व्यक्तिगत सदस्य, $m_{i}$, शेष $m_{j}$ सदस्यों की गुरुत्वाकर्षण क्षमता से प्रभावित होता है।

व्यवहार में, उच्चतम-प्रदर्शन कंप्यूटर अनुकरणों को छोड़कर, इस तरह से एक प्रमुख N प्रणाली के भविष्य की दृढ़ता से गणना करना संभव नहीं है। इसके अतिरिक्त, यह ईओएम बहुत कम अंतर्निहितता देता है। ऐतिहासिक रूप से, तारकीय गतिशीलता में उपयोग किए जाने वाले तरीके चिरसम्मत यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी दोनों के क्षेत्रों से उत्पन्न हुए हैं। संक्षेप में, तारकीय गतिशीलता की मूलभूत समस्या N-निकाय समस्या है, जहां N सदस्य किसी दिए गए तारकीय प्रणाली के सदस्यों को संदर्भित करते हैं। एक तारकीय प्रणाली में बड़ी संख्या में वस्तुओं को देखते हुए, तारकीय गतिशीलता कई कक्षाओं के वैश्विक, और सांख्यिकीय गुणों के साथ-साथ व्यक्तिगत कक्षाओं की स्थिति और वेग पर विशिष्ट डेटा दोनों को संबोधित कर सकती है।

गुरुत्वाकर्षण संभावित क्षेत्र की अवधारणा

तारकीय गतिशीलता में पर्याप्त संख्या में तारों की गुरुत्वाकर्षण क्षमता का निर्धारण करना शामिल है। तारों को एक ऐसे मंच के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिनकी कक्षाओं को एक दूसरे के साथ संयुक्त बातचीत द्वारा निर्धारित किया जाता है। आमतौर पर, ये बिंदु द्रव्यमान विभिन्न प्रकार के समूहों या आकाशगंगाओं में तारों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसे कि आकाशगंगा समूह, या खगोलीय समूह आदि। प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण क्षमता प्राप्त किए बिना, प्रत्येक सेकंड में प्रणाली में सभी बिंदु द्रव्यमान क्षमता को जोड़कर, स्टेलर डायनेमिकिस्ट संभावित मॉडल विकसित करते हैं जो कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ते रहते हुए प्रणाली का सटीक मॉडल कर सकते हैं। गुरुत्वीय क्षमता, $\Phi$ एक प्रणाली की गति, त्वरण और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से संबंधित है, $\mathbf {g}$ द्वारा:

$${\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},$$

जबकि क्षमता अभिन्न रूप में पॉइसन के समीकरण के माध्यम से (सुचारू) द्रव्यमान घनत्व, $\rho$ से संबंधित है।

$$\Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}$$

या अधिक सामान्य विभेदक रूप

$$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .$$

एक समान क्षेत्र में पॉइसन समीकरण और निकास गति का एक उदाहरण

विश्लेषणात्मक रूप से सुचारू खगोलीय क्षमता पर विचार करें

$${\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}$$

जहां $V_{e}(r)$ का अर्थ "किनारे से पलायन" की गति $r_{0}$ है, और ${\sqrt {2}}V_{0}$ "किनारे से अनंत तक पलायन" की गति है। गुरुत्वाकर्षण गोले के अंदर एक हार्मोनिक दोलक की पुनर्स्थापना क्षमता की तरह है, और केप्लरियन जैसा कि हेवीसाइड फ़ंक्शंस द्वारा वर्णित है।

हम गोलाकार पॉइसन समीकरण का उपयोग करके संबंधित घनत्व की गणना करके सामान्यीकरण $V_{0}$ को निर्धारित कर सकते हैं।

$$G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),$$

जहां संक्षिप्त द्रव्यमान

$$M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.$$

इसलिए संभावित मॉडल त्रिज्या $r_{0}$ के एक समान क्षेत्र से संबंधित है, कुल द्रव्यमान $M_{0}$ के साथ

$${V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.$$

प्रमुख अवधारणाएं

जबकि गति और पियोसन समीकरण के दोनों समीकरण गैर- गोलाकार रूपों पर भी ले सकते हैं, समन्वय प्रणाली और भौतिक प्रणाली की समरूपता के आधार पर, सार एक ही है: एक आकाशगंगा में या एक गोलाकार क्लस्टर में सितारों की गति मुख्य रूप से अन्य, दूरस्थ सितारों के औसत वितरण द्वारा निर्धारित की जाती है। अक्सर तारकीय मुठभेड़ों में शिथिलता, द्रव्यमान अलगाव, ज्वारीय बल और गतिशील घर्षण जैसी प्रक्रियाएं शामिल हैं जो प्रणाली के सदस्यों के प्रक्षेपवक्र को प्रभावित करती हैं।

सापेक्षिक अनुमान

ऊपर न्यूटनियन ईओएम और पॉइसन समीकरण में तीन संबंधित अनुमान हैं।

एसआर और जीआर

सबसे पहले समीकरणों से सापेक्षतावादी परिवर्तनों की उपेक्षा होती है, जो क्रमबद्ध हैं:

$$(v/c)^{2}\ll 10^{-4}$$

विशिष्ट तारकीय 3-आयामी गति के रूप में, , $v\sim 3-3000$ किमी/सेकंड, प्रकाश की गति से बहुत कम है।

एडिंगटन सीमा

दूसरे गैर-गुरुत्वाकर्षण बल आमतौर पर तारकीय प्रणालियों में नगण्य होते हैं. उदाहरण के लिए, एक विशिष्ट तारे के आसपास में हाइड्रोजन परमाणु या आयन पर विकिरण-से-गुरुत्वाकर्षण बल का अनुपात,

$$Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},$$

इसलिए विकिरण बल सामान्य रूप से नगण्य है, सिवाय इसके कि द्रव्यमान $30M_{\odot }$के प्रकाशमान O- प्रकार के तारे के आसपास हो, या एडिंगटन सीमा पर गैस के एक ब्लैक होल के आसपास ताकि इसकी चमक-से-द्रव्यमान अनुपात $L_{\bullet }/M_{\bullet }$ $Q^{\text{Eddington}}=1$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

हानि शंकु

तीसरे ब्लैक होल के कुछ श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या के भीतर आने पर एक तारे को आत्यसात किया जा सकता है। हानि की यह त्रिज्या दी गई है:

$$s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}$$

हानि शंकु की कल्पना एक छोटे ठोस कोण (वेग में एक शंकु) के भीतर ब्लैक होल की ओर लक्षित गिरने वाले कणों पर विचार करके की जा सकती है। ये कण छोटे के साथ $\theta \ll 1$ प्रति इकाई द्रव्यमान में छोटा कोणीय संवेग होता है:

$$J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.$$

उनका छोटा कोणीय संवेग (के कारण) निकट पर्याप्त उच्च अवरोध $s_{\text{Loss}}$नहीं बनाता है। कण को घूमने के लिए बाध्य कर रहा है।

प्रभावी क्षमता

$$\Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),$$

न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण में हमेशा धनात्मक अनंतता होती है। हालांकि, जीआर में, यह ऋण के पास अनंत के लिए निहित है :

${\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}$ अगर $J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.$एक दृढ़ जीआर उपचार को बख्शते हुए, कोई इसे सत्यापित कर सकता है $s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}$ अंतिम स्थिर वृत्ताकार कक्षा की गणना करके, जहाँ प्रभावी क्षमता एक विभक्ति बिंदु पर है। $\Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0$ श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल की अनुमानित चिरसम्मत क्षमता का उपयोग करना है।

$$\Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].$$

ज्वारीय व्यवधान त्रिज्या

ब्लैक होल के तथाकथित हिल के दायरे में आने पर एक तारे को एक भारी ब्लैक होल द्वारा ज्वारीय रूप से पृथक किया जा सकता है, जिसके अंदर एक तारे की सतह का गुरुत्वाकर्षण ब्लैक होल से ज्वारीय बल उत्पन्न करता है, अर्थात,

$$(1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},$$

विशिष्ट ब्लैक होल के लिए $M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }$ उच्छेदन त्रिज्या

$$\max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,$$

जहां 0.001pc घनत्व तारकीय प्रणालियों में तारकीय अंतर है (उदाहरण के लिए, दूधिया मार्ग केंद्र में परमाणु स्टार क्लस्टर)। इसलिए (मुख्य अनुक्रम) तारे आम तौर पर आंतरिक रूप से बहुत कॉम्पैक्ट होते हैं और बहुत दूर तक आकाशगंगा या क्लस्टर पर्यावरण में सबसे मजबूत ब्लैक होल टाइड्स द्वारा भी बाधित होते हैं।

प्रभाव क्षेत्र की त्रिज्या

द्रव्यमान का एक कण $m$ (बहुत बड़े) क्रॉस सेक्शन में प्रवेश करने पर सापेक्ष गति V के साथ विक्षेपित हो जाएगा $\pi s_{\bullet }^{2}$ एक ब्लैक होल का। जैसे ${\sqrt {\ln \Lambda }}$ Q फज कारक तक शिथिल रूप से परिभाषित किया गया है।

$$1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},$$

अतः सूर्य जैसे तारे के लिए हमारे पास है,

$$s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },$$

उदाहरण के लिए, ब्लैक होल के साथ एक सामान्य टकराव में, उच्च सतह अपवाह गति के कारण, तारे न तो ज्वारीय रूप से बाधित होंगे और न ही भौतिक रूप से प्रभावित होंगे/उन्हें अनुमति दी जाएगी।

$$V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s}$$

किसी भी सौर द्रव्यमान तारे से, आकाशगंगाओं के बुलेट क्लस्टर में आकाशगंगाओं के बीच आंतरिक गति के बराबर, और सामान्य आंतरिक गति से अधिक

$$V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s}$$

सभी तारा समूहों के अंदर और आकाशगंगाओं में हैं।

तारा हानि शंकु और गुरुत्वीय गैस अभिवृद्धि भौतिकी के बीच संबंध

पहले द्रव्यमान के भारी ब्लैक होल पर विचार करें $M_{\bullet }$ (पुनर्वर्धित) थर्मल ध्वनि गति की एक अपव्यय गैस के माध्यम से चल रहा है ${\text{ς'}}$ और घनत्व $\rho _{\text{gas}}$, तब द्रव्यमान m का प्रत्येक गैस कण अपने सापेक्ष संवेग को स्थानांतरित करेगा $mV_{\bullet }$ त्रिज्या के एक क्रॉस-सेक्शन के भीतर आने पर BH तक

$$s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},$$

समय के पैमाने में $t_{\text{fric}}$ कि ब्लैक होल अपने स्ट्रीमिंग वेग का आधा हिस्सा खो देता है, इसका द्रव्यमान बोंडी अभिवृद्धि द्वारा दोगुना हो सकता है, अधिकांश गैस कणों को पकड़ने की एक प्रक्रिया जो इसके प्रभाव क्षेत्र में प्रवेश करती है $s_{\bullet }$, गैस के टकराव से गतिज ऊर्जा को नष्ट कर देते हैं और ब्लैक होल में गिर जाते हैं। गैस कैप्चर दर है

 
$${M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},$$
 जहां पॉलीट्रोपिक इंडेक्स $\gamma$ वेग फैलाव वर्ग की इकाइयों में ध्वनि की गति है, और ध्वनि की गति में परिवर्तन है ${\text{ς'}}$ हमें बौंडी गोलाकार अभिवृद्धि दर से मिलान करने की अनुमति देता है, ${\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}$ एडियाबेटिक गैस के लिए $\gamma =5/3$, की तुलना में ${\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}$ इज़ोटेर्माल मामले की $\gamma =1$.

एक (गतिमान) ब्लैक होल, सेटिंग द्वारा स्टार ज्वारीय व्यवधान और स्टार कैप्चर पर वापस आना $\ln \Lambda =1$, हम गैस और तारों से BH की विकास दर को सारांशित कर सकते हैं,

  ${M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}$ साथ,
 
$${\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},$$
 क्योंकि ब्लैक होल अपने प्रभाव क्षेत्र से गुजरने वाले तारे/गैस कणों के एक आंशिक/अधिकांश भाग का उपभोग करता है।

गुरुत्वाकर्षण गतिशील घर्षण

इस मामले पर विचार करें कि द्रव्यमान का एक भारी ब्लैक होल $M_{\bullet }$ में यादृच्छिक गति में तारों की पृष्ठभूमि के सापेक्ष चलता है कुल द्रव्यमान का एक समूह $(NM_{\odot })$ औसत संख्या घनत्व के साथ

$$n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)$$

एक सामान्य आकार के भीतर $R$.

अंतर्ज्ञान का कहना है कि गुरुत्वाकर्षण प्रकाश पिंडों को तेज करने और गति और गतिज ऊर्जा प्राप्त करने का कारण बनता है (गुलेल प्रभाव देखें)। ऊर्जा और संवेग के संरक्षण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्षतिपूर्ति करने के लिए भारी वस्तु को एक मात्रा से धीमा कर दिया जाएगा। चूंकि विचाराधीन पिंड के लिए संवेग और गतिज ऊर्जा का नुकसान होता है, इसलिए प्रभाव को गतिशील घर्षण कहा जाता है।

विश्राम के निश्चित समय के बाद भारी ब्लैक होल की गतिज ऊर्जा कम-विशाल पृष्ठभूमि वाली वस्तुओं के बराबर विभाजन में होनी चाहिए। ब्लैक होल की धीमी गति को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है

$$-{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},$$

कहाँ $t_{\text{fric}}^{\text{star}}$ एक गतिशील घर्षण समय कहा जाता है।

डायनेमिकल फ्रिक्शन टाइम बनाम क्रॉसिंग टाइम इन वायरलाइज्ड प्रणाली

मच-1 बीएच पर विचार करें, जो प्रारंभ में ध्वनि की गति से यात्रा करता है ${\text{ς}}=V_{0}$, इसलिए इसकी बौंडी त्रिज्या $s_{\bullet }$ संतुष्ट

$${GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},$$

कहाँ ध्वनि की गति है ${\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}$ प्रीफैक्टर के साथ ${4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4$ द्रव्यमान घनत्व के एक समान गोलाकार समूह के लिए इस तथ्य से तय किया गया है $\rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}$, एक वृत्ताकार अवधि का आधा ध्वनि के लिए अपने सबसे लंबे आयाम में एक तरफ़ा क्रॉसिंग बनाने का समय है, अर्थात,

$$2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.$$

इसे आधे-व्यास वाले क्रॉसिंग टाइम को कॉल करने की प्रथा है $t_{\text{cross}}$ गतिशील समय स्केल।

मान लें कि BH की लंबाई यात्रा करने के बाद रुक जाती है $l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}$ इसकी गति के साथ $M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}$ को जमा किया गया ${M_{\bullet } \over M_{\odot }}$ इसके रास्ते में तारे $l_{\text{fric}}/(2R)$ क्रॉसिंग, फिर बीएच के बोंडी क्रॉस सेक्शन प्रति व्यास क्रॉसिंग टाइम द्वारा विक्षेपित तारों की संख्या है

$$N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .$$

अधिक आम तौर पर, सामान्य वेग पर BH की गति का समीकरण $\mathbf {V} _{\bullet }$ क्षमता में $\Phi$ तारों के एक समुद्र के रूप में लिखा जा सकता है

$$-{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },$$

${\pi ^{2} \over 8}\approx 1$ और कूलम्ब लघुगणक संशोधित कारक ${\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1$ द्रव्यमान के साथ एक सुपरसोनिक चलती बीएच पर छूट घर्षण $M_{\bullet }\geq M_{\odot }$. अंगूठे के नियम के रूप में, इसमें एक ध्वनि क्रॉसिंग होती है $t_{\text{ς'}}$ सबसोनिक बीएच को बिना ओवरशूटिंग के किनारे से केंद्र तक सिंक करने का समय, यदि वे कुल समूह द्रव्यमान के 1/8 से अधिक वजन करते हैं। हल्के और तेज़ छिद्र अधिक समय तक तैरते रह सकते हैं।

=== गतिशील घर्षण === का अधिक दृढ़ सूत्रीकरण

वस्तु के वेग में परिवर्तन के लिए पूर्ण गतिशील घर्षण #चंद्रशेखर गतिशील घर्षण सूत्र में पदार्थ के क्षेत्र के चरण स्थान घनत्व पर एकीकरण शामिल है और यह पारदर्शी से बहुत दूर है।

यह के रूप में पढ़ता है

$${M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},$$

कहाँ

$$~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}$$

लंबाई के एक अतिसूक्ष्म बेलनाकार आयतन में कणों की संख्या है $|V_{\bullet }dt|$ और एक क्रॉस-सेक्शन $\pi s_{\bullet }^{2}$ प्रभाव के ब्लैक होल क्षेत्र के भीतर। कूलम्ब लघुगणक की तरह $\ln \Lambda$ दूर पृष्ठभूमि कणों के योगदान में कारक, यहाँ कारक $\ln(\Lambda _{\text{lag}})$ भी ड्रैग में योगदान करने के लिए बीएच कण की तुलना में पृष्ठभूमि धीमी होने की संभावना में कारक। जितने अधिक कण BH से आगे निकलते हैं, उतने ही अधिक कण BH को खींचते हैं, और उतना ही अधिक होता है $\ln(\Lambda _{\text{beaten}})$. साथ ही जितना बड़ा प्रणाली है, उतना ही बड़ा है $\ln \Lambda$.

प्राथमिक (गैस या डार्क) कणों की पृष्ठभूमि भी गतिशील घर्षण उत्पन्न कर सकती है, जो आसपास के माध्यम के द्रव्यमान घनत्व के साथ बढ़ता है, $m~n$; कम कण द्रव्यमान m की भरपाई उच्च संख्या घनत्व n द्वारा की जाती है। वस्तु जितनी अधिक विशाल होगी, उतने ही अधिक मामले को वेकेशन में खींचा जाएगा।

संपार्श्विक गैस और टक्कर रहित तारों दोनों के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को सारांशित करते हुए, हमारे पास है

 
$$M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~$$

यहाँ गैस के लिए पिछड़ा हुआ अंश और तारों के लिए द्वारा दिया जाता है

$${\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}$$

जहां हमने आगे मान लिया है कि बीएच समय से चलना शुरू कर देता है $t=0$; ध्वनि की गति के साथ गैस इज़ोटेर्मल है ${\text{ς}}$; पृष्ठभूमि तारों में (द्रव्यमान) घनत्व होता है $mn(\mathbf {x} )$ संवेग के मैक्सवेल वितरण में $p=mv$ गाऊसी वितरण वेग प्रसार के साथ $\sigma$ (वेग फैलाव कहा जाता है, आमतौर पर $\sigma \leq {\text{ς}}$).

दिलचस्प बात यह है कि $G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))$ निर्भरता से पता चलता है कि गतिशील घर्षण वेकेशन के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से होता है, जो पृष्ठभूमि वस्तुओं के साथ अपने दो-शरीर मुठभेड़ों में बड़े पैमाने पर शरीर के गुरुत्वाकर्षण ध्यान केंद्रित करने से प्रेरित होता है।

हम देखते हैं कि बल उच्च अंत में वेग के व्युत्क्रम वर्ग के समानुपाती होता है, इसलिए उच्च वेग पर ऊर्जा हानि की भिन्नात्मक दर तेजी से गिरती है। गतिशील घर्षण, इसलिए, उन वस्तुओं के लिए महत्वहीन है जो सापेक्ष रूप से चलती हैं, जैसे कि फोटॉन। इसे यह समझकर युक्तिसंगत बनाया जा सकता है कि वस्तु जितनी तेजी से मीडिया के माध्यम से चलती है, उसके पीछे जागने के लिए कम समय होता है। ध्वनि अवरोधक पर घर्षण सबसे अधिक होता है, जहाँ $\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}$.

गुरुत्वाकर्षण मुठभेड़ और विश्राम

एक तारकीय प्रणाली में तारे मजबूत और कमजोर गुरुत्वाकर्षण मुठभेड़ों के कारण एक दूसरे के प्रक्षेपवक्र को प्रभावित करेंगे। दो तारों के बीच एक मुठभेड़ को मजबूत/कमजोर के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि निकटतम मार्ग पर उनकी पारस्परिक संभावित ऊर्जा उनकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के तुलनीय/न्यूनतम है। मजबूत मुठभेड़ दुर्लभ हैं, और उन्हें आम तौर पर केवल घने तारकीय प्रणालियों में महत्वपूर्ण माना जाता है, उदाहरण के लिए, एक गोलाकार समूह के कोर में बाइनरी तारों द्वारा एक गुजरने वाले स्टार को स्लिंग-शॉट आउट किया जा सकता है। इसका मतलब है कि दो तारों को अलग होने की जरूरत है,

$$s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},$$

जहां हमने वायरल प्रमेय का उपयोग किया, आपसी संभावित ऊर्जा औसतन दो बार गतिज ऊर्जा को संतुलित करती है, यानी, जोड़ीदार संभावित ऊर्जा प्रति तारा तीन दिशाओं में ध्वनि की गति से जुड़ी दो बार गतिज ऊर्जा के साथ संतुलन बनाती है,

$$1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},$$

जहां कारक $N(N-1)/2$ दोहरी गिनती के बिना तारों की एक जोड़ी के बीच हाथ मिलाने की संख्या है, मतलब जोड़ी जुदाई $R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R$ एकसमान गोले की त्रिज्या का केवल लगभग 40\% है। की समानता पर भी ध्यान दें $Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.$

मतलब मुक्त पथ

आम तौर पर मजबूत मुठभेड़ों का औसत मुक्त मार्ग $(N-1)=4.19nR^{3}\gg 100$ तारकीय प्रणाली तो है

$$l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,$$

यानी, इसके बारे में लेता है $0.123N$ एक पार अनुभाग के भीतर आने के लिए एक ठेठ स्टार के लिए त्रिज्या क्रॉसिंग $\pi s_{*}^{2}$ अपने पथ से पूरी तरह से विमुख होना। इसलिए एक मजबूत मुठभेड़ का औसत खाली समय क्रॉसिंग समय से काफी लंबा है $R/V$.

कमजोर मुठभेड़

कई परिच्छेदों के दौरान कमजोर मुठभेड़ों का एक तारकीय प्रणाली के विकास पर अधिक गहरा प्रभाव पड़ता है। विश्राम (भौतिकी) समय की अवधारणा के साथ गुरुत्वाकर्षण मुठभेड़ों के प्रभावों का अध्ययन किया जा सकता है। विश्राम को दर्शाने वाला एक सरल उदाहरण दो-पिंड विश्राम है, जहां एक तारे की कक्षा दूसरे तारे के साथ गुरुत्वाकर्षण के संपर्क के कारण बदल जाती है।

प्रारंभ में, विषय तारा प्रारंभिक वेग के साथ एक कक्षा में यात्रा करता है, $\mathbf {v}$, जो प्रभाव पैरामीटर के लंबवत है, निकटतम दृष्टिकोण की दूरी, फ़ील्ड स्टार के लिए जिसका गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र मूल कक्षा को प्रभावित करेगा। न्यूटन के नियमों का प्रयोग करते हुए विषय तारे के वेग में परिवर्तन, $\delta \mathbf {v}$, प्रभाव पैरामीटर पर त्वरण के लगभग बराबर है, त्वरण की समय अवधि से गुणा किया जाता है।

विश्राम के समय के बारे में सोचा जा सकता है कि इसमें कितना समय लगता है $\delta \mathbf {v}$ बराबर करने के लिए $\mathbf {v}$, या वेग में छोटे विचलन के लिए तारे के प्रारंभिक वेग के बराबर होने में लगने वाला समय। एक तारकीय प्रणाली में आराम करने के लिए एक औसत तारे के लिए आधे-व्यास वाले क्रॉसिंग की संख्या $N$ वस्तुएं लगभग है

$${t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1$$

मजबूत विक्षेपण के लिए उपरोक्त औसत खाली समय अनुमानों की तुलना में अधिक दृढ़ गणना से।

उत्तर समझ में आता है क्योंकि एक शरीर या दो-शरीर प्रणाली के लिए कोई विश्राम नहीं है। टाइमस्केल्स के अनुपात का एक बेहतर सन्निकटन है $\left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}$, इसलिए 3-निकाय, 4-निकाय, 5-निकाय, 7-निकाय, 10-निकाय, ..., 42-निकाय, 72-निकाय, 140-निकाय, 210-निकाय, 550-निकाय के लिए रिलैक्सेशन टाइम है लगभग 16, 8, 6, 4, 3, ..., 3, 4, 6, 8, 16 क्रॉसिंग। पृथक बाइनरी के लिए कोई छूट नहीं है, और 16-निकाय प्रणाली के लिए छूट सबसे तेज़ है; कक्षाओं को एक-दूसरे को बिखेरने में लगभग 2.5 क्रॉसिंग लगते हैं। के साथ एक प्रणाली $N\sim 10^{2}-10^{10}$ अधिक चिकनी क्षमता है, आमतौर पर लेता है $\sim \ln N'\approx (2-20)$ कक्षीय ऊर्जा को महत्वपूर्ण रूप से बदलने के लिए एक मजबूत विक्षेपण बनाने के लिए कमजोर मुठभेड़।

घर्षण और विश्राम के बीच संबंध

स्पष्ट रूप से एक ब्लैक होल का गतिशील घर्षण विश्राम के समय की तुलना में मोटे तौर पर एक कारक से बहुत तेज है $M_{\odot }/M_{\bullet }$, लेकिन ये दोनों ब्लैक होल के समूह के लिए बहुत समान हैं,

$$N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.$$

एक तारा समूह या आकाशगंगा समूह के लिए, कहें, $N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s}$, अपने पास $t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr}$. इसलिए इन तारकीय या आकाशगंगा समूहों में सदस्यों का सामना विशिष्ट 10 Gyr जीवनकाल के दौरान महत्वपूर्ण होता है।

दूसरी ओर, ठेठ आकाशगंगा के साथ, कहते हैं, $N=10^{6}-10^{11}$ सितारे, एक क्रॉसिंग टाइम होगा $t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr}$ और उनके विश्राम का समय ब्रह्मांड की आयु से बहुत अधिक है। यह गणितीय रूप से सुचारू कार्यों के साथ मॉडलिंग आकाशगंगा की क्षमता को सही ठहराता है, विशिष्ट आकाशगंगाओं के पूरे जीवनकाल में दो-शरीर मुठभेड़ों की उपेक्षा करता है। और इस तरह की एक विशिष्ट आकाशगंगा के अंदर 10-गीयर हबल समय में तारकीय ब्लैक होल पर गतिशील घर्षण और अभिवृद्धि ब्लैक होल के वेग और द्रव्यमान को केवल एक नगण्य अंश से बदल देती है।

$$\Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}$$

यदि ब्लैक होल कुल आकाशगंगा द्रव्यमान का 0.1% से कम बनाता है $NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }$. खासकर जब $M_{\bullet }\sim M_{\odot }$, हम देखते हैं कि एक विशिष्ट तारा कभी भी मुठभेड़ का अनुभव नहीं करता है, इसलिए एक चिकनी आकाशगंगा क्षमता में अपनी कक्षा में रहता है।

गतिशील घर्षण या विश्राम का समय टकराव रहित बनाम टकराव वाले कण प्रणालियों की पहचान करता है। विश्राम के समय की तुलना में बहुत कम समय पर गतिशीलता प्रभावी रूप से टकराव रहित होती है क्योंकि विशिष्ट तारा अपने प्रारंभिक कक्षा के आकार से एक छोटे से अंश से विचलित हो जाएगा $t/t_{\text{relax}}\ll 1$. उन्हें उन प्रणालियों के रूप में भी पहचाना जाता है जहां बिंदु-द्रव्यमान क्षमता के योग के विपरीत विषय सितारे एक चिकनी गुरुत्वाकर्षण क्षमता के साथ बातचीत करते हैं। एक आकाशगंगा में दो-पिंड विश्राम के संचित प्रभाव से द्रव्यमान अलगाव (खगोल विज्ञान) के रूप में जाना जाता है, जहां अधिक बड़े पैमाने पर सितारे समूह के केंद्र के पास इकट्ठा होते हैं, जबकि कम बड़े पैमाने पर समूह के बाहरी हिस्सों की ओर धकेल दिए जाते हैं।

निरंतरता समीकरण का गोलाकार-गाय सारांश। Collisional और Collisionless प्रक्रियाओं में

एक गुरुत्वाकर्षण प्रणाली में कणों की बल्कि जटिल बातचीत के विवरण के माध्यम से जाने के बाद, यह हमेशा ज़ूम आउट करने और कुछ सामान्य विषय निकालने में सहायक होता है, दृढ़ता के एक किफायती मूल्य पर, इसलिए हल्के भार के साथ आगे बढ़ें।

पहली महत्वपूर्ण अवधारणा गड़बड़ी के पास और समग्र रूप से पृष्ठभूमि के लिए गुरुत्वाकर्षण संतुलन गति है

$${\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},$$
 एकता के सभी कारकों को लगातार छोड़ कर $4\pi$, $\pi$, $\ln {\text{Λ}}$ आदि स्पष्टता के लिए, संयुक्त द्रव्यमान का अनुमान $M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }$ और

अस्पष्ट होना कि क्या प्रणाली की ज्यामिति एक पतली/मोटी गैस/तारकीय डिस्क है या एक (गैर)-समान तारकीय/अंधेरे क्षेत्र के साथ या बिना सीमा के है, और स्थानीय परिपत्र घूर्णन गति से गतिज ऊर्जा के बीच सूक्ष्म अंतर के बारे में $V_{\text{cir}}$, रेडियल घटना गति $\langle V\rangle$, विश्व स्तर पर आइसोट्रोपिक या अनिसोट्रोपिक यादृच्छिक गति $\sigma$ एक या तीन दिशाओं में, (गैर) -समान समस्थानिक ध्वनि गति $c_{\text{ς}}$ घर्षण समय पैमाने के परिमाण के क्रम के पीछे के तर्क पर जोर देना।

दूसरा हम प्रणाली के किसी भी सामान्य मात्रा क्यू पर गोलाकार गाय शैली निरंतरता समीकरण द्वारा संपार्श्विक और टकराव रहित गैस/स्टार या डार्क मैटर की अब तक की विभिन्न प्रक्रियाओं को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

$${dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,$$

जहां $\pm$ (बढ़ते) द्रव्यमान एम और माध्य मुक्त पथ को छोड़कर साइन आम तौर पर नकारात्मक होता है $l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}$ या घर्षण समय $t_{\text{fric}}$ भौतिक टक्कर क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) से प्रत्यक्ष आणविक चिपचिपाहट के कारण हो सकता है, या कणों के गुरुत्वाकर्षण बिखरने (झुकने/फोकस/स्लिंग शॉट) के कारण हो सकता है; आम तौर पर प्रभावित क्षेत्र बौंडी अभिवृद्धि, ज्वारीय व्यवधान और हानि शंकु पर कब्जा करने की प्रतिस्पर्धी प्रक्रियाओं में सबसे बड़ा है,

$$s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.$$

उदाहरण के लिए, यदि Q पर्टुरबर का द्रव्यमान है $Q=M_{\bullet }$, तब हम (गैस / स्टार) अभिवृद्धि दर के माध्यम से गतिशील घर्षण समय का अनुमान लगा सकते हैं

$${\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}$$
 जहां हमने संबंध गति-संतुलन-गुरुत्व लागू किया है।

सीमा में गड़बड़ी एन पृष्ठभूमि कण का सिर्फ 1 है, $M_{\bullet }\rightarrow m$, इस घर्षण समय की पहचान (गुरुत्वाकर्षण) विश्राम समय से की जाती है। फिर से सभी कूलम्ब लघुगणक आदि इन गुणात्मक समीकरणों से अनुमानों को बदले बिना दबा दिए जाते हैं।

शेष तारकीय गतिशीलता के लिए, हम मुख्य रूप से कार्य किए गए उदाहरणों के माध्यम से सटीक गणनाओं पर लगातार काम करेंगे, गुरुत्वाकर्षण घर्षण और गड़बड़ी की छूट की उपेक्षा करके, सीमा में काम कर रहे हैं $N\rightarrow \infty$ 14 साल के हबल समय के पैमाने पर अधिकांश आकाशगंगाओं में अनुमानित रूप से सच है, भले ही यह कभी-कभी तारों के कुछ समूहों या आकाशगंगाओं के समूहों के समूह के लिए उल्लंघन किया जाता है।

तारकीय गतिशीलता और अभिवृद्धि डिस्क भौतिकी में कुछ मुख्य समीकरणों का एक संक्षिप्त 1-पृष्ठ सारांश यहां दिखाया गया है, जहां उपरोक्त गुणात्मक समीकरणों पर अधिक दृढ़ होने का प्रयास किया गया है।

फ़ाइल: GAPbrief.pdf|thumb

सांख्यिकीय यांत्रिकी और प्लाज्मा भौतिकी से संबंध

तारकीय गतिशीलता की सांख्यिकीय प्रकृति 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में जेम्स जीन्स जैसे भौतिकविदों द्वारा तारकीय प्रणालियों के लिए गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुप्रयोग से उत्पन्न होती है। जीन्स समीकरण, जो एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में तारों की एक प्रणाली के समय के विकास का वर्णन करते हैं, यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) के अनुरूप हैं | एक आदर्श तरल पदार्थ के लिए यूलर के समीकरण, और टकराव रहित बोल्ट्जमैन समीकरण से प्राप्त किए गए थे। यह मूल रूप से लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा थर्मोडायनामिक प्रणाली के गैर-संतुलन व्यवहार का वर्णन करने के लिए विकसित किया गया था। इसी तरह सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए, तारकीय गतिशीलता वितरण कार्यों का उपयोग करती है जो एक तारकीय प्रणाली की जानकारी को संभाव्य तरीके से समाहित करती है। एकल कण चरण-स्थान वितरण समारोह, $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$, इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN$$

कहाँ $dN/N$ स्थिति के साथ दिए गए तारे को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbf {x}$ अंतर मात्रा के आसपास $d\mathbf {x}$ और वेग ${\text{v}}$ एक अंतर वेग अंतरिक्ष मात्रा के आसपास $d\mathbf {v}$. वितरण समारोह सामान्यीकृत (कभी-कभी) ऐसा होता है कि इसे सभी पदों और वेगों पर एकीकृत करना एन के बराबर होगा, प्रणाली के निकायों की कुल संख्या। संपार्श्विक प्रणालियों के लिए, लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल के प्रमेय को एक तारकीय प्रणाली के माइक्रोस्टेट का अध्ययन करने के लिए लागू किया जाता है, और आमतौर पर सांख्यिकीय यांत्रिकी के विभिन्न सांख्यिकीय समूहों का अध्ययन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है।

=== थर्मल वितरण === के मामले में कन्वेंशन और नोटेशन अधिकांश तारकीय गतिकी साहित्य में, यह परंपरा अपनाना सुविधाजनक है कि कण द्रव्यमान सौर द्रव्यमान इकाई में एकता है $M_{\odot }$, इसलिए एक कण का संवेग और वेग समान हैं, अर्थात,

$$\mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},$$

$${dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}$$

उदाहरण के लिए, स्थिर तापमान वाले कमरे में हवा के अणुओं का तापीय वेग वितरण (आमतौर पर प्रोटॉन द्रव्यमान प्रति अणु का 15 गुना) $T_{0}\sim \mathrm {300K}$ मैक्सवेल वितरण होगा

$$f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}$$

$$f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},$$

जहां प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा

$$E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,$$

कहाँ $\Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0$ और ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$ वेग मैक्सवेल वितरण की चौड़ाई है, प्रत्येक दिशा में और कमरे में हर जगह समान है, और सामान्यीकरण स्थिर है $e^{\mu \over kT_{0}}$ (रासायनिक क्षमता मान लें ${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$ जैसे कि फर्मी-डिराक वितरण मैक्सवेल वेग वितरण में कम हो जाता है) स्थिर गैस संख्या घनत्व द्वारा तय किया जाता है $n_{0}=n(x,y,0)$ तल स्तर पर, जहां

$$n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})$$

$$n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.$$

सीबीई

प्लाज़्मा भौतिकी में, टकराव रहित बोल्ट्जमैन समीकरण को वेलासोव समीकरण कहा जाता है, जिसका उपयोग प्लाज़्मा के वितरण समारोह के समय विकास का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

बोल्ट्जमैन समीकरण को अक्सर अधिक सामान्य रूप से लिउविल ऑपरेटर के साथ लिखा जाता है ${\mathcal {L}}$ जैसा

$${\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},$$

$${\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.$$

कहाँ $\mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi$ गुरुत्वाकर्षण बल है और $f_{\text{fit}}^{\text{Max}}$ मैक्सवेल (समविभाजन) वितरण है (समान घनत्व, समान माध्य और आरएमएस वेग के रूप में फिट करने के लिए $f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )$). समीकरण का अर्थ है कि गैर-गौसियनिटी के (विश्राम) समय के पैमाने पर क्षय होगा $t_{\text{relax}}$, और प्रणाली अंततः मैक्सवेल (इक्विपर्टिशन) वितरण के लिए आराम करेगा।

जबकि जीन्स ने गुरुत्वाकर्षण की लंबी दूरी के बल के माध्यम से परस्पर क्रिया करने वाले तारों की एक प्रणाली के लिए पोइसन के समीकरण के साथ-साथ टक्कर-रहित बोल्ट्ज़मैन समीकरण को लागू किया, अनातोली व्लासोव ने मैक्सवेल के समीकरणों के साथ बोल्ट्जमैन के समीकरण को कूलम्ब बल के माध्यम से बातचीत करने वाले कणों की एक प्रणाली पर लागू किया। दोनों दृष्टिकोण कई कण प्रणाली के दीर्घकालिक विकास का अध्ययन करने के लिए लंबी दूरी की ताकतों को पेश करके गैसों के गतिज सिद्धांत से खुद को अलग करते हैं। व्लासोव समीकरण के अलावा, गोलाकार तारकीय प्रणालियों में भिगोने के प्रभावों का वर्णन करने के लिए डोनाल्ड लिंडन-बेल द्वारा लैंडौ डंपिंग इन प्लाज़्मा की अवधारणा को गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों पर लागू किया गया था। f(t,x,v) की एक अच्छी संपत्ति यह है कि इसके टकराव रहित बोल्ट्जमान समीकरण द्वारा कई अन्य गतिशील मात्राएं बनाई जा सकती हैं, जैसे, कुल द्रव्यमान, स्थानीय घनत्व, दबाव और औसत वेग। टक्कर रहित बोल्ट्ज़मैन समीकरण को लागू करते हुए, इन क्षणों को निरंतरता समीकरणों के विभिन्न रूपों से संबंधित किया जाता है, जिनमें से सबसे उल्लेखनीय जीन्स समीकरण और वायरल प्रमेय हैं।

संभाव्यता-भारित क्षण और हाइड्रोस्टेटिक संतुलन

जीन्स ने ओवर वेलोसिटी स्पेस को एकीकृत करने के बाद बोल्ट्जमान समीकरण के भारित वेग की गणना की

$${1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,$$

और मोमेंटम (जीन्स) Eqs प्राप्त करें। एक का $^{p}$जनसंख्या (के, गैस, तारे, डार्क मैटर):

$${\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}$$

जीन्स समीकरण का सामान्य संस्करण, जिसमें (3 x 3) वेग क्षण शामिल हैं, बोझिल है। यह केवल उपयोगी या हल करने योग्य हो जाता है अगर हम इनमें से कुछ क्षणों को छोड़ सकते हैं, विशेष रूप से उच्च समरूपता की प्रणालियों के लिए ऑफ-डायगोनल क्रॉस शर्तों को छोड़ सकते हैं, और हर जगह नेट रोटेशन या नेट इनफ्लो गति को भी छोड़ सकते हैं।

आइसोट्रोपिक संस्करण भी कहा जाता है हाइड्रोस्टेटिक संतुलन समीकरण जहां गुरुत्वाकर्षण के साथ दबाव प्रवणता को संतुलित करता है; वर्टिकल कोऑर्डिनेट dz के साथ व्युत्पन्न dr को बदलने के बाद, आइसोट्रोपिक संस्करण एक्सिसिमेट्रिक डिस्क के लिए भी काम करता है। इसका अर्थ है कि हम गुरुत्वाकर्षण (डार्क मैटर के) को वेग फैलाव के ढाल और तारों की संख्या घनत्व को देखकर माप सकते हैं।

अनुप्रयोग और उदाहरण

तारकीय गतिशीलता मुख्य रूप से तारकीय प्रणालियों और आकाशगंगाओं के भीतर बड़े पैमाने पर वितरण का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाती है। समूहों में तारकीय गतिकी को लागू करने के शुरुआती उदाहरणों में अल्बर्ट आइंस्टीन का 1921 का पेपर शामिल है जिसमें गोलाकार तारा समूहों के लिए वायरल प्रमेय को लागू करना और फ़्रिट्ज़ ज़्विकी के 1933 के पेपर में वायरल प्रमेय को विशेष रूप से कोमा समूह पर लागू करना शामिल है, जो गहरे द्रव्य के विचार के मूल अग्रदूतों में से एक था। जगत। मिल्की वे आकाशगंगा में तारकीय गतियों के विभिन्न अवलोकन डेटा को समझने के लिए जीन्स समीकरणों का उपयोग किया गया है। उदाहरण के लिए, जॉन ऊर्ट ने सौर पड़ोस के आसपास औसत पदार्थ घनत्व निर्धारित करने के लिए जीन्स समीकरणों का उपयोग किया, जबकि असममित बहाव की अवधारणा बेलनाकार निर्देशांक में जीन्स समीकरणों का अध्ययन करने से आई थी। तारकीय गतिशीलता आकाशगंगा निर्माण और विकास की संरचना में भी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। अण्डाकार आकाशगंगाओं की त्रिअक्षीय संरचना का अध्ययन करने के लिए गतिशील मॉडल और टिप्पणियों का उपयोग किया जाता है और यह सुझाव दिया जाता है कि आकाशगंगा विलय | आकाशगंगा विलय से प्रमुख सर्पिल आकाशगंगाएँ बनाई जाती हैं।तारकीय गतिशील मॉडल का उपयोग सक्रिय गांगेय नाभिक और उनके ब्लैक होल के विकास के अध्ययन के साथ-साथ आकाशगंगाओं में काले पदार्थ के बड़े पैमाने पर वितरण का अनुमान लगाने के लिए भी किया जाता है।

फाइल: पोटेंशियल ऑफ ए थिक डिस्क.पीडीएफ|थंब|इस R0=5z0=1 मॉडल के (R,z) मेरिडियनल प्लेन में समान क्षमता के कुछ नुकीले सिरे पर ध्यान दें।

एक एकीकृत मोटी डिस्क क्षमता

बेलनाकार निर्देशांकों में एक तिरछी क्षमता पर विचार करें

$${\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}$$

कहाँ $z_{0},R_{0}$ (सकारात्मक) ऊर्ध्वाधर और रेडियल लंबाई के पैमाने हैं। इसकी जटिलता के बावजूद, हम मॉडल के कुछ सीमित गुणों को आसानी से देख सकते हैं।

पहले हम देख सकते हैं कि प्रणाली का कुल द्रव्यमान है $M_{0}$ क्योंकि

$$\Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},$$

जब हम बड़ी त्रिज्या सीमा लेते हैं

$R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},$, ताकि $Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.$

हम यह भी दिखा सकते हैं कि इस एकीकृत क्षमता के कुछ विशेष मामले कुज़मिन रेजर-पतली डिस्क की क्षमता बन जाते हैं, जो कि बिंदु द्रव्यमान $M_{0}$, और एक समान-सुई द्रव्यमान वितरण:

$$\Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,$$

$$\Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,$$

$$\Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].$$

=== एक मोटी डिस्क === में गुरुत्व सदिश क्षेत्र का उदाहरण

पहले सीमा पर लंबवत गुरुत्व पर विचार करें,

$$g_{z}(R,z)=-\partial _{z}\Phi (R,z)=-{GM_{0}z \over 2z_{0}^{2}}\left[{1 \over {\sqrt {R_{0}^{2}+R^{2}}}}-{1 \over {\sqrt {(R_{0}+2z_{0})^{2}+R^{2}}}}\right],~~z=\pm z_{0},$$

ध्यान दें कि संभावित और ऊर्ध्वाधर गुरुत्वाकर्षण दोनों सीमाओं के पार निरंतर हैं, इसलिए सीमाओं पर कोई रेज़र डिस्क नहीं है। इस तथ्य के लिए धन्यवाद कि सीमा पर, $\partial _{|z|}(2Q)-\partial _{|z|}Q_{-}=\partial _{|z|}\left(Q_{+}-{\frac {2z_{0}}{R}}\right)={1 \over R}$ निरंतर है। संपूर्ण डिस्क ऊपरी और निचली सीमाओं पर ऊर्ध्वाधर बल को एकीकृत करके गॉस के प्रमेय को लागू करें, हमारे पास है

$$2\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)|g_{z}(R,z_{0})|=4\pi GM_{0},$$

इसकी पुष्टि $M_{0}$ कुल डिस्क द्रव्यमान का अर्थ लेता है।

ऊर्ध्वाधर गुरुत्वाकर्षण साथ गिरता है

$$-g_{z}\rightarrow GM_{0}z(1+R_{0}/z_{0})/R^{3}$$

बड़े रेडी पर, जो एक बिंदु द्रव्यमान के ऊर्ध्वाधर गुरुत्वाकर्षण पर बढ़ाया जाता है $GM_{0}z/R^{3}$ मोटी डिस्क के स्व-गुरुत्वाकर्षण के कारण।

=== पोइसन समीकरण === से एक मोटी डिस्क का घनत्व

बेलनाकार प्वासों eq में डालें।

$$\rho (R,z)={\partial _{z}\partial _{z}\Phi  \over 4\pi G}+{\partial _{R}(R\partial _{R}\Phi ) \over 4\pi GR}={M_{0}R_{0}/z_{0} \over 4\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}H(z_{0}-|z|),$$

जो त्रिज्या के साथ गिरता है, और परे शून्य है $|z|>z_{0}$ और सीमा के भीतर z-दिशा के साथ एकसमान।

फ़ाइल: एक मोटी डिस्क मॉडल का घनत्व। पीडीएफ|अंगूठा|इस R0=5z0=1 मॉडल में लंबवत समान मोटी डिस्क घनत्व समोच्च पर ध्यान दें

सतह घनत्व और एक मोटी डिस्क का द्रव्यमान

समान मोटाई की पूरी मोटी डिस्क पर एकीकृत करना $2z_{0}$, हम सतह के घनत्व और कुल द्रव्यमान को पाते हैं

$$\Sigma (R)=(2z_{0})\rho (R,0),~~M_{0}=\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)\Sigma (R).$$

यह पुष्टि करता है कि सीमाओं पर अतिरिक्त रेजर पतली डिस्क की अनुपस्थिति। मर्यादा में, $z_{0}\rightarrow 0$, यह मोटी डिस्क क्षमता रेजर-पतली कुज़मिन डिस्क की क्षमता को कम कर देती है, जिसके लिए हम सत्यापित कर सकते हैं ${|g_{z}(R,0+)| \over 2\pi G}\rightarrow \Sigma (R)\rightarrow {M_{0}R_{0} \over 2\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}$.

एक मोटी डिस्क में दोलन आवृत्ति

ऊर्ध्वाधर और रेडियल दोलन आवृत्तियों को खोजने के लिए, हम मिडप्लेन के चारों ओर क्षमता का टेलर विस्तार करते हैं।

$$\Phi (R_{1},z)\approx \Phi (R,0)+{\omega ^{2}R}(R_{1}-R)+{\kappa ^{2} \over 2}(R_{1}-R)^{2}+{\nu ^{2} \over 2}z^{2}$$

और हम वृत्ताकार गति पाते हैं $V_{\text{cir}}$ और वर्टिकल और रेडियल एपिसायकल आवृत्तियों द्वारा दिया जाना है

$$(R\omega )^{2}\equiv V_{\text{cir}}^{2}=\left[{(1+R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2}}}}-{(R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+R_{0}^{2}}}}\right],$$

$$\nu ^{2}={GM_{0}(R_{0}/z_{0}+1) \over (R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2})^{3/2}},$$

$$\kappa ^{2}+\nu ^{2}-2\omega ^{2}=4\pi G\rho (R,0)={GM_{0}R_{0}/z_{0} \over (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}.$$

दिलचस्प रूप से घूर्णन वक्र $V_{\text{cir}}$ केंद्र के पास ठोस-शरीर जैसा है $R\ll R_{0}$, और केप्लरियन बहुत दूर है।

बड़ी त्रिज्या में तीन आवृत्तियाँ संतुष्ट करती हैं

${\textstyle \left.\left[\omega ,\nu ,\kappa ,{\sqrt {4\pi G\rho }}\right]\right|_{R\to \infty }\to [1,1+R_{0}/z_{0},1,R_{0}/z_{0}]^{1 \over 2}{\sqrt {GM_{0} \over R^{3}}}}$.

उदा., उस मामले में $R\to \infty$ और $R_{0}/z_{0}=3$, दोलन $\omega :\nu :\kappa =1:2:1$ प्रतिध्वनि बनाता है।

उस मामले में $R_{0}=0$के बीच एक समान सुई को छोड़कर हर जगह घनत्व शून्य है $|z|\leq z_{0}$ z-अक्ष के साथ।

अगर हमें और आवश्यकता है $z_{0}=0$, तो हम बिंदु द्रव्यमान क्षमता में बंद अंडाकार कक्षाओं के लिए एक प्रसिद्ध संपत्ति पुनर्प्राप्त करते हैं,

$$\omega :\nu :\kappa =1:1:1.$$

आकाशगंगाओं में न्यूट्रिनो के लिए एक उदाहरण

उदाहरण के लिए, द्रव्यमान m के गैर-सापेक्षवादी न्यूट्रिनो का चरण स्थान वितरण कार्य कहीं भी निर्धारित अधिकतम मान से अधिक नहीं होगा

$$f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)={dN \over dx^{3}dv^{3}}\leq {6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}},~~~$$

जहां फर्मी-डिराक आंकड़े कहते हैं कि मात्रा के भीतर न्यूट्रिनो के अधिकतम 6 स्वाद हैं $dx^{3}$ और एक वेग मात्रा

$$dv^{3}=(dp/m)^{3}=[(2\pi \hbar /dx)/m]^{3},$$

.

आइए अनुमान लगाते हैं कि वितरण अधिकतम है, अर्थात,

$$f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z})={6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}q^{\alpha  \over 2},~~0\leq q(E)={\Phi _{\max }-E \over V_{0}^{2}/2}\leq 1,$$

कहाँ $0\geq \Phi _{\max }\geq E=\Phi (x,y,z)+{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2} \over 2}\geq \Phi _{\min }\equiv \Phi _{\max }-{V_{0}^{2} \over 2}$ ऐसा है कि $E_{\min },E_{\max }$, क्रमशः, केंद्र या गुरुत्वाकर्षण बाध्य प्रणाली के किनारे की संभावित ऊर्जा है। संबंधित न्यूट्रिनो द्रव्यमान घनत्व, मान लीजिए गोलाकार होगा

$$\rho (r)=n(x,y,z)m=\int dV_{x}\int dV_{y}\int dV_{z}~m~f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z}),$$

जो कम हो जाता है

$$\rho (r)={C(\Phi _{\max }-\Phi (r))^{3+\alpha \over 2} \over (\Phi _{\max }-\Phi _{\min })^{\alpha \over 2}},~~~C={6m\pi 2^{5/2}B\left(1+{\alpha \over 2},{3 \over 2}\right) \over (2\pi \hbar /m)^{3}}$$

साधारण मामला लें $\alpha \to 0$, और केंद्र में घनत्व का अनुमान लगाएं $r=0$ भागने की गति के साथ $V_{0}$, अपने पास

$$\rho (r)\leq \rho (0)\rightarrow {m^{4}V_{0}^{3} \over \pi ^{2}\hbar ^{3}}\approx m_{\mathrm {eV} }^{4}V_{200}^{3}\times {\text{[Cosmic Critical Density]}}.$$

स्पष्ट रूप से ईवी-स्केल न्यूट्रिनो के साथ $m_{eV}\sim 0.1-1$ पलायन वेग के साथ आकाशगंगाओं में 100-10000 अति-घनत्व बनाने के लिए बहुत हल्का है $V_{200}\equiv V/(\mathrm {200km/s} )\sim 0.1-3.4$, जबकि के साथ समूहों में न्यूट्रिनो $V\sim \mathrm {2000km/s}$ बना सकता है $100-1000$ समय लौकिक पृष्ठभूमि घनत्व।

वैसे आपके कमरे में फ्रीज-आउट कॉस्मिक न्यूट्रिनो में एक गैर-तापीय यादृच्छिक गति होती है ${\textstyle \sim {(\mathrm {2.7K} )k \over c}\sim (1~\mathrm {eV} /c^{2})(\mathrm {70km/s} )}$, और मैक्सवेल वितरण का पालन नहीं करते हैं, और न्यूट्रिनो-बैरोन इंटरैक्शन के बेहद कम क्रॉस-सेक्शन के कारण हवा के अणुओं के साथ थर्मल संतुलन में नहीं हैं।

=== समान क्षेत्र क्षमता === में हार्मोनिक गतियों पर एक पुनर्कथन

घनत्व के पूर्वोक्त समान क्षेत्र के एक स्थिर राज्य मॉडल के निर्माण पर विचार करें $\rho _{0}$ और संभावित $\Phi (r)$

$${\begin{aligned}\rho (|\mathbf {r} |)&=\rho _{0}\equiv M_{\odot }n_{0},~~|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{0}^{2},~~\Omega \equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}\equiv {V_{0} \over r_{0}}\\\Phi (|\mathbf {r} |)&={\Omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3V_{0}^{2} \over 2}={V_{e}(r)^{2} \over 2}-\Phi (r_{0}),\end{aligned}}$$

कहाँ $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}={\sqrt {2\Phi (r_{0})-2\Phi (r)}}$ किनारे से भागने की गति है $r_{0}$.

पहले एकसमान गोले की क्षमता के अंदर गति पर एक संक्षिप्त विवरण। इस निरंतर घनत्व कोर क्षेत्र के अंदर, अलग-अलग तारे कोणीय आवृत्ति के गुंजयमान हार्मोनिक दोलनों पर जाते हैं $\Omega$ साथ

$${\begin{aligned}{\ddot {x}}=&-\Omega ^{2}x=-\partial _{x}\Phi ,\\{\ddot {y}}=&-\Omega ^{2}y,~~~{{\dot {y}}(t)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(t)^{2} \over 2}\equiv I_{y}(y,{\dot {y}})={{\dot {y}}(0)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(0)^{2} \over 2}\leq {(\Omega r_{0})^{2} \over 2}\\{\ddot {z}}=&-\Omega ^{2}z,\rightarrow {\dot {z}}(t)={\dot {z}}(0)\cos(\Omega t)+\Omega z(0)\sin(\Omega t).\end{aligned}}$$

शिथिल रूप से बोलना हमारा लक्ष्य विभिन्न ऊर्जाओं के साथ कक्षाओं के भारित वितरण पर तारों को रखना है $f\left(I_{x}(x,{\dot {x}}),I_{y}(y,{\dot {y}}),I_{z}(z,{\dot {z}}\right)=DF(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )$, यानी, चरण अंतरिक्ष घनत्व या वितरण समारोह, जैसे कि उनका समग्र तारकीय संख्या घनत्व निरंतर कोर को पुन: उत्पन्न करता है, इसलिए उनकी सामूहिक स्थिर-अवस्था क्षमता। एक बार यह हो जाने के बाद, हम प्रणाली को एक आत्मनिर्भर संतुलन कहते हैं।

=== जीन्स प्रमेय पर उदाहरण और यूनिफॉर्म स्फीयर पोटेंशियल === पर सीबीई

आम तौर पर एक समय-स्वतंत्र प्रणाली के लिए, जीन्स प्रमेय इसकी भविष्यवाणी करता है $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )$ गति के स्थिरांक पर कार्यात्मक निर्भरता के माध्यम से स्थिति और वेग का एक अंतर्निहित कार्य है।

एकसमान गोले के लिए, गोलाकार निर्देशांकों में लिखे गए बोल्ट्जमैन समीकरण का हल $(r,\theta ,\phi )$ और इसके वेग घटक $(V_{r},V_{\theta },V_{\phi })$ है

$$f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}{\sqrt {V_{0}^{2} \over 2Q}},$$

कहाँ $C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है, जिसमें (द्रव्यमान) घनत्व का आयाम है। और हम एक परिभाषित करते हैं (सकारात्मक थैलेपी जैसा आयाम ${\text{km}}^{2}/{\text{s}}^{2}$) मात्रा

$$Q[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]\equiv \left[0,\left(-V_{0}^{2}-E\right)+{J^{2} \over 2r_{0}^{2}}\right]_{\max }\left[{J_{z} \over |J_{z}|},0\right]_{\max }.$$

स्पष्ट रूप से वामावर्त घूमने वाले सितारे $J_{z}\leq 0,~~Q=0$ निष्कासित हैं।

गोलाकार निर्देशांक में देखना आसान है

$J^{2}=r^{2}V_{t}^{2}=r^{2}(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}),$

$J_{z}=V_{\varphi }r\sin \theta ,$

$E={V_{r}^{2}+V_{t}^{2} \over 2}+\Phi (r),~V_{t}\equiv {\sqrt {V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}}}$ प्रत्येक तारकीय कक्षा के साथ कक्षीय ऊर्जा E और कोणीय संवेग J और इसके z-घटक Jz की क्षमता और इन परिभाषाओं को सम्मिलित करें, हमारे पास है

$$2Q={\text{Heaviside}}\left({V_{\varphi } \over |V_{\varphi }|}\right)\times \left[V_{0}^{2}\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right)-V_{r}^{2}-\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right){\left(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\right)},0\right]_{\max },$$

जो ये दर्शाता हे $|V_{r}|\leq V_{e}(r)$, और $|V_{\theta }|,V_{\varphi }$ शून्य और के बीच $V_{0}$.

उपरोक्त को सत्यापित करने के लिए $E,~J_{z}$ हमारी गोलाकार क्षमता में गति के स्थिरांक होने के नाते, हम ध्यान दें

$$dE/dt={\partial E \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial E \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } ){\partial E \over \partial \mathbf {v} }$$

$$dE/dt={\partial \Phi \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial \Phi \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } )\mathbf {v} ={\partial \Phi \over \partial t}=0$$

किसी भी स्थिर राज्य क्षमता के लिए।

$$dJ_{z}/dt={\partial J_{z} \over \partial t}+{\partial J_{z} \over \partial \mathbf {x} }\cdot \mathbf {v} -(\mathbf {\nabla \Phi } )\cdot {\partial J_{z} \over \partial \mathbf {v} },$$

जो कम हो जाता है $dJ_{z}/dt=0+[(V_{y})V_{x}+(-V_{x})V_{y}]-\left[(-y){x \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}+(x){y \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}\right]=0$ किसी भी अक्षीय क्षमता के z- अक्ष के आसपास, जहाँ ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

इसी तरह गोलाकार क्षमता के लिए कोणीय गति के x और y घटकों को भी संरक्षित किया जाता है। इस तरह $dJ/dt=0$.

तो किसी भी समय-स्वतंत्र गोलाकार क्षमता के लिए (हमारे समान क्षेत्र मॉडल सहित), कक्षीय ऊर्जा E और कोणीय संवेग J और इसका z-घटक Jz प्रत्येक तारकीय कक्षा के साथ संतुष्ट करता है

$$dE[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=0.$$

इसलिए श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हमारे पास है

$${d \over dt}Q(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])={\partial Q \over \partial E}{dE \over dt}+{\partial Q \over \partial J_{z}}{dJ_{z} \over dt}+{\partial Q \over \partial J}{dJ \over dt}=0,$$

अर्थात।, ${\textstyle {d \over dt}f=f'(Q){dQ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ] \over dt}=0}$, ताकि सीबीई संतुष्ट हो जाए, अर्थात हमारा

$$f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=f(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])$$

हमारी स्थैतिक गोलाकार क्षमता के लिए कोलिशनलेस बोल्ट्जमान समीकरण का समाधान है।

=== एक समान गोलाकार समूह === में वितरण कार्यों के क्षणों पर एक कार्य उदाहरण

हम उपरोक्त वितरण समारोह के विभिन्न क्षणों का पता लगा सकते हैं, तीन हीविसाइड कार्यों की मदद से सुधार किया गया है,

$$f(|\mathbf {r} |,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}\left.{{\text{H}}(1-x) \over \left(1-x^{2}\right)^{1 \over 2}}\right|_{x\equiv {|\mathbf {r} | \over r_{0}}}{{\text{H}}(V_{\varphi }){\text{H}}(1-q) \over (1-q)^{1 \over 2}},~~q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{e}(|\mathbf {r} |)^{2}}+{V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}},$$
 एक बार जब हम पहले की क्षमता के लिए अभिव्यक्ति इनपुट करते हैं $\Phi (r)$ अंदर $r\leq r_{0}$, या इससे भी बेहतर गति r से किनारे तक भागने के लिए $r_{0}$ एक समान गोले का $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}.$ स्पष्ट रूप से कारक ${V_{e}(|\mathbf {r} |) \over {\sqrt {2Q}}}={\sqrt {\max[0,{1 \over 1-q}]}}$ डीएफ (वितरण समारोह) में केवल तभी परिभाषित किया गया है $Q\geq 0\rightarrow q\leq 1$, जिसका तात्पर्य त्रिज्या पर एक संकीर्ण सीमा से है $0\leq |\mathbf {r} |<r_{0}$ और उच्च वेग वाले कणों को बाहर करता है, जैसे, $V_{t}>V_{0}>V_{e}(r)$, वितरण फ़ंक्शन (DF, यानी, चरण स्थान घनत्व) से।

वास्तव में, सकारात्मकता ($V_{\varphi }\geq 0$) एक दीर्घवृत्त के बाएँ-आधे भाग में $[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]$ वेग अंतरिक्ष (वेग दीर्घवृत्ताभ),

$$q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{0}^{2}(1-r^{2}/r_{0}^{2})}+\left({V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}}\right)\equiv u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}\leq 1,$$

कहाँ $(u_{r},u_{\theta },u_{\varphi })$ है $(V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })$ फ़ंक्शन द्वारा पुन: स्केल किया गया $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-r^{2}/r_{0}^{2}}}$ या $V_{0}$ क्रमश।

वेग दीर्घवृत्त (इस मामले में) में r अक्ष के चारों ओर घूर्णी समरूपता है या $V_{r}$ एक्सिस। यह अधिक स्क्वैश (इस मामले में) रेडियल दिशा से दूर है, इसलिए अधिक स्पर्शरेखा अनिसोट्रोपिक है क्योंकि हर जगह $V_{e}(r)<V_{0}$, मूल को छोड़कर, जहां दीर्घवृत्त आइसोट्रोपिक दिखता है। अब हम चरण स्थान के क्षणों की गणना करते हैं।

जैसे, परिणामी घनत्व (क्षण) है

$${\begin{aligned}\rho (r,\theta ,\varphi )&=\int _{-V_{e}(r)}^{V_{e}(r)}dV_{r}\int _{-V_{0}}^{V_{0}}dV_{\theta }\int _{0}^{V_{0}}dV_{\varphi }{C_{0} \over V_{0}^{3}}\left({2Q \over V_{0}^{2}}\right)^{-1/2}\\&=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{0}^{1}{(V_{e}du_{r})(V_{0}du_{\theta })(V_{0}du_{\varphi })C_{0} \over V_{0}^{3}(1-r^{2}/r_{0}^{2})^{1/2}(1-q)^{1/2}}\left.\right|_{q=u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}}\\&=C_{0}{\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{-1/2}(2\pi u^{2}du)}=\rho _{0}\end{aligned}}$$

वास्तव में किनारे के अंदर एक गोलाकार (कोण-स्वतंत्र) और समान (त्रिज्या-स्वतंत्र) घनत्व है, जहां सामान्यीकरण स्थिर है $C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}$.

स्ट्रीमिंग वेग की गणना वेग वेक्टर के भारित माध्य के रूप में की जाती है

$${\begin{aligned}\langle \mathbf {V} \rangle (\mathbf {x} )&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}\mathbf {V} \over \int fd\mathbf {V} ^{3}}\\&={1 \over \rho }\int fd\mathbf {V} ^{3}[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]{C_{0}V_{0}^{2}(2Q)^{-1/2}}\\&=\left[{\int _{-1}^{1}\!\!u_{r}...du_{r},~~\int _{-1}^{1}\!\!u_{\theta }...du_{\theta },~~\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{du_{\varphi }u_{\varphi }V_{0} \over (1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}-u_{\varphi }^{2})^{1/2}} \over \int _{0}^{1}(2\pi UdU)\int _{0}^{\sqrt {1-U^{2}}}du_{\varphi }(1-U^{2}-u_{\varphi }^{2})^{-1/2}}\right]\\&=\left[0,0,{4V_{0} \over 3\pi }\right]={\overline {\mathbf {V} (\mathbf {x} )}},\end{aligned}}$$

जहां प्रवाह का वैश्विक औसत (ओवरलाइन बार द्वारा इंगित) फ्लैट अज़ीमुथल रोटेशन के समान पैटर्न का अर्थ है, लेकिन भूमध्य रेखा में हर जगह शून्य शुद्ध स्ट्रीमिंग $(r,\theta )$ विमान।

संयोग से, इस समतल-घूर्णन क्षेत्र का कोणीय संवेग वैश्विक औसत है

$${\overline {\mathbf {r} \times \langle \mathbf {V} \rangle }}=\int _{0}^{r_{0}}{(\rho 4\pi r^{2}dr) \over M_{0}}[0,0,r\langle V_{\varphi }\rangle ]=[0,0,{3r_{0} \over 4}{\overline {V_{\varphi }}}].$$

ध्यान दें कि द्रव्यमान के केंद्र का वैश्विक औसत नहीं बदलता है, इसलिए ${\overline {\mathbf {V} _{i}(\mathbf {x} )}}=0$ प्रत्येक आयताकार दिशा में वैश्विक संवेग संरक्षण के कारण $i=x,y,z$, और यह वैश्विक गैर-शून्य रोटेशन का खंडन नहीं करता है।

इसी तरह की समरूपता के लिए धन्यवाद $f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })=f(r,\theta ,\pm \varphi ,\pm V_{r},\pm V_{\theta },V_{\varphi })$, अपने पास $\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\varphi }} \rangle =0$, $~\langle \mathbf {(\pm V_{\theta })V_{\varphi }} \rangle =0$, $~\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\theta }} \rangle =0$ हर जगह}।

इसी प्रकार घूर्णन दिशा में आरएमएस वेग की गणना भारित माध्य द्वारा निम्नानुसार की जाती है, उदाहरण के लिए,

$${\begin{aligned}\langle \mathbf {V} _{\varphi }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |)&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}V_{\varphi }^{2} \over \rho (|\mathbf {r} |)}\\&={\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}du_{\varphi }{(u_{\varphi }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=0.25V_{0}^{2}=0.5\langle V_{t}^{2}\rangle \\&={\!\!\int _{0}^{1}(2du_{r})\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\varphi })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\varphi }^{2}}}du_{\theta }{(u_{\theta }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=\langle \mathbf {V} _{\theta }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |),\\\end{aligned}}$$

यहाँ $\langle V_{t}^{2}\rangle =\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\rangle =0.5V_{0}^{2}.$ वैसे ही

$$\langle \mathbf {V} _{r}^{2}\rangle (\mathbf {x} )={\!\!\int _{0}^{1}(du_{\varphi })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!{(2du_{r})(u_{r}V_{e}(r))^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}=\left({V_{0} \over 2}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}\right)^{2}.$$

तो दबाव टेंसर या फैलाव टेंसर है

$${\begin{aligned}\sigma _{ij}^{2}(\mathbf {r} )=&{P_{ij}(\mathbf {r} ) \over \rho (\mathbf {r} )}\\=&\langle \mathbf {V} _{i}\mathbf {V} _{j}\rangle -\langle \mathbf {V} _{i}\rangle \langle \mathbf {V} _{j}\rangle \\=&{\begin{bmatrix}\left[1-({r \over r_{0}})^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0&0\\0&\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0\\0&0&\left[1-({8 \over 3\pi })^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

सममित वेग वितरण के कारण शून्य ऑफ-विकर्ण शर्तों के साथ। ध्यान दें कि पिछले फ्लैट रोटेशन वक्र के निर्माण में कोई डार्क मैटर नहीं है, मूल्य कमी कारक द्वारा दिखाया गया है ${8 \over 3\pi }=0.8488$ अज़ीमुथल दिशा में फैले यादृच्छिक वेग में। विकर्ण फैलाव टेंसर पलों के बीच, $\sigma _{\theta }\equiv {\sqrt {\sigma _{\theta \theta }^{2}}}=0.5V_{0}$ तीनों में से सभी त्रिज्याओं में सबसे बड़ा है, और $\sigma _{\varphi }\equiv {\sqrt {\sigma _{\varphi \varphi }^{2}}}\geq \sigma _{r}\equiv {\sqrt {\sigma _{rr}^{2}}}$ केवल बीच के किनारे के पास $0.8488r_{0}\leq r\leq r_{0}$.

विकर्ण फैलाव में दिखाई देने वाली रेडियल गति की तुलना में बड़ी स्पर्शरेखा गतिज ऊर्जा अक्सर अनिसोट्रॉपी पैरामीटर द्वारा व्यक्त की जाती है

$$\beta (r)\equiv 1-{0.5\langle {\mathbf {V} _{t}}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=1-{\langle {\mathbf {V} _{\theta }}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=-{r^{2} \over r_{0}^{2}-r^{2}}\leq 0;$$

एक सकारात्मक अनिसोट्रॉपी का अर्थ होगा कि रेडियल गति हावी है, और एक नकारात्मक अनिसोट्रॉपी का अर्थ है कि स्पर्शरेखा गति हावी है (जैसा कि इस समान क्षेत्र में है)।

=== वायरल प्रमेय === का एक कार्य उदाहरण

उपरोक्त एकसमान गोले की प्रति इकाई द्रव्यमान की दुगुनी गतिज ऊर्जा है

$${\begin{aligned}{2K \over M_{0}}&={\overline {\langle V^{2}\rangle }}\equiv \langle {\overline {V^{2}}}\rangle \\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}+V_{r}^{2}\rangle dM\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{1}\left({V_{0}^{2} \over 4}+{V_{0}^{2} \over 4}+{(1-x^{2})V_{0}^{2} \over 4}\right)d(x^{3}M_{0})=0.6V_{0}^{2},~~x\equiv {r \over r_{0}}=\left({M \over M_{0}}\right)^{1 \over 3},\end{aligned}}$$

जो एक समान गोले के प्रति इकाई द्रव्यमान की संभावित ऊर्जा को संतुलित करता है, जिसके अंदर $M\propto r^{3}\propto x^{3}$.

औसत वायरल प्रति इकाई द्रव्यमान की गणना इसके स्थानीय मूल्य के औसत से की जा सकती है $\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )$, कौन सी पैदावार

$${\begin{aligned}{W \over M_{0}}&={\overline {\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}}\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{r_{0}}\mathbf {r} \cdot {-GM\mathbf {r} \over |\mathbf {r} |^{3}}(\rho d\mathbf {r} ^{3})=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM \over |\mathbf {r} |}dM\\&=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM~dM \over r_{0}~(M/M_{0})^{1 \over 3}}=-{3GM_{0} \over 5r_{0}}=-0.6V_{0}^{2},\end{aligned}}$$

जैसा कि वायरल प्रमेय द्वारा आवश्यक है। इस स्व-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए, हम यह भी सत्यापित कर सकते हैं कि वायरल प्रति यूनिट द्रव्यमान क्षमता के आधे के औसत के बराबर है

$${\begin{aligned}{E_{\text{pot}} \over M_{0}}&={\overline {\langle {\Phi  \over 2}\rangle }}\\&=M_{0}^{-1}\int _{x>0}^{x<1}{\Phi (r_{0}x) \over 2}d(M_{0}x^{3})\\&={W \over M_{0}}={-2K \over M_{0}}.\end{aligned}}$$

इसलिए हमने स्व-गुरुत्वाकर्षण के तहत एक समान क्षेत्र के लिए वायरल प्रमेय की वैधता को सत्यापित किया है, अर्थात, तारों के द्रव्यमान घनत्व के कारण गुरुत्वाकर्षण भी वह गुरुत्वाकर्षण है जो तारे स्व-स्थिर रूप से चलते हैं; कोई अतिरिक्त डार्क मैटर प्रभामंडल इसकी क्षमता में योगदान नहीं देता है, उदाहरण के लिए।

एक समान क्षेत्र में जीन्स समीकरण का एक कार्य उदाहरण

जीन्स समीकरण एक संबंध है कि कैसे एक संतुलन आकाशगंगा के लिए एक प्रणाली के दबाव प्रवणता को संभावित प्रवणता को संतुलित करना चाहिए। हमारे समान क्षेत्र में, संभावित प्रवणता या गुरुत्वाकर्षण है

$$\nabla \Phi ={d\Phi \over dr}={\Omega ^{2}r}\geq 0,~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}}.$$

रेडियल दबाव ढाल

$$-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}=-{d\sigma _{r}^{2} \over dr}-{\sigma _{r}^{2} \over r}{d\log \rho \over d\log r}={\Omega ^{2}r \over 2}+0\geq 0.$$

विसंगति का कारण आंशिक रूप से केन्द्रापसारक बल के कारण है

$${{\bar {V}}_{\varphi }^{2} \over r}={(0.8488V_{0})^{2} \over r}>0,$$

और आंशिक रूप से अनिसोट्रोपिक दबाव के कारण

$${\begin{aligned}{(\sigma _{\theta }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r\geq 0\\{(\sigma _{\varphi }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r-{0.1801V_{0}^{2} \over r}=\pm ,\end{aligned}}$$

इसलिए $0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }<\sigma _{r}=0.5V_{0}$ बिल्कुल केंद्र में, लेकिन दो त्रिज्या पर संतुलन $r=0.8488r_{0}$, और तब को उल्टा $0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }>\sigma _{r}=0$ बहुत किनारे पर।

अब हम इसे सत्यापित कर सकते हैं

$${\begin{aligned}{\partial \langle V_{r}\rangle \over \partial t}&=(-\sum _{i=x,y,z}V_{i}\partial _{i}\langle V_{r}\rangle )-{\cancel {\langle V_{r}\rangle \over t_{\text{fric}}}}-\nabla _{r}\Phi +\sum _{i=x,y,z}{-\partial _{i}(n\sigma _{ir}^{2}) \over n}\\&={{\bar {V}}_{\theta }^{2}+{\bar {V}}_{\varphi }^{2}-2{\bar {V}}_{r}^{2} \over r}-0-{\partial \Phi \over \partial r}+\left[-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}+{\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\varphi }^{2}-2\sigma _{r}^{2} \over r}\right]\\&={0+(0.4244V_{0})^{2}-2\times 0 \over r}-(\Omega ^{2}r)+\\&\left[{\Omega ^{2}r \over 2}+{(0.5V_{0})^{2}+(0.2643V_{0})^{2}-2\times 0.25\Omega ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}) \over r}\right]\\&=0.\end{aligned}}$$

यहाँ ऊपर की पहली पंक्ति अनिवार्य रूप से आर-दिशा में जीन्स समीकरण है, जो दूसरी पंक्ति में कम हो जाती है, जीन्स समीकरण अनिसोट्रोपिक (उर्फ $\beta \neq 0$) घूर्णी (उर्फ $\langle V_{\varphi }\rangle \neq 0$) अक्षीय ($\partial _{\varphi }\Phi (\mathbf {x} ,t)=0$ ) क्षेत्र (उर्फ $\partial _{\theta }n(\mathbf {x} ,t)=0$) फैलाव टेन्सर के बहुत समन्वयित जोड़तोड़ के बाद; गति के समान समीकरण को दो स्पर्शरेखा दिशाओं के लिए प्राप्त किया जा सकता है, जैसे, ${\partial \langle V_{\varphi }\rangle \over \partial t}$, जो घूर्णनशील पृथ्वी की सतह पर समुद्र की धाराओं के मॉडलिंग में उपयोगी हैं या अभिवृद्धि डिस्क में कोणीय गति हस्तांतरण, जहां घर्षण शब्द $-{\langle V_{\varphi }\rangle \over t_{\text{fric}}}$ महत्वपूर्ण है। तथ्य यह है कि एल.एच.एस. ${\partial V_{r} \over \partial t}=0$ मतलब कि बल r.h.s पर संतुलित है। इस वर्दी के लिए (उर्फ $\nabla _{\mathbf {x} }mn(\mathbf {x} ,t)=0$) एक स्थिर स्थिति में रहने के लिए एक आकाशगंगा (समूह) का गोलाकार मॉडल (उर्फ समय-स्वतंत्र संतुलन ${\partial n(\mathbf {x} ,t) \over \partial t}=0$ हर जगह) स्थिर रूप से (शून्य प्रवाह के साथ उर्फ $\langle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\rangle =0$ हर जगह)। अभिवृद्धि डिस्क जैसे नोट प्रणाली में एक स्थिर शुद्ध रेडियल अंतर्वाह हो सकता है $\langle \mathbf {V} (\mathbf {x} )\rangle <0$ हर जगह हर समय।

=== एक मोटी डिस्क === में जीन्स समीकरण का एक काम किया उदाहरण

उपरोक्त उदाहरण में फिर से थिक डिस्क क्षमता पर विचार करें। यदि घनत्व गैस द्रव का है, तो सीमा पर दबाव शून्य होगा $z=\pm z_{0}$. दबाव के शिखर का पता लगाने के लिए, हम ध्यान दें कि

$$P(R,z)=\int _{z}^{z_{0}}\partial _{z}\Phi \rho (R)dz=\rho (R)[\Phi (R,z_{0})-\Phi (R,z)].$$

तो तरल तापमान प्रति इकाई द्रव्यमान, यानी 1-आयामी वेग फैलाव वर्ग होगा

$$\sigma ^{2}(R,z)={P(R,z) \over \rho (R)},~~|z|\leq z_{0}$$

$$\sigma ^{2}={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {Q(z)Q(-z) \over Q(z_{0})Q(-z_{0})},~~Q(z)\equiv R_{0}+z_{0}+z+{\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0}+z)^{2}}}.$$

घूर्णी z-अक्ष के साथ,

$$\sigma ^{2}(0,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {4(R_{0}+z_{0}+z)(R_{0}+z_{0}-z) \over 4R_{0}(R_{0}+2z_{0})}$$

$$\sigma (0,z)={\sqrt {GM_{0} \over 2z_{0}}}{\sqrt {\log {(R_{0}+z_{0})^{2}-z^{2} \over (R_{0}+z_{0})^{2}-z_{0}^{2}}}},$$

जो केंद्र में स्पष्ट रूप से उच्चतम और सीमाओं पर शून्य है $z=\pm z_{0}$. मिडप्लेन पर दबाव और फैलाव दोनों चरम पर हैं $z=0$. वास्तव में सबसे गर्म और सघन बिंदु केंद्र है, जहां $P(0,0)={M_{0} \over 4\pi R_{0}^{2}z_{0}}{-GM_{0}\log[1-(1+R_{0}/z_{0})^{-2}] \over 2z_{0}}.$

=== जीन्स समीकरण, वायरल और फेज स्पेस डेंसिटी === पर काम किए गए उदाहरणों पर एक रिकैप

प्वासों समीकरण के कुछ अनुप्रयोगों को देखने के बाद। और चरण अंतरिक्ष घनत्व और विशेष रूप से जीन्स समीकरण, हम फिर से गोलाकार गाय दृष्टिकोण का उपयोग करके एक सामान्य विषय निकाल सकते हैं।

जीन्स समीकरण गुरुत्वाकर्षण को दबाव प्रवणता से जोड़ता है, यह Eq का सामान्यीकरण है। एकल कणों के लिए गति का। जबकि जीन्स समीकरण डिस्क प्रणाली में हल किया जा सकता है, जीन्स eq का सबसे उपयोगकर्ता के अनुकूल संस्करण। स्थिर के लिए गोलाकार अनिसोट्रोपिक संस्करण है $\langle {v_{j}}\rangle =0$ घर्षण रहित प्रणाली $t_{\text{fric}}\rightarrow \infty$, इसलिए स्थानीय वेग गति

$\sigma _{j}^{2}(r)=\langle {v_{j}^{2}}\rangle (r)-\underbrace {\langle {v_{j}}\rangle ^{2}(r)} _{=0}={\int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }({v}_{j}-\overbrace {\langle {v}\rangle _{j}^{p}} ^{=0})^{2}f_{p} \over \int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }f_{p}},$ हर जगह तीन दिशाओं में से प्रत्येक के लिए $~_{j}=~_{r},~_{\theta },~_{\varphi }$.

कोई इन क्षणों में चरण स्थान को प्रोजेक्ट कर सकता है, जो कि अत्यधिक गोलाकार प्रणाली में आसानी से होता है, जो ऊर्जा के संरक्षण को स्वीकार करता है $E=$ और कोणीय गति जे। प्रणाली की सीमा प्रणाली में बंधे वेग की एकीकरण सीमा निर्धारित करती है।

संक्षेप में, गोलाकार जीन्स समीकरण में,

$${\begin{aligned}{d\Phi  \over dr}=&{GM(r) \over r^{2}}\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr}+{\langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle -2\langle {v_{r}^{2}}\rangle  \over r},\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr},~~{\text{hydrostatic equilibrium if isotropic velocity }}\\=&{\langle v_{t}^{2}\rangle  \over r},~~{\text{if purely centrifugal balancing of gravity with no radial motion}},\langle v_{t}^{2}\rangle \equiv \langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle \end{aligned}}$$

जो वायरल प्रमेय से अपेक्षा से मेल खाता है ${\overline {r\partial _{r}\Phi }}={\overline {v_{\text{cir}}^{2}}}={\overline {GM \over r}}={\overline {\langle v_{t}^{2}\rangle }}$, या दूसरे शब्दों में, ${\overline {\text{global average}}}$ एक संतुलन की गतिज ऊर्जा विशुद्ध रूप से अनुप्रस्थ गति के साथ वृत्ताकार कक्षाओं पर औसत गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।

यह भी देखें

• तारकीय वर्गीकरण
• बोल्ट्जमैन समीकरण
• गतिशील घर्षण
• जीन्स समीकरण
• सामूहिक पृथक्करण (खगोल विज्ञान)
• एन-निकाय प्रॉब्लम
• वायरल प्रमेय
• तारकीय कीनेमेटीक्स
• पोइसन का समीकरण
• वेक्टर पथरी
• अभिवृद्धि डिस्क
• विश्राम (भौतिकी)

अग्रिम पठन

• Dynamics and Evolution of Galactic Nuclei, D. Merritt (2013). Princeton University Press.
• Galactic Dynamics, J. Binney and S. Tremaine (2008). Princeton University Press.
• Gravitational N-Body Simulations: Tools and Algorithms, S. Aarseth (2003). Cambridge University Press.
• Principles of Stellar Dynamics, S. Chandrasekhar (1960). Dover.