द्विघात क्षेत्र

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, एक द्विघात क्षेत्र दो से अधिक क्षेत्र विस्तार की डिग्री का एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र है $\mathbf {Q}$ , परिमेय संख्याएँ।

ऐसा हर द्विघात क्षेत्र कुछ है $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ कहाँ $d$ एक (विशिष्ट रूप से परिभाषित) वर्ग-मुक्त पूर्णांक से भिन्न है $0$ और $1$ . अगर $d>0$ , संबंधित द्विघात क्षेत्र को वास्तविक द्विघात क्षेत्र कहा जाता है, और, यदि $d<0$ , इसे एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र या एक जटिल द्विघात क्षेत्र कहा जाता है, चाहे वह वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का क्षेत्र विस्तार हो या नहीं।

द्विआधारी द्विघात रूपों के सिद्धांत के भाग के रूप में शुरू में द्विघात क्षेत्रों का बहुत गहराई से अध्ययन किया गया है। कुछ अनसुलझी समस्याएं बनी हुई हैं। वर्ग संख्या समस्या विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

पूर्णांकों की अंगूठी

विवेचक

एक गैर-शून्य वर्ग मुक्त पूर्णांक के लिए $d$ , द्विघात क्षेत्र के बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विविक्तकर $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ है $d$ अगर $d$ के अनुरूप है $1$ मापांक $4$ , और अन्यथा $4d$ . उदाहरण के लिए, यदि $d$ है $-1$ , तब $K$ गॉसियन परिमेय का क्षेत्र है और विवेचक है $-4$ . इस तरह के भेद का कारण यह है कि के पूर्णांकों का वलय $K$ से उत्पन्न होता है $(1+{\sqrt {d}})/2$ पहले मामले में और द्वारा ${\sqrt {d}}$ दूसरे मामले में।

द्विघात क्षेत्रों के विवेचकों का समुच्चय वास्तव में मौलिक विवेचकों का समुच्चय है।

आदर्शों में प्रधान गुणनखंड

कोई भी अभाज्य संख्या $p$ एक आदर्श को जन्म देता है $p{\mathcal {O}}_{K}$ पूर्णांकों के वलय में ${\mathcal {O}}_{K}$ एक द्विघात क्षेत्र का $K$ . गैलोज़ एक्सटेंशन में प्रमुख आदर्शों के विभाजन के सामान्य सिद्धांत के अनुरूप, यह हो सकता है^[1]

$p$ निष्क्रिय है: $(p)$ प्रधान आदर्श है।; भागफल वलय परिमित क्षेत्र है $p^{2}$ तत्व: ${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}$ .
$p$ विभाजन: $(p)$ के दो विशिष्ट प्रधान आदर्शों का उत्पाद है ${\mathcal {O}}_{K}$ .; भागफल वलय गुणनफल है ${\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}$ .
$p$ शाखाबद्ध है: $(p)$ के एक प्रमुख आदर्श का वर्ग है ${\mathcal {O}}_{K}$ .; भागफल वलय में शून्येतर nilpotent तत्व होते हैं।

तीसरा मामला होता है अगर और केवल अगर $p$ विभेदक को विभाजित करता है $D$ . पहला और दूसरा मामला तब होता है जब क्रोनकर प्रतीक $(D/p)$ के बराबर होती है $-1$ और $+1$ , क्रमश। उदाहरण के लिए, यदि $p$ विभाजन न करने वाला विषम अभाज्य है $D$ , तब $p$ विभाजित करता है अगर और केवल अगर $D$ एक वर्ग मॉड्यूलो के अनुरूप है $p$ . पहले दो मामले, एक निश्चित अर्थ में, समान रूप से होने की संभावना है $p$ प्राइम्स के माध्यम से चलता है - चेबोटारेव घनत्व प्रमेय देखें।^[2] द्विघात पारस्परिकता के नियम का अर्थ है कि एक प्रधान का विभाजन व्यवहार $p$ द्विघात क्षेत्र में केवल निर्भर करता है $p$ मापांक $D$ , कहाँ $D$ क्षेत्र विवेचक है।

वर्ग समूह

द्विघात क्षेत्र विस्तार के वर्ग समूह का निर्धारण आदर्श वर्ग समूह की परिमितता के कारण मिन्कोव्स्की की सीमा और क्रोनकर प्रतीक का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है।^[3] एक द्विघात क्षेत्र $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक है

\Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}

इसलिए मिन्कोव्स्की बाउंड है^[4]

M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}

फिर, आदर्श वर्ग समूह उन प्रमुख आदर्शों से उत्पन्न होता है जिनका मानदंड कम है

M_{K}

. यह आदर्शों के अपघटन को देखकर किया जा सकता है

(p)

के लिए

p\in \mathbf {Z}

प्रमुख कहाँ

|p|<M_{k}.

^[1] ^{पृष्ठ 72} इन अपघटनों को डेडेकिंड-कुमेर प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है।

साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के द्विघात उपक्षेत्र

प्रधान साइक्लोटोमिक क्षेत्र का द्विघात उपक्षेत्र

एक द्विघात क्षेत्र के निर्माण का एक शास्त्रीय उदाहरण एक आदिम द्वारा उत्पन्न साइक्लोटोमिक क्षेत्र के अंदर अद्वितीय द्विघात क्षेत्र को लेना है $p$ एकता की वें जड़, के साथ $p$ एक विषम अभाज्य संख्या। विशिष्टता गाल्वा सिद्धांत का एक परिणाम है, एक उपसमूह के सूचकांक का एक अनूठा उपसमूह है $2$ गैलोज़ समूह में खत्म $\mathbf {Q}$ . जैसा कि गॉसियन काल में समझाया गया है, द्विघात क्षेत्र का विभेदक है $p$ के लिए $p=4n+1$ और $-p$ के लिए $p=4n+3$ . इसकी भविष्यवाणी पर्याप्त रैमिफिकेशन (गणित) सिद्धांत से भी की जा सकती है। वास्तव में, $p$ एकमात्र ऐसा अभाज्य है जो साइक्लोटोमिक क्षेत्र में प्रभावी होता है, इसलिए $p$ एकमात्र अभाज्य है जो द्विघात क्षेत्र विविक्तकर को विभाजित कर सकता है। यह 'अन्य' भेदभाव करने वालों को नियमबद्ध करता है $-4p$ और $4p$ संबंधित मामलों में।

अन्य चक्रीय क्षेत्र

यदि कोई अन्य चक्रवाती क्षेत्रों को लेता है, तो उनके पास अतिरिक्त के साथ गैलोज़ समूह हैं $2$ - मरोड़, इसलिए कम से कम तीन द्विघात क्षेत्र होते हैं। सामान्य तौर पर क्षेत्र विवेचक का द्विघात क्षेत्र $D$ के साइक्लोटोमिक क्षेत्र के उपक्षेत्र के रूप में प्राप्त किया जा सकता है $D$ एकता की वें जड़ें। यह इस तथ्य को व्यक्त करता है कि द्विघात क्षेत्र का कंडक्टर (वर्ग क्षेत्र सिद्धांत) इसके विवेचक का निरपेक्ष मान है, जो चालक-विवेचक सूत्र का एक विशेष मामला है।

== छोटे विवेचक == के द्विघात संख्या क्षेत्रों के आदेश

निम्न तालिका द्विघात क्षेत्रों के छोटे विविक्तकर के कुछ क्रम (रिंग थ्योरी) को दर्शाती है। एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का अधिकतम क्रम पूर्णांकों का वलय है, और अधिकतम क्रम का विवेचक क्षेत्र का विवेचक है। एक गैर-अधिकतम क्रम का विभेदक मैट्रिक्स के निर्धारक के वर्ग द्वारा संबंधित अधिकतम क्रम के विवेचक का उत्पाद है जो अधिकतम क्रम के आधार पर गैर-अधिकतम क्रम के आधार को व्यक्त करता है। इन सभी विभेदकों को के सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है Discriminant of an algebraic number field § Definition.

वास्तविक द्विघात पूर्णांक वलयों के लिए, आदर्श वर्ग समूह#गुण, जो अद्वितीय गुणनखंड की विफलता को मापता है, OEIS A003649 में दिया गया है; काल्पनिक मामले के लिए, वे OEIS A000924 में दिए गए हैं।

Order	Discriminant	Class number	Units	Comments
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$	$-20$	$2$	$\pm 1$	Ideal classes $(1)$ , $(2,1+{\sqrt {-5}})$
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-19}})/2\right]$	$-19$	$1$	$\pm 1$	Principal ideal domain, not Euclidean
$\mathbf {Z} \left[2{\sqrt {-1}}\right]$	$-16$	$1$	$\pm 1$	Non-maximal order
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-15}})/2\right]$	$-15$	$2$	$\pm 1$	Ideal classes $(1)$ , $(1,(1+{\sqrt {-15}})/2)$
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]$	$-12$	$1$	$\pm 1$	Non-maximal order
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-11}})/2\right]$	$-11$	$1$	$\pm 1$	Euclidean
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-2}}\right]$	$-8$	$1$	$\pm 1$	Euclidean
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-7}})/2\right]$	$-7$	$1$	$\pm 1$	Kleinian integers
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-1}}\right]$	$-4$	$1$	$\pm 1,\pm i$ (cyclic of order $4$ )	Gaussian integers
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {-3}})/2\right]$	$-3$	$1$	$\pm 1,(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})/2$ .	Eisenstein integers
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-21}}\right]$	$-84$	$4$		Class group non-cyclic: $(\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}$
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {5}})/2\right]$	$5$	$1$	$\pm ((1+{\sqrt {5}})/2)^{n}$ (norm $(-1)^{n}$ )
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {2}}\right]$	$8$	$1$	$\pm (1+{\sqrt {2}})^{n}$ (norm $(-1)^{n}$ )
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {3}}\right]$	$12$	$1$	$\pm (2+{\sqrt {3}})^{n}$ (norm $1$ )
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {13}})/2\right]$	$13$	$1$	$\pm ((3+{\sqrt {13}})/2)^{n}$ (norm $(-1)^{n}$ )
$\mathbf {Z} \left[(1+{\sqrt {17}})/2\right]$	$17$	$1$	$\pm (4+{\sqrt {17}})^{n}$ (norm $(-1)^{n}$ )
$\mathbf {Z} \left[{\sqrt {5}}\right]$	$20$	$2$	$\pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}$ (norm $(-1)^{n}$ )	Non-maximal order