त्रिगुट संख्या प्रणाली

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एक त्रिगुट /ˈtɜːrnəri/ अंक प्रणाली (जिसे आधार 3 या त्रिगुणात्मक भी कहा जाता है) का मूलांक 3 (संख्या) है। एक अंश के अनुरूप, एक त्रिगुट संख्यात्मक अंक एक ट्रिट (त्रिकोणीय अंक) है। एक ट्रिट बाइनरी लघुगणक | लॉग के बराबर है2सूचना की इकाइयों के 3 (लगभग 1.58496) बिट्स।

हालांकि त्रिगुट अक्सर एक ऐसी प्रणाली को संदर्भित करता है जिसमें तीन अंक सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएं होती हैं; विशेष रूप से 0, 1, और 2, विशेषण संतुलित त्रिगुट प्रणाली को अपना नाम भी देता है; -1, 0 और +1 अंकों से युक्त, तुलना तर्क और टर्नरी कंप्यूटर में उपयोग किया जाता है।

अन्य आधारों की तुलना

A ternary multiplication table
× 1 2 10 11 12 20 21 22 100
1 1 2 10 11 12 20 21 22 100
2 2 11 20 22 101 110 112 121 200
10 10 20 100 110 120 200 210 220 1000
11 11 22 110 121 202 220 1001 1012 1100
12 12 101 120 202 221 1010 1022 1111 1200
20 20 110 200 220 1010 1100 1120 1210 2000
21 21 112 210 1001 1022 1120 1211 2002 2100
22 22 121 220 1012 1111 1210 2002 2101 2200
100 100 200 1000 1100 1200 2000 2100 2200 10000

टर्नरी में पूर्णांक संख्याओं का निरूपण बाइनरी अंक प्रणाली की तरह जल्दी से असुविधाजनक रूप से लंबा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, दशमलव 365 (संख्या) या senary 1405 बाइनरी 101101101 (नौ अंक) और टर्नरी 111112 (छह अंक) से मेल खाता है। हालाँकि, वे अभी भी दशमलव जैसे आधारों में संबंधित अभ्यावेदन की तुलना में बहुत कम कॉम्पैक्ट हैं – नॉनरी (बेस 9) और septemvigesimal (बेस 27) का उपयोग करके टर्नरी को संहिताबद्ध करने के कॉम्पैक्ट तरीके के लिए नीचे देखें।

Numbers from 1 to 33 in standard ternary
Ternary 1 2 10 11 12 20 21 22 100
Binary 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
Senary 1 2 3 4 5 10 11 12 13
Decimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ternary 101 102 110 111 112 120 121 122 200
Binary 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010
Senary 14 15 20 21 22 23 24 25 30
Decimal 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Ternary 201 202 210 211 212 220 221 222 1000
Binary 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011
Senary 31 32 33 34 35 40 41 42 43
Decimal 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Powers of 3 in ternary
Ternary 1 10 100 1000 10000
Binary 1 11 1001 11011 1010001
Senary 1 3 13 43 213
Decimal 1 3 9 27 81
Power 30 31 32 33 34
Ternary 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000
Binary 11110011 1011011001 100010001011 1100110100001 100110011100011
Senary 1043 3213 14043 50213 231043
Decimal 243 729 2187 6561 19683
Power 35 36 37 38 39

तर्कसंगत संख्याओं के लिए, टर्नरी प्रतिनिधित्व करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है 1/3 सेनेरी के समान (दशमलव में आवर्ती दशमलव की अनंत स्ट्रिंग के रूप में इसके बोझिल प्रतिनिधित्व के विपरीत); लेकिन एक बड़ी कमी यह है कि बदले में, त्रिगुट इसके लिए एक परिमित प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं करता है 1/2 (न ही के लिए 1/4, 1/8, आदि), क्योंकि 2 (संख्या) आधार का अभाज्य संख्या गुणनखंड नहीं है; आधार दो के साथ, एक-दसवां (दशमलव1/10, सेनेरी 1/14) बिल्कुल प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है (जिसके लिए दशमलव की आवश्यकता होगी); न ही एक-छठा (सेनरी 1/10, दशमलव 1/6).

Fractions in ternary
Fraction 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13
Ternary 0.1 0.1 0.02 0.0121 0.01 0.010212 0.01 0.01 0.0022 0.00211 0.002 0.002
Binary 0.1 0.01 0.01 0.0011 0.001 0.001 0.001 0.000111 0.00011 0.0001011101 0.0001 0.000100111011
Senary 0.3 0.2 0.13 0.1 0.1 0.05 0.043 0.04 0.03 0.0313452421 0.03 0.024340531215
Decimal 0.5 0.3 0.25 0.2 0.16 0.142857 0.125 0.1 0.1 0.09 0.083 0.076923


बाइनरी के विपरीत टर्नरी में अंकों का योग

n बिट्स वाली एक बाइनरी संख्या का मान जो सभी 1 हैं 2n − 1.

इसी तरह, एक संख्या N(b, d) के आधार b और d अंकों के लिए, जिनमें से सभी अधिकतम अंक मान हैं b − 1, हम लिख सकते हैं:

N(b, d) = (b − 1)bd−1 + (b − 1)bd−2 + … + (b − 1)b1 + (b − 1)b0,
N(b, d) = (b − 1)(bd−1 + bd−2 + … + b1 + 1),
N(b, d) = (b − 1)M.
bM = bd + bd−1 + … + b2 + b1 और
−M = −bd−1 − bd−2 − … − b1 − 1, इसलिए
bM − M = bd − 1, या
M = bd − 1/b − 1.

तब

N(b, d) = (b − 1)M,
N(b, d) = (b − 1)(bd − 1)/b − 1,
N(b, d) = bd − 1.

तीन अंकों वाली त्रिअंकीय संख्या के लिए, N(3, 3) = 33 − 1 = 26 = 2 × 32 + 2 × 31 + 2 × 30 = 18 + 6 + 2.

कॉम्पैक्ट टर्नरी प्रतिनिधित्व: आधार 9 और 27

नॉनरी (आधार 9, प्रत्येक अंक दो त्रिअंकीय अंक है) या सेप्टेमविजेसिमल (आधार 27, प्रत्येक अंक तीन त्रिअंकीय अंक है) का उपयोग त्रिगुट के कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व के लिए किया जा सकता है, बाइनरी अंक प्रणाली के स्थान पर अष्टभुजाकार और हेक्साडेसिमल सिस्टम का उपयोग कैसे किया जाता है।

व्यावहारिक उपयोग

1, 3, 9 और 27 किग्रा के भार के साथ 1 से 40 किग्रा तक अज्ञात पूर्णांक भार को संतुलित करने के लिए त्रिअंकीय संख्याओं का उपयोग (4 त्रिअंकीय अंक वास्तव में 3 देता है4 = 81 संभावित संयोजन: -40 से +40 तक, लेकिन केवल धनात्मक मान ही उपयोगी हैं)

कुछ अनुरूप तर्क में, सर्किट की स्थिति को अक्सर त्रिगुट व्यक्त किया जाता है। यह आमतौर पर सीएमओएस सर्किट में देखा जाता है, और पुश-पुल आउटपुट | टोटेम-पोल आउटपुट के साथ ट्रांजिस्टर-ट्रांजिस्टर लॉजिक में भी देखा जाता है। आउटपुट को या तो कम (ग्राउंड (बिजली)), उच्च, या खुला (उच्च प्रतिबाधा|उच्च-जेड) कहा जाता है। इस कॉन्फ़िगरेशन में सर्किट का आउटपुट वास्तव में किसी भी वोल्टेज संदर्भ से जुड़ा नहीं है। जहां संकेत आमतौर पर एक निश्चित संदर्भ के लिए, या एक निश्चित वोल्टेज स्तर पर आधारित होता है, राज्य को उच्च विद्युत प्रतिबाधा कहा जाता है क्योंकि यह खुला है और अपने स्वयं के संदर्भ में काम करता है। इस प्रकार, वास्तविक वोल्टेज स्तर कभी-कभी अप्रत्याशित होता है।

आम उपयोग में एक दुर्लभ त्रिगुट बिंदु अमेरिकी बेसबॉल (आमतौर पर सिर्फ मटकी के लिए) में रक्षात्मक आंकड़ों के लिए है, एक पारी के आंशिक भागों को निरूपित करने के लिए। चूंकि अपराध करने वाली टीम को तीन आउट (बेसबॉल) की अनुमति है, प्रत्येक आउट को रक्षात्मक पारी का एक तिहाई माना जाता है और इसे '.1' के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई खिलाड़ी चौथी, पांचवीं और छठी पारी में सभी पिच करता है, साथ ही सातवीं पारी में 2 आउट हासिल करता है, तो उस खेल के लिए उसकी पारी के पिच कॉलम को '3.2' के रूप में सूचीबद्ध किया जाएगा, जो इसके बराबर है 3+2⁄3 (जिसे कभी-कभी कुछ रिकॉर्ड रखने वालों द्वारा एक विकल्प के रूप में प्रयोग किया जाता है)। इस प्रयोग में संख्या के केवल भिन्नात्मक भाग को ही त्रिगुणात्मक रूप में लिखा जाता है।[1][2] त्रिगुट संख्याओं का उपयोग सीरपिन्स्की त्रिकोण या कैंटर सेट जैसी स्व-समान संरचनाओं को सुविधाजनक रूप से संप्रेषित करने के लिए किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यह पता चला है कि कैंटर सेट के निर्माण के तरीके के कारण, कैंटर सेट और संबंधित बिंदु सेट को परिभाषित करने के लिए टर्नरी प्रतिनिधित्व उपयोगी है। कैंटर सेट में 0 से 1 तक अंक होते हैं, जिसमें एक टर्नरी अभिव्यक्ति होती है जिसमें अंक 1 का कोई उदाहरण नहीं होता है।[3][4]त्रैमासिक प्रणाली में कोई भी समाप्ति विस्तार उस अभिव्यक्ति के समतुल्य है जो पिछले गैर-शून्य शब्द से पहले के शब्द के समान है, जिसके बाद पहली अभिव्यक्ति के अंतिम गैर-शून्य शब्द की तुलना में एक शब्द कम है, जिसके बाद एक अनंत पूंछ है। दो। उदाहरण के लिए: 0.1020 0.1012222 के बराबर है... क्योंकि पहली अभिव्यक्ति के दो तक विस्तार समान हैं, दो को दूसरे विस्तार में घटाया गया था, और अनुगामी शून्य को दूसरी अभिव्यक्ति में अनुगामी दोहों से बदल दिया गया था।

टर्नरी सबसे कम मूलांक अर्थव्यवस्था वाला पूर्णांक आधार है, इसके बाद बाइनरी अंक प्रणाली और चतुर्धातुक अंक प्रणाली है। यह गणितीय स्थिरांक e (गणितीय स्थिरांक) से इसकी निकटता के कारण है। इस दक्षता के कारण इसका उपयोग कुछ कंप्यूटिंग प्रणालियों के लिए किया गया है। इसका उपयोग तीन-विकल्प वाले पेड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, जैसे फोन मेनू सिस्टम, जो किसी भी शाखा के लिए एक सरल पथ की अनुमति देता है।

निरर्थक बाइनरी प्रतिनिधित्व का एक रूप जिसे बाइनरी साइन-डिजिट नंबर सिस्टम कहा जाता है, साइन-डिजिट प्रतिनिधित्व का एक रूप, कभी-कभी पूर्णांक के तेजी से जोड़ को पूरा करने के लिए निम्न-स्तरीय सॉफ़्टवेयर और हार्डवेयर में उपयोग किया जाता है क्योंकि यह कैरी (अंकगणित) को समाप्त कर सकता है।[5]


बाइनरी-कोडेड टर्नरी

बाइनरी कंप्यूटर का उपयोग करके टर्नरी कंप्यूटर का अनुकरण, या टर्नरी और बाइनरी कंप्यूटर के बीच इंटरफेसिंग में बाइनरी-कोडेड टर्नरी (बीसीटी) नंबरों का उपयोग शामिल हो सकता है, प्रत्येक ट्रिट को एन्कोड करने के लिए दो या तीन बिट्स का उपयोग किया जाता है।[6][7]बीसीटी एन्कोडिंग बाइनरी-कोडित दशमलव (बीसीडी) एन्कोडिंग के समान है। यदि ट्रिट मान 0, 1 और 2 को 00, 01 और 10 में एन्कोड किया गया है, तो बाइनरी-कोडेड टर्नरी और बाइनरी के बीच किसी भी दिशा में रूपांतरण समय जटिलता # लॉगरिदमिक समय में किया जा सकता है।[8]बीसीटी अंकगणित का समर्थन करने वाली सी (प्रोग्रामिंग भाषा) की एक लाइब्रेरी उपलब्ध है।[9]


कोशिश करें

कुछ टर्नरी कंप्यूटर जैसे सेतुन ने ट्राइट को छह ट्रिट्स के रूप में परिभाषित किया[10]या लगभग 9.5 बिट्स (वास्तविक बाइनरी संख्या बाइट से अधिक जानकारी रखते हुए)।[11]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Ashley MacLennan (2019-01-09). "A complete beginner's guide to baseball stats: Pitching statistics, and what they mean". Bless You Boys. Retrieved 2020-07-30.
  2. ↑ "आँकड़े - टीम - पिचिंग". MLB (Major League Baseball). Retrieved 2020-07-30.
  3. ↑ Soltanifar, Mohsen (2006). "On A sequence of cantor Fractals". Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal. 7 (1). Paper 9.
  4. ↑ Soltanifar, Mohsen (2006). "A Different Description of A Family of Middle–α Cantor Sets". American Journal of Undergraduate Research. 5 (2): 9–12.
  5. ↑ Phatak, D. S.; Koren, I. (1994). "Hybrid signed–digit number systems: a unified framework for redundant number representations with bounded carry propagation chains" (PDF). IEEE Transactions on Computers. 43 (8): 880–891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407. doi:10.1109/12.295850.
  6. ↑ Frieder, Gideon; Luk, Clement (February 1975). "Algorithms for Binary Coded Balanced and Ordinary Ternary Operations". IEEE Transactions on Computers. C-24 (2): 212–215. doi:10.1109/T-C.1975.224188. S2CID 38704739.
  7. ↑ Parhami, Behrooz; McKeown, Michael (2013-11-03). "Arithmetic with Binary-Encoded Balanced Ternary Numbers". Proceedings 2013 Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. Pacific Grove, CA, USA: 1130–1133. doi:10.1109/ACSSC.2013.6810470. ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID 9603084.
  8. ↑ Jones, Douglas W. (June 2016). "Binary Coded Ternary and its Inverse".
  9. ↑ Jones, Douglas W. (2015-12-29). "Ternary Data Types for C Programmers".
  10. ↑ Impagliazzo, John; Proydakov, Eduard (2011-09-06). Perspectives on Soviet and Russian Computing: First IFIP WG 9.7 Conference, SoRuCom 2006, Petrozavodsk, Russia, July 3—7, 2006, Revised Selected Papers. Springer. ISBN 978-3-64222816-2.
  11. ↑ Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E. A. "Development of ternary computers at Moscow State University". Retrieved 2010-01-20.


अग्रिम पठन


बाहरी संबंध

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