त्रैमासिक संबंध

गणित में, एक द्विआधारी संबंध या त्रैमासिक संबंध एक परिमित संबंध है जिसमें संबंध में स्थानों की संख्या तीन होती है। विकट: त्रैमासिक संबंधों को 3-एडिक, 3-एरी, 3-डायमेंशनल, या 3-प्लेस के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।

जिस तरह एक अंतिम संबंध को औपचारिक रूप से 'जोड़े' के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, यानी कार्टेशियन उत्पाद का एक सबसेट A × B कुछ सेट ए और बी का, इसलिए एक टर्नरी रिलेशन ट्रिपल का एक सेट है, जो कार्टेशियन उत्पाद का एक सबसेट बनाता है A × B × C तीन सेट ए, बी और सी।

प्रारंभिक ज्यामिति में त्रिअक्षीय संबंध का एक उदाहरण बिंदुओं के त्रिक पर दिया जा सकता है, जहां त्रिक संबंध में होता है यदि तीन बिंदु संरेखता हैं। एक और ज्यामितीय उदाहरण दो बिंदुओं और एक रेखा से युक्त त्रिगुणों पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां एक त्रिगुणात्मक संबंध में है यदि दो बिंदु निर्धारित करते हैं (घटना (ज्यामिति) के साथ) रेखा।

उदाहरण

बाइनरी फ़ंक्शंस

एक समारोह f: A × B → C दो वेरिएबल्स में, सेट A और B से क्रमशः दो मानों की मैपिंग, C में एक मान के लिए प्रत्येक जोड़ी (a,b) में A × B सी में एक तत्व एफ (ए, बी)। इसलिए, इसके ग्राफ में फॉर्म के जोड़े होते हैं ((a, b), f(a, b)). ऐसे जोड़े जिनमें पहला तत्व स्वयं एक जोड़ी है, अक्सर त्रिगुणों के साथ पहचाने जाते हैं। यह एफ के ग्राफ को ए, बी और सी के बीच एक त्रिपक्षीय संबंध बनाता है, जिसमें सभी त्रिगुण शामिल हैं (a, b, f(a, b)), संतुष्टि देने वाला a in A, b in B, और f(a, b) in C.

चक्रीय आदेश

किसी भी सेट A को दिया गया है जिसके तत्व एक वृत्त पर व्यवस्थित हैं, A पर एक टर्नरी रिलेशन R को परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात A का एक उपसमुच्चय³ = A × A × A, यह निर्धारित करके R(a, b, c) धारण करता है अगर और केवल अगर तत्व ए, बी और सी जोड़ीदार भिन्न होते हैं और घड़ी की दिशा में ए से सी तक जाने पर कोई बी से गुजरता है। उदाहरण के लिए, यदि ए = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } घड़ी के चेहरे पर घंटों का प्रतिनिधित्व करता है, फिर R(8, 12, 4) रखता है और R(12, 8, 4) नहीं रखता।

बीच संबंध

त्रिगुट तुल्यता संबंध

सर्वांगसमता संबंध

अंकगणित की सामान्य सर्वांगसमता

a\equiv b{\pmod {m}}

जो तीन पूर्णांकों a, b, और m के लिए धारण करता है यदि और केवल यदि m a − b को विभाजित करता है, औपचारिक रूप से एक त्रिगुण संबंध के रूप में माना जा सकता है। हालांकि, आमतौर पर, इसके बजाय मॉड्यूलर अंकगणितीय एम द्वारा अनुक्रमित ए और बी के बीच द्विआधारी संबंधों के परिवार के रूप में माना जाता है। प्रत्येक निश्चित m के लिए, वास्तव में इस द्विआधारी संबंध में कुछ प्राकृतिक गुण होते हैं, जैसे एक तुल्यता संबंध होना; जबकि सामान्य रूप से संयुक्त त्रिगुणात्मक संबंध का अध्ययन एक संबंध के रूप में नहीं किया जाता है।

टाइपिंग संबंध

एक टाइपिंग संबंध $\Gamma \vdash e\!:\!\sigma$ दर्शाता है कि $e$ प्रकार का शब्द है $\sigma$ संदर्भ में $\Gamma$ , और इस प्रकार संदर्भों, शब्दों और प्रकारों के बीच एक त्रैमासिक संबंध है।

श्रोडर नियम

एक सेट पर सजातीय संबंधों ए, बी और सी को देखते हुए, एक त्रिगुणात्मक संबंध $(A,\ B,\ C)$ संबंधों की संरचना AB और समावेशन (सेट सिद्धांत) AB ⊆ C का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। संबंधों की कलन के भीतर प्रत्येक संबंध A का विलोम संबंध A होता है^टी और एक पूरक संबंध ${\bar {A}}.$ इन इनवोल्यूशन (गणित) का उपयोग करते हुए, ऑगस्टस डी मॉर्गन और अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ) | अर्नस्ट श्रोडर ने दिखाया कि $(A,\ B,\ C)$ के बराबर है $({\bar {C}},B^{T},{\bar {A}})$ और इसके समकक्ष भी $(A^{T},\ {\bar {C}},\ {\bar {B}}).$ इन रूपों की पारस्परिक समानता, त्रिगुट से निर्मित relation (A, B, C), संबंधों की रचना#श्रोडर नियम|श्रोडर नियम कहलाते हैं।^[1]

संदर्भ

↑ Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, pages 15–19, Springer books

अग्रिम पठन

Myers, Dale (1997), "An interpretive isomorphism between binary and ternary relations", in Mycielski, Jan; Rozenberg, Grzegorz; Salomaa, Arto (eds.), Structures in Logic and Computer Science, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1261, Springer, pp. 84–105, doi:10.1007/3-540-63246-8_6, ISBN 3-540-63246-8
Novák, Vítězslav (1996), "Ternary structures and partial semigroups", Czechoslovak Mathematical Journal, 46 (1): 111–120, hdl:10338.dmlcz/127275
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Šlapal, Josef (1993), "Relations and topologies", Czechoslovak Mathematical Journal, 43 (1): 141–150, hdl:10338.dmlcz/128381

[1] Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, pages 15–19, Springer books

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