द्विघात पारस्परिकता

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने आर्ट 125-146 और 262 अंकगणितीय शोध में द्विघात पारस्परिकता के कानून का पहला और दूसरा प्रमाण प्रकाशित किया।

संख्या सिद्धांत में, द्विघात पारस्परिकता का नियम मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में एक प्रमेय है जो द्विघात समीकरणों की विलेयता के लिए शर्तें देता है। इसकी सूक्ष्मता के कारण इसके कई सूत्रीकरण हैं, लेकिन सबसे मानक कथन है:

द्विघात पारस्परिकता का नियम — मान लीजिए p और q अलग-अलग विषम अभाज्य संख्याएँ हों, और लीजेंड्रे प्रतीक इस रूप में परिभाषित करें:

$\left({\frac {q}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{\text{ for some integer }}n\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Then:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

यह कानून, इसके #q_=_±1_and_the_first_supplement के साथ, किसी भी लीजेंड्रे प्रतीक की आसान गणना की अनुमति देता है, जिससे यह निर्धारित करना संभव हो जाता है कि फॉर्म के किसी द्विघात समीकरण के लिए एक पूर्णांक समाधान है या नहीं $x^{2}\equiv a{\bmod {p}}$ विषम अभाज्य संख्या के लिए math>पी</math>; अर्थात्, पूर्ण वर्ग मॉड्यूल निर्धारित करने के लिए $p$. हालाँकि, यह एक रचनावाद (गणित) है | गैर-रचनात्मक परिणाम: यह एक विशिष्ट समाधान खोजने के लिए बिल्कुल भी मदद नहीं करता है; इसके लिए अन्य विधियों की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, मामले में $p\equiv 3{\bmod {4}}$ यूलर की कसौटी का उपयोग करके वर्गमूल मॉड्यूलो के लिए एक स्पष्ट सूत्र दिया जा सकता है $p$ एक द्विघात अवशेषों का $a$, अर्थात्,

$\pm a^{\frac {p+1}{4}}$

वास्तव में,

$\left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.$

यह फार्मूला तभी काम करता है जब यह पहले से पता हो $a$ एक द्विघात अवशेष है, जिसे द्विघात पारस्परिकता के नियम का उपयोग करके जाँचा जा सकता है।

द्विघात पारस्परिकता प्रमेय लियोनहार्ड यूलर और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा अनुमान लगाया गया था और पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा सिद्ध किया गया था, जिन्होंने इसे अपने डिसक्विजिशन अरिथमेटिका और अपने पत्रों, लेखन में मौलिक प्रमेय के रूप में संदर्भित किया

मौलिक प्रमेय निश्चित रूप से अपने प्रकार के सबसे सुरुचिपूर्ण में से एक माना जाना चाहिए। (कला। 151)

निजी तौर पर, गॉस ने इसे स्वर्ण प्रमेय के रूप में संदर्भित किया। उन्होंने इसके लिए छह गणितीय प्रमाण प्रकाशित किए, और दो और उनके मरणोपरांत पत्रों में पाए गए। अब 240 से अधिक प्रकाशित प्रमाण हैं। सबसे छोटा ज्ञात सबूत शामिल है #Proof, साथ में कानून के पूरक के छोटे सबूत (-1 और 2 के लिजेंड्रे प्रतीक)।

उच्चतर शक्तियों के लिए पारस्परिकता कानून का सामान्यीकरण गणित में एक प्रमुख समस्या रही है, और सार बीजगणित, संख्या सिद्धांत, और बीजगणितीय ज्यामिति की अधिकांश मशीनरी के विकास के लिए महत्वपूर्ण रही है, जो आर्टिन पारस्परिकता, वर्ग क्षेत्र सिद्धांत और लैंगलैंड्स में परिणत हुई। कार्यक्रम।

प्रेरक उदाहरण

पूर्ण वर्ग संख्या वाले कुछ सूक्ष्म गुणनखंड पैटर्न से द्विघात पारस्परिकता उत्पन्न होती है। इस खंड में, हम ऐसे उदाहरण देते हैं जो सामान्य मामले की ओर ले जाते हैं।

फैक्टरिंग एन² − 5

बहुपद पर विचार करें $f(n)=n^{2}-5$ और इसके लिए मूल्य $n\in \mathbb {N} .$ इन मूल्यों का प्रमुख गुणनखंड निम्नानुसार दिया गया है:

n	$f(n)$			n	$f(n)$			n	$f(n)$
1	−4	−22		16	251	251		31	956	22⋅239
2	−1	−1		17	284	22⋅71		32	1019	1019
3	4	22		18	319	11⋅29		33	1084	22⋅271
4	11	11		19	356	22⋅89		34	1151	1151
5	20	22⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	22⋅5⋅61
6	31	31		21	436	22⋅109		36	1291	1291
7	44	22⋅11		22	479	479		37	1364	22⋅11⋅31
8	59	59		23	524	22⋅131		38	1439	1439
9	76	22⋅19		24	571	571		39	1516	22⋅379
10	95	5⋅19		25	620	22⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	22⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	22⋅419
12	139	139		27	724	22⋅181		42	1759	1759
13	164	22⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	22⋅461
14	191	191		29	836	22⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	22⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	22⋅5⋅101

प्रमुख कारक $p$ भाग देनेवाला $f(n)$ हैं $p=2,5$, और प्रत्येक अभाज्य जिसका अंतिम अंक है $1$ या $9$; कोई अभाज्य संख्या समाप्त नहीं हो रही है $3$ या $7$ कभी प्रकट। अब, $p$ कुछ का एक प्रमुख कारक है $n^{2}-5$ जब भी $n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}$, यानी जब भी $n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},$ यानी जब भी 5 एक द्विघात अवशेष मोडुलो होता है $p$. इसके लिए होता है $p=2,5$ और उन primes के साथ $p\equiv 1,4{\bmod {5}},$ और बाद की संख्याएँ $1=(\pm 1)^{2}$ तथा $4=(\pm 2)^{2}$ ठीक द्विघात अवशेष मॉड्यूल हैं $5$. इसलिए, को छोड़कर $p=2,5$, हमारे पास वह है $5$ एक द्विघात अवशेष मॉड्यूल है $p$ आईएफएफ $p$ एक द्विघात अवशेष मॉड्यूल है $5$.

द्विघात पारस्परिकता का नियम के प्रधान विभाजकों का एक समान लक्षण वर्णन देता है $f(n)=n^{2}-q$ किसी भी अभाज्य q के लिए, जो किसी भी पूर्णांक के लिए लक्षण वर्णन की ओर ले जाता है $q$.

द्विघात अवशेषों के बीच पैटर्न

पी को एक विषम अभाज्य मान लेते हैं। एक संख्या modulo p एक द्विघात अवशेष है जब भी यह एक वर्ग (mod p) के अनुरूप होता है; अन्यथा यह द्विघाती अअवशेष है। (संदर्भ से स्पष्ट होने पर द्विघात को हटाया जा सकता है।) यहां हम शून्य को एक विशेष मामले के रूप में बाहर कर देते हैं। फिर इस तथ्य के परिणामस्वरूप कि क्रम p के एक परिमित क्षेत्र का गुणात्मक समूह क्रम p-1 का चक्रीय है, निम्नलिखित कथन धारण करते हैं:

• एक समान संख्या में द्विघात अवशेष और गैर-अवशेष हैं; तथा
• दो द्विघात अवशेषों का उत्पाद एक अवशेष है, एक अवशेष और एक गैर-अवशेष का उत्पाद एक गैर-अवशेष है, और दो गैर-अवशेषों का उत्पाद एक अवशेष है।

संदेह से बचने के लिए, यदि मापांक अभाज्य नहीं है, तो ये कथन मान्य नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, गुणात्मक समूह मॉड्यूलो 15 में केवल 3 द्विघात अवशेष (1, 4 और 9) हैं। इसके अलावा, हालांकि 7 और 8 द्विघात गैर-अवशेष हैं, उनका उत्पाद 7x8 = 11 भी एक द्विघात गैर-अवशेष है, जो प्रमुख मामले के विपरीत है।

निम्न तालिका में द्विघात अवशेष प्रविष्टियाँ हैं:

Squares mod primes

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
mod 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
mod 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
mod 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
mod 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
mod 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
mod 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
mod 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
mod 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
mod 29	1	4	9	16	25	7	20	6	23	13	5	28	24	22	22	24	28	5	13	23	6	20	7	25	16
mod 31	1	4	9	16	25	5	18	2	19	7	28	20	14	10	8	8	10	14	20	28	7	19	2	18	5
mod 37	1	4	9	16	25	36	12	27	7	26	10	33	21	11	3	34	30	28	28	30	34	3	11	21	33
mod 41	1	4	9	16	25	36	8	23	40	18	39	21	5	32	20	10	2	37	33	31	31	33	37	2	10
mod 43	1	4	9	16	25	36	6	21	38	14	35	15	40	24	10	41	31	23	17	13	11	11	13	17	23
mod 47	1	4	9	16	25	36	2	17	34	6	27	3	28	8	37	21	7	42	32	24	18	14	12	12	14

यह तालिका 50 से कम विषम अभाज्य संख्याओं के लिए पूर्ण है। यह जाँचने के लिए कि क्या कोई संख्या m इन अभाज्य p में से एक द्विघात अवशेष मॉड है, a ≡ m (mod p) और 0 ≤ a <p ज्ञात करें। यदि a पंक्ति p में है, तो m एक अवशेष (mod p) है; यदि a तालिका की पंक्ति p में नहीं है, तो m एक गैर-अवशेष (mod p) है।

द्विघात पारस्परिकता कानून यह कथन है कि तालिका में पाए जाने वाले कुछ पैटर्न सामान्य रूप से सत्य हैं।

लेजेंड्रे का संस्करण

डेटा को व्यवस्थित करने का एक अन्य तरीका यह देखना है कि कौन से अभाज्य अवशेष मॉड हैं जो अन्य अभाज्य हैं, जैसा कि निम्न तालिका में दिखाया गया है। पंक्ति p स्तंभ q में प्रविष्टि 'R' है यदि q एक द्विघात अवशेष (mod p) है; यदि यह अवशेष नहीं है तो प्रविष्टि 'एन' है।

यदि पंक्ति, या स्तंभ, या दोनों, ≡ 1 (mod 4) हैं, तो प्रविष्टि नीली या हरी है; यदि पंक्ति और स्तंभ दोनों ≡ 3 (मॉड 4) हैं, तो यह पीला या नारंगी है।

नीली और हरी प्रविष्टियाँ विकर्ण के चारों ओर सममित हैं: पंक्ति p, स्तंभ q के लिए प्रविष्टि 'R' (प्रतिक्रिया 'N') है यदि और केवल यदि पंक्ति q, स्तंभ p में प्रविष्टि 'R' है (उत्तर 'N' ')।

दूसरी ओर, पीले और नारंगी वाले, एंटीसिमेट्रिक हैं: पंक्ति p, कॉलम q के लिए प्रविष्टि 'R' (प्रतिक्रिया 'N') है यदि और केवल यदि पंक्ति q, कॉलम p, में प्रविष्टि 'N' है ( सम्मान 'आर')।

पारस्परिकता कानून कहता है कि ये पैटर्न सभी पी और क्यू के लिए हैं।

Legend

R	q is a residue (mod p)	q ≡ 1 (mod 4) or p ≡ 1 (mod 4) (or both)
N	q is a nonresidue (mod p)
R	q is a residue (mod p)	both q ≡ 3 (mod 4) and p ≡ 3 (mod 4)
N	q is a nonresidue (mod p)

		q
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
p	3		N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R
	5	N		N	R	N	N	R	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N
	7	N	N		R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N
	11	R	R	N		N	N	N	R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	R	N	N	N	R	R
	13	R	N	N	N		R	N	R	R	N	N	N	R	N	R	N	R	N	N	N	R	N	N	N
	17	N	N	N	N	R		R	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N
	19	N	R	R	R	N	R		R	N	N	N	N	R	R	N	N	R	N	N	R	N	R	N	N
	23	R	N	N	N	R	N	N		R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	N	N	N
	29	N	R	R	N	R	N	N	R		N	N	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R	N	N
	31	N	R	R	N	N	N	R	N	N		N	R	N	R	N	R	N	R	R	N	N	N	N	R
	37	R	N	R	R	N	N	N	N	N	N		R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N
	41	N	R	N	N	N	N	N	R	N	R	R		R	N	N	R	R	N	N	R	N	R	N	N
	43	N	N	N	R	R	R	N	R	N	R	N	R		R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R
	47	R	N	R	N	N	R	N	N	N	N	R	N	N		R	R	R	N	R	N	R	R	R	R
	53	N	N	R	R	R	R	N	N	R	N	R	N	R	R		R	N	N	N	N	N	N	R	R
	59	R	R	R	N	N	R	R	N	R	N	N	R	N	N	R		N	N	R	N	R	N	N	N
	61	R	R	N	N	R	N	R	N	N	N	N	R	N	R	N	N		N	N	R	N	R	N	R
	67	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	R	N	R	N		R	R	N	R	R	N
	71	R	R	N	N	N	N	R	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N		R	R	R	R	N
	73	R	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	N	N	N	N	R	R	R		R	N	R	R
	79	N	R	N	R	R	N	R	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	N	R		R	R	R
	83	R	N	R	R	N	R	N	R	R	R	R	R	N	N	N	R	R	N	N	N	N		N	N
	89	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	R	R	N		R
	97	R	N	N	R	N	N	N	N	N	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R

द्विघात पारस्परिकता के पूरक

पूरक द्विघात पारस्परिकता के विशिष्ट मामलों का समाधान प्रदान करते हैं। पूर्ण प्रमेय का सहारा लिए बिना, उन्हें अक्सर आंशिक परिणाम के रूप में उद्धृत किया जाता है।

q = ±1 और पहला पूरक

तुच्छ रूप से 1 सभी अभाज्य संख्याओं के लिए एक द्विघात अवशेष है। प्रश्न -1 के लिए और अधिक दिलचस्प हो जाता है। तालिका की जांच करने पर, हम -1 पंक्तियों 5, 13, 17, 29, 37, और 41 में पाते हैं लेकिन पंक्तियों 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 या 47 में नहीं। अभाज्य संख्याओं का पूर्व सेट सभी सर्वांगसम हैं 1 मॉड्यूलो 4 के लिए, और बाद वाले 3 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप हैं।

'द्विघात पारस्परिकता के लिए पहला पूरक।' सर्वांगसमता $x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $p$ 1 मॉड्यूलो 4 के अनुरूप है।

q = ±2 और दूसरा पूरक

तालिका की जांच करने पर, हम 2 पंक्तियों 7, 17, 23, 31, 41, और 47 में पाते हैं, लेकिन पंक्तियों 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, या 43 में नहीं। पूर्व अभाज्य सभी ≡ ± हैं 1 (मॉड 8), और बाद वाले सभी ≡ ± 3 (मॉड 8) हैं। इससे ये होता है

'द्वितीय पारस्परिकता के लिए दूसरा पूरक।' सर्वांगसमता $x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $p$ ±1 सापेक्ष 8 के अनुरूप है।

−2 पंक्तियों 3, 11, 17, 19, 41, 43 में है, लेकिन पंक्तियों 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37, या 47 में नहीं है। पूर्व ≡ 1 या ≡ 3 (मॉड 8) हैं। , और बाद वाले ≡ 5, 7 (मॉड 8) हैं।

क्यू = ± 3

3 पंक्तियों 11, 13, 23, 37, और 47 में है, लेकिन 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, या 43 पंक्तियों में नहीं है। पूर्व ≡ ±1 (mod 12) हैं और बाद वाले हैं सभी ≡ ± 5 (मॉड 12)।

−3 पंक्तियों 7, 13, 19, 31, 37, और 43 में है, लेकिन पंक्तियों 5, 11, 17, 23, 29, 41, या 47 में नहीं है। पूर्व ≡ 1 (मॉड 3) और बाद वाला ≡ 2 है (मॉड 3)।

चूँकि एकमात्र अवशेष (मॉड 3) 1 है, हम देखते हैं कि -3 एक द्विघात अवशेष मॉडुलो प्रत्येक प्राइम है जो एक अवशेष मॉड्यूलो 3 है।

क्यू = ± 5

5 पंक्तियों 11, 19, 29, 31, और 41 में है, लेकिन पंक्तियों 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43, या 47 में नहीं है। पूर्व ≡ ±1 (मॉड 5) हैं और बाद वाले ≡ हैं ± 2 (मॉड 5)।

चूँकि केवल अवशेष (मॉड 5) ± 1 हैं, हम देखते हैं कि 5 एक द्विघात अवशेष मॉडुलो है जो प्रत्येक प्राइम है जो एक अवशेष मॉड्यूल 5 है।

-5 पंक्तियों 3, 7, 23, 29, 41, 43, और 47 में है, लेकिन 11, 13, 17, 19, 31, या 37 पंक्तियों में नहीं है। पूर्व ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) हैं ) और बाद वाले ≡ 11, 13, 17, 19 (मॉड 20) हैं।

उच्च क्यू

-3 और 5 के बारे में प्रेक्षण जारी हैं: -7 एक अवशेष सापेक्ष p है यदि और केवल यदि p एक अवशेष सापेक्ष 7 है, -11 एक अवशेष सापेक्ष p है यदि और केवल यदि p एक अवशेष मॉड्यूल 11 है, 13 एक अवशेष मॉड्यूल है अवशेष (मॉड पी) अगर और केवल अगर पी एक अवशेष मॉड्यूल 13 है, आदि। 3 और -5 के वर्गिक वर्णों के लिए अधिक जटिल दिखने वाले नियम, जो क्रमशः मॉड्यूल 12 और 20 पर निर्भर करते हैं, केवल − के लिए हैं 3 और 5 पहले पूरक के साथ काम कर रहे हैं।

'उदाहरण।' -5 को एक अवशेष (मॉड पी) होने के लिए, या तो 5 और -1 दोनों को अवशेष (मॉड पी) होना चाहिए या उन दोनों को गैर-अवशेष होना चाहिए: यानी, पी ≡ ± 1 (मॉड 5) और पी ≡ 1 (mod 4) या p ≡ ± 2 (mod 5) और p ≡ 3 (mod 4)। चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करते हुए ये p ≡ 1, 9 (mod 20) या p ≡ 3, 7 (mod 20) के समतुल्य हैं।

-3 और 5 के नियमों का सामान्यीकरण गॉस का द्विघात पारस्परिकता का कथन है।

प्रमेय का कथन

द्विघात पारस्परिकता (गॉस का कथन)। यदि $q\equiv 1{\bmod {4}}$, फिर सर्वांगसमता $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है। यदि $q\equiv 3{\bmod {4}}$ तथा $p\equiv 3{\bmod {4}}$, फिर सर्वांगसमता $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है।

द्विघात पारस्परिकता (संयुक्त कथन)। परिभाषित करना $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q$. फिर सर्वांगसमता $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है।

द्विघात पारस्परिकता (लीजेंड्रे का कथन)। यदि p या q 1 सापेक्ष 4 के सर्वांगसम हैं, तो: $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ हल करने योग्य है। यदि p और q 3 सापेक्ष 4 के सर्वांगसम हैं, तो: $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ हल करने योग्य है अगर और केवल अगर $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ हल करने योग्य नहीं है।

अंतिम उपरोक्त परिचय में बताए गए आधुनिक रूप के तुरंत समकक्ष है। यह साबित करने के लिए एक सरल अभ्यास है कि लीजेंड्रे और गॉस के बयान समान हैं - इसके लिए पहले पूरक और अवशेषों और गैर-अवशिष्टों को गुणा करने के तथ्यों से अधिक की आवश्यकता नहीं है।

प्रमाण

Main article: Proofs of quadratic reciprocity

जाहिरा तौर पर, अब तक का सबसे छोटा ज्ञात प्रमाण अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली में बी. वेक्लिच द्वारा प्रकाशित किया गया था।

पूरक के सबूत

लीजेंड्रे के प्रतीक का मूल्य $-1$ (उपरोक्त प्रमाण में प्रयुक्त) यूलर की कसौटी से सीधे अनुसरण करता है:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}$

यूलर की कसौटी से, लेकिन इस सर्वांगसमता के दोनों पक्ष रूप की संख्याएँ हैं $\pm 1$, इसलिए उन्हें समान होना चाहिए।

या $2$ यदि हम समीकरण के हलों की संख्या जानते हैं तो एक द्विघात अवशेष का निष्कर्ष निकाला जा सकता है $x^{2}+y^{2}=2$ साथ $x,y\in \mathbb {Z} _{p},$ जिसे मानक तरीकों से हल किया जा सकता है। अर्थात्, इसके सभी समाधान कहाँ $xy\neq 0,x\neq \pm y$ फॉर्म के ऑक्टूपलेट्स में समूहीकृत किया जा सकता है $(\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)$, और जो बचा है वह रूप के चार समाधान हैं $(\pm 1,\pm 1)$ और संभवतः चार अतिरिक्त समाधान जहां $x^{2}=2,y=0$ तथा $x=0,y^{2}=2$, जो वास्तव में मौजूद हैं $2$ द्विघात अवशेष है। वह है, $2$ यदि इस समीकरण के समाधान की संख्या विभाज्य है तो ठीक एक द्विघात अवशेष है $8$. और इस समीकरण को ठीक उसी तरह से हल किया जा सकता है जैसे कि परिमेय संख्याओं पर: स्थानापन्न $x=a+1,y=at+1$, जहां हम इसकी मांग करते हैं $a\neq 0$ (दो समाधानों को छोड़कर $(1,\pm 1)$), तो मूल समीकरण में बदल जाता है

$a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.$

यहां $t$ कोई भी मान हो सकता है जो भाजक को शून्य नहीं बनाता - जिसके लिए हैं $1+\left({\frac {-1}{p}}\right)$ संभावनाएं (यानी $2$ यदि $-1$ अवशेष है, $0$ यदि नहीं) - और भी नहीं बनाता है $a$ शून्य, जिसमें एक और विकल्प शामिल नहीं है, $t=-1$. इस प्रकार हैं

$p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1$

के लिए संभावनाएं $t$, और इसलिए दो अपवर्जित समाधानों के साथ कुल मिलाकर हैं $p-\left({\frac {-1}{p}}\right)$ मूल समीकरण के समाधान। इसलिए, $2$ एक अवशेष मॉड्यूल है $p$ अगर और केवल अगर $8$ विभाजित $p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}$. यह ऊपर बताई गई स्थिति का सुधार है।

इतिहास और वैकल्पिक कथन

प्रमेय को इसके आधुनिक रूप से पहले कई तरह से तैयार किया गया था: यूलर और लिजेंड्रे के पास गॉस की सर्वांगसमता संकेतन नहीं था, न ही गॉस के पास लिजेंड्रे प्रतीक था।

इस लेख में p और q हमेशा विशिष्ट धनात्मक विषम अभाज्य संख्याएँ, और x और y अनिर्दिष्ट पूर्णांकों को संदर्भित करते हैं।

फर्मेट

फर्मेट साबित हुआ (या साबित होने का दावा किया) अभाज्य को द्विघात रूप से व्यक्त करने के बारे में कई प्रमेय:

${\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}$

उन्होंने द्विघात पारस्परिकता के कानून को नहीं बताया, हालांकि मामले -1, ±2, और ±3 इन और उनके अन्य प्रमेयों से आसान कटौती हैं।

उन्होंने यह भी एक प्रमाण होने का दावा किया कि यदि अभाज्य संख्या p 7 के साथ समाप्त होती है, (आधार 10 में) और अभाज्य संख्या q 3 में समाप्त होती है, और p ≡ q ≡ 3 (mod 4), तो

$pq=x^{2}+5y^{2}.$

यूलर ने अनुमान लगाया, और लैग्रेंज ने साबित किया कि

${\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}$

फर्मेट के इन और अन्य बयानों को साबित करना उन चीजों में से एक था जो गणितज्ञों को पारस्परिक प्रमेय के लिए प्रेरित करता था।

यूलर

आधुनिक संकेतन में अनुवादित, यूलर ने कहा विशिष्ट विषम अभाज्य p और q के लिए:

1. यदि q ≡ 1 (mod 4) तो q एक द्विघात अवशेष (mod p) है यदि और केवल यदि कोई पूर्णांक b मौजूद है जैसे कि p ≡ b² (मॉड क्यू)।
2. यदि q ≡ 3 (mod 4) तो q एक द्विघात अवशेष (mod p) है यदि और केवल अगर कुछ पूर्णांक b मौजूद है जो विषम है और q से विभाज्य नहीं है जैसे कि p ≡ ± b² (मॉड 4q)।

यह द्विघात पारस्परिकता के बराबर है।

वह इसे सिद्ध नहीं कर सके, लेकिन उन्होंने दूसरा पूरक सिद्ध कर दिया।

किंवदंती और उसका प्रतीक

Fermat ने सिद्ध किया कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a एक पूर्णांक है,

$a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.$

इस प्रकार यदि पी गैर-स्पष्ट तथ्य (उदाहरण के लिए आयरलैंड और रोसेन के लिए नीचे देखें) का उपयोग करके विभाजित नहीं करता है कि अवशेष मॉड्यूल पी एक क्षेत्र (गणित) बनाते हैं और इसलिए विशेष रूप से गुणक समूह चक्रीय है, इसलिए अधिकतम हो सकता है द्विघात समीकरण के दो समाधान:

$a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.$

लेगेंद्रे ए और ए सकारात्मक प्राइम्स ≡ 1 (मॉड 4) और बी और बी पॉजिटिव प्राइम्स ≡ 3 (मॉड 4) का प्रतिनिधित्व करते हैं, और आठ प्रमेयों की एक तालिका निर्धारित करते हैं जो एक साथ द्विघात पारस्परिकता के बराबर हैं:

Theorem	When	it follows that
I	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}$
II	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}$
III	$a^{\frac {A-1}{2}}\equiv 1{\bmod {A}}$	$A^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$
IV	$a^{\frac {A-1}{2}}\equiv -1{\bmod {A}}$	$A^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}$
V	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}$	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$
VI	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}$	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$
VII	$b^{\frac {B-1}{2}}\equiv 1{\bmod {B}}$	$B^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$
VIII	$b^{\frac {B-1}{2}}\equiv -1{\bmod {B}}$	$B^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}$

वह कहते हैं कि रूप की अभिव्यक्ति के बाद से

$N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1$

इतनी बार आएगा कि वह उन्हें इस रूप में संक्षिप्त करेगा:

$\left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.$

इसे अब लीजेंड्रे प्रतीक और समकक्ष के रूप में जाना जाता है आज परिभाषा का उपयोग किया जाता है: सभी पूर्णांकों के लिए a और सभी विषम अभाज्य p

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}$

लीजेंड्रे का द्विघात पारस्परिकता का संस्करण

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}$

वह नोट करता है कि इन्हें जोड़ा जा सकता है:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

कई प्रमाण, विशेष रूप से गॉस की लेम्मा (संख्या सिद्धांत) पर आधारित | गॉस की लेम्मा, स्पष्ट रूप से इस सूत्र की गणना करें।

लीजेन्ड्रे प्रतीकों का उपयोग करते हुए पूरक कानून

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}$

इन दो परिशिष्टों से, हम द्विघात वर्ण -2 के लिए तीसरा पारस्परिकता नियम निम्नानुसार प्राप्त कर सकते हैं:

-2 को द्विघात अवशेष होने के लिए, या तो -1 या 2 दोनों द्विघात अवशेष हैं, या दोनों गैर-अवशेष हैं:${\bmod {p}}$.

तो या तो:${\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}$ दोनों सम हैं, या वे दोनों विषम हैं। इन दोनों भावों का योग है

${\frac {p^{2}+4p-5}{8}}$ जो एक पूर्णांक है। इसलिए,

${\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}$

लीजेंड्रे का पारस्परिकता सिद्ध करने का प्रयास उनकी एक प्रमेय पर आधारित है:

लीजेंड्रे की प्रमेय। बता दें कि a, b और c पूर्णांक हैं जहां तीनों में से कोई भी जोड़ी अपेक्षाकृत प्रमुख है। इसके अलावा मान लें कि कम से कम एक ab, bc या ca ऋणात्मक है (अर्थात उन सभी के चिह्न समान नहीं हैं)। यदि

${\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}$

हल करने योग्य हैं तो निम्नलिखित समीकरण का पूर्णांकों में एक गैर-तुच्छ समाधान है:

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.$

उदाहरण। प्रमेय I को a ≡ 1 और b ≡ 3 (mod 4) को अभाज्य मानकर और यह मानकर संभाला जाता है $\left({\tfrac {b}{a}}\right)=1$ और, प्रमेय के विपरीत, वह $\left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.$ फिर $x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0$ एक समाधान है, और सर्वांगसमता (मॉड 4) लेना एक विरोधाभास की ओर ले जाता है।

यह तकनीक प्रमेय VIII के लिए काम नहीं करती है। चलो बी ≡ बी ≡ 3 (मॉड 4), और मान लें

$\left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.$

फिर यदि कोई अन्य अभाज्य p ≡ 1 (mod 4) ऐसा है कि

$\left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,$

की विलेयता $Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0$ एक विरोधाभास (मॉड 4) की ओर जाता है। लेकिन लीजेंड्रे यह साबित करने में असमर्थ थे कि इस तरह का एक प्रमुख पी होना चाहिए; वह बाद में यह दिखाने में सक्षम था कि वह सब आवश्यक है:

'लीजेंड्रे लेम्मा।' यदि पी एक प्रमुख है जो 1 मॉड्यूल 4 के अनुरूप है तो वहां एक अजीब प्रधान क्यू मौजूद है $\left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.$

लेकिन वह इसे भी साबित नहीं कर सके। #हिल्बर्ट प्रतीक|हिल्बर्ट प्रतीक (नीचे) समाधान के अस्तित्व पर आधारित तकनीकों पर चर्चा करता है $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ काम में लाया जा सकता है।

गॉस

द्विघात पारस्परिकता के 8 मामलों को सूचीबद्ध करते हुए डिक्विजिशन अरिथमेटिका के पहले संस्करण (1801) में अनुच्छेद 131 का हिस्सा

गॉस पहले साबित करता है पूरक कानून। वह सेट करता है ±3 और ±5 के प्रमेय को सिद्ध करके आगमन का आधार। ध्यान देने योग्य बात उन्होंने कहा कि +3 या -5 की तुलना में -3 ​​और +5 के लिए बताना आसान है सामान्य प्रमेय के रूप में:

यदि p, 4n + 1 के रूप का अभाज्य है, तो p, लेकिन यदि p, 4n + 3 के रूप का है, तो −p, प्रत्येक अभाज्य का एक द्विघात अवशेष (उत्तर. गैर-अवशेष) है, जो सकारात्मक चिह्न के साथ है पी का एक अवशेष (प्रतिक्रिया। गैर अवशेष)। अगले वाक्य में, उन्होंने इसे मूलभूत प्रमेय का नाम दिया (गॉस ने कभी भी पारस्परिकता शब्द का प्रयोग नहीं किया)।

संकेतन a R b (resp. a N b) का परिचय देना मतलब a एक द्विघात अवशेष (resp. nonresidue) (mod b) है, और a, a′, आदि को धनात्मक प्राइम्स ≡ 1 (mod 4) और b का प्रतिनिधित्व करने देता है। , b′, आदि धनात्मक अभाज्य संख्याएं ≡ 3 (mod 4), वह इसे लेजेंड्रे के समान 8 मामलों में विभाजित करता है:

Case	If	Then
1)	±a R a′	±a′ R a
2)	±a N a′	±a′ N a
3)	+a R b −a N b	±b R a
4)	+a N b −a R b	±b N a
5)	±b R a	+a R b −a N b
6)	±b N a	+a N b −a R b
7)	+b R b′ −b N b′	−b′ N b +b′ R b
8)	−b N b′ +b R b′	+b′ R b −b′ N b

अगले लेख में उन्होंने इसका सामान्यीकरण किया है कि मूल रूप से #जैकोबी प्रतीक|जैकोबी प्रतीक (नीचे) के नियम क्या हैं। ए, ए' आदि को किसी भी (अभाज्य या समग्र) सकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं ≡ 1 (मॉड 4) और बी, बी ', आदि पॉजिटिव नंबर ≡ 3 (मॉड 4):

Case	If	Then
9)	±a R A	±A R a
10)	±b R A	+A R b −A N b
11)	+a R B	±B R a
12)	−a R B	±B N a
13)	+b R B	−B N b +N R b
14)	−b R B	+B R b −B N b

ये सभी मामले फॉर्म लेते हैं यदि एक अभाज्य एक अवशेष (मॉड एक समग्र) है, तो सम्मिश्र एक अवशेष या गैर-अवशेष (मॉड द प्राइम) है, जो सर्वांगसमता (मॉड 4) पर निर्भर करता है। वह सिद्ध करता है कि ये स्थिति 1) - 8) से अनुसरण करते हैं।

गॉस की जरूरत थी, और वह साबित करने में सक्षम था, लीजेंड्रे की जरूरत के समान एक लेम्मा:

गॉस की लेम्मा। अगर p 1 modulo 8 के लिए एक प्रधान सर्वांगसम है तो एक विषम अभाज्य q मौजूद है जैसे कि:

$q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.$

द्विघात पारस्परिकता का प्रमाण गणितीय प्रेरण # पूर्ण प्रेरण का उपयोग करता है।

लीजेंड्रे सिंबल्स में गॉस का संस्करण।

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}$

इन्हें जोड़ा जा सकता है:

लीजेंड्रे सिंबल में गॉस का संयुक्त संस्करण। होने देना

$q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.$

दूसरे शब्दों में:

$|q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.$

फिर:

$\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).$

प्रमेय के कई प्रमाण, विशेष रूप से गॉस योगों पर आधारित, इस सूत्र को प्राप्त करते हैं या बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों में अभाज्य संख्याओं का विभाजन।

अन्य कथन

इस खंड के कथन द्विघात पारस्परिकता के समतुल्य हैं: यदि, उदाहरण के लिए, यूलर के संस्करण को ग्रहण किया जाता है, तो लेजेंड्रे-गॉस संस्करण को इससे निकाला जा सकता है, और इसके विपरीत।

द्विघात पारस्परिकता का यूलर का सूत्रीकरण। यदि $p\equiv \pm q{\bmod {4a}}$ फिर $\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).$

यह गॉस की लेम्मा (संख्या सिद्धांत) | गॉस की लेम्मा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

द्विघात पारस्परिकता (गॉस; चौथा प्रमाण)। चलो a, b, c, ... असमान धनात्मक विषम अभाज्य हों, जिनका गुणनफल n है, और m को उनकी संख्या होने दें जो ≡ 3 (mod 4) हैं; जाँच करें कि क्या n/a a का अवशेष है, क्या n/b b का अवशेष है, .... पाए जाने वाले गैर-अवशेषों की संख्या तब भी होगी जब m ≡ 0, 1 (mod 4), और यह विषम होगा यदि एम ≡ 2, 3 (मॉड 4)।

गॉस के चौथे प्रमाण में इस प्रमेय को सिद्ध करना (गॉस राशियों के मान के लिए दो सूत्रों की तुलना करके) और फिर इसे दो अभाज्य संख्याओं तक सीमित करना शामिल है। वह तब एक उदाहरण देता है: a = 3, b = 5, c = 7, और d = 11. इनमें से तीन, 3, 7, और 11 ≡ 3 (mod 4), इसलिए m ≡ 3 (mod 4)। 5×7×11 आर 3; 3×7×11 आर 5; 3×5×11 आर 7; और  3×5×7 एन 11, इसलिए गैर-अवशेषों की संख्या विषम है।

'Eisenstein की द्विघात पारस्परिकता का सूत्रीकरण।' मान लेना

$p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.$

फिर

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).$

मोर्डेल का द्विघात पारस्परिकता का सूत्रीकरण। मान लीजिए a, b और c पूर्णांक हैं। प्रत्येक अभाज्य के लिए, p, abc को विभाजित करने पर सर्वांगसमता

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}$

एक गैर तुच्छ समाधान है, तो ऐसा करता है:

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.$

जीटा समारोह सूत्रीकरण

जैसा कि डेडेकाइंड जीटा फंक्शन पर लेख में उल्लेख किया गया है, द्विघात पारस्परिकता एक द्विघात क्षेत्र के ज़ेटा फ़ंक्शन के बराबर है जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन और एक निश्चित डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन का उत्पाद है

जैकोबी प्रतीक

Main article: Jacobi symbol

जैकोबी प्रतीक लीजेंड्रे प्रतीक का एक सामान्यीकरण है; मुख्य अंतर यह है कि नीचे की संख्या धनात्मक और विषम होनी चाहिए, लेकिन अभाज्य नहीं होनी चाहिए। यदि यह प्रधान है, तो दो प्रतीक सहमत हैं। यह जोड़-तोड़ के उन्हीं नियमों का पालन करता है, जिनका पालन लीजेंड्रे प्रतीक करता है। विशेष रूप से

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}$

और यदि दोनों संख्याएँ सकारात्मक और विषम हैं (इसे कभी-कभी जैकोबी का पारस्परिकता नियम कहा जाता है):

$\left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).$

हालाँकि, यदि जैकोबी प्रतीक 1 है, लेकिन भाजक अभाज्य नहीं है, तो यह जरूरी नहीं है कि अंश भाजक का द्विघात अवशेष है। गॉस के मामले 9) - 14) ऊपर जैकोबी प्रतीकों के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं:

$\left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),$

और चूंकि p प्राइम है, बाएं हाथ की ओर एक लेजेंड्रे प्रतीक है, और हम जानते हैं कि M एक अवशेष मॉडुलो p है या नहीं।

जब तक प्रतीकों को परिभाषित किया जाता है तब तक पिछले अनुभाग में सूचीबद्ध सूत्र जैकोबी प्रतीकों के लिए सही हैं। यूलर का सूत्र लिखा जा सकता है

$\left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.$

उदाहरण।

$\left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.$

2 अभाज्य संख्या 7, 23 और 31 का अवशेष मॉड्यूल है:

$3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.$

लेकिन 2 एक द्विघात अवशेष मॉडुलो 5 नहीं है, इसलिए यह एक मॉडुलो 15 नहीं हो सकता है। यह लीजेंड्रे की समस्या से संबंधित है: यदि $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,$ तो अंकगणितीय प्रगति m + 4a, m + 8a, ... में प्रत्येक अभाज्य एक गैर-अवशेष मॉड्यूल है, यदि इस श्रृंखला में कोई अभाज्य हैं, लेकिन यह लीजेंड्रे के दशकों बाद तक साबित नहीं हुआ था। आइज़ेंस्ताइन के सूत्र के लिए सापेक्ष प्रारंभिक स्थितियों की आवश्यकता होती है (जो संख्याएँ अभाज्य होने पर सत्य हैं)

होने देना $a,b,a',b'$ धनात्मक विषम पूर्णांक हो जैसे कि:

${\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}$

फिर

$\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).$

हिल्बर्ट प्रतीक

हिल्बर्ट प्रतीक के संदर्भ में द्विघात पारस्परिकता कानून तैयार किया जा सकता है $(a,b)_{v}$ जहाँ a और b कोई भी दो शून्येतर परिमेय संख्याएँ हैं और v परिमेय के सभी गैर-तुच्छ निरपेक्ष मानों पर चलता है (आर्किमिडीयन एक और अभाज्य p के लिए p-adic निरपेक्ष मान)। हिल्बर्ट प्रतीक $(a,b)_{v}$ 1 या -1 है। इसे 1 यदि और केवल यदि समीकरण के रूप में परिभाषित किया गया है $ax^{2}+by^{2}=z^{2}$ के अलावा v पर परिमेय के समापन (रिंग थ्योरी) में एक समाधान है $x=y=z=0$. हिल्बर्ट पारस्परिकता कानून कहता है कि $(a,b)_{v}$, निश्चित a और b और अलग-अलग v के लिए, सभी के लिए 1 है, लेकिन बहुत सारे v और का उत्पाद है $(a,b)_{v}$ कुल मिलाकर v 1 है। (यह औपचारिक रूप से जटिल विश्लेषण से अवशिष्ट प्रमेय जैसा दिखता है।)

हिल्बर्ट पारस्परिकता का प्रमाण कुछ विशेष मामलों की जाँच करने के लिए कम हो जाता है, और गैर-तुच्छ मामले मुख्य कानून के बराबर हो जाते हैं और लीजेंड्रे प्रतीक के लिए द्विघात पारस्परिकता के दो पूरक कानून बन जाते हैं। हिल्बर्ट पारस्परिकता कानून में किसी प्रकार की पारस्परिकता नहीं है; इसका नाम केवल द्विघात पारस्परिकता के परिणाम के ऐतिहासिक स्रोत को इंगित करता है। द्विघात पारस्परिकता के विपरीत, जिसके लिए सांकेतिक स्थितियों की आवश्यकता होती है (अर्थात् सम्मिलित प्राइम्स की सकारात्मकता) और प्राइम 2 का एक विशेष उपचार, हिल्बर्ट पारस्परिकता कानून परिमेय के सभी पूर्ण मूल्यों को एक समान स्तर पर मानता है। इसलिए, यह सामान्यीकरण की दृष्टि से द्विघात पारस्परिकता को व्यक्त करने का एक अधिक स्वाभाविक तरीका है: हिल्बर्ट पारस्परिकता कानून सभी वैश्विक क्षेत्रों में बहुत कम परिवर्तनों के साथ विस्तारित होता है और इस विस्तार को सभी वैश्विक क्षेत्रों के लिए द्विघात पारस्परिकता का सामान्यीकरण माना जा सकता है।

साइक्लोटोमिक फ़ील्ड्स के साथ कनेक्शन

द्विघात पारस्परिकता के शुरुआती प्रमाण अपेक्षाकृत एकतरफा हैं। स्थिति तब बदल गई जब गॉस ने गॉस योग का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि द्विघात क्षेत्र साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के उपक्षेत्र हैं, और साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के लिए एक पारस्परिक प्रमेय से अप्रत्यक्ष रूप से द्विघात पारस्परिकता को घटाते हैं। उसका प्रमाण आधुनिक रूप में बाद के बीजगणितीय संख्या सिद्धांतकारों द्वारा डाला गया था। यह प्रमाण वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के लिए एक टेम्पलेट के रूप में कार्य करता है, जिसे द्विघात पारस्परिकता के विशाल सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

रॉबर्ट लैंगलैंड्स ने लैंगलैंड्स कार्यक्रम तैयार किया, जो वर्ग क्षेत्र सिद्धांत का एक अनुमानित विशाल सामान्यीकरण देता है। उन्होंने लिखा है:

मैं स्वीकार करता हूं कि, एक छात्र के रूप में विषय के इतिहास से अनभिज्ञ और साइक्लोटॉमी के साथ संबंध से अनजान होने के कारण, मुझे कानून या इसके तथाकथित प्राथमिक प्रमाण आकर्षक नहीं लगे। मुझे लगता है, हालांकि मैंने खुद को इस तरह व्यक्त नहीं किया होगा (और नहीं कर सकता था) कि मैंने इसे गणितीय जिज्ञासा से थोड़ा अधिक देखा, गंभीर गणितज्ञ के ध्यान की तुलना में नौसिखियों के लिए अधिक उपयुक्त था, जिसे मैं तब बनने की आशा करता था। यह संख्या के बीजगणितीय सिद्धांत पर हरमन वेइल की पुस्तक में ही था कि मैंने इसे और कुछ के रूप में सराहा।

अन्य अंगूठियां

पूर्णांकों के अलावा रिंग (गणित) में द्विघात पारस्परिकता कानून भी हैं।

गाऊसी पूर्णांक

क्वार्टिक पारस्परिकता पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में गॉस ने रिंग के लिए द्विघात पारस्परिकता बताई $\mathbb {Z} [i]$ गॉसियन पूर्णांकों का, यह कहते हुए कि यह क्वार्टिक पारस्परिकता का एक परिणाम है $\mathbb {Z} [i],$ लेकिन किसी भी प्रमेय का प्रमाण नहीं दिया। पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट दिखाया कि कानून में $\mathbb {Z} [i]$ के लिए कानून से निकाला जा सकता है $\mathbb {Z}$ क्वार्टिक पारस्परिकता का उपयोग किए बिना।

विषम गॉसियन प्राइम के लिए $\pi$ और एक गाऊसी पूर्णांक $\alpha$ अपेक्षाकृत प्रधान $\pi ,$ के लिए द्विघात वर्ण को परिभाषित करें $\mathbb {Z} [i]$ द्वारा:

$\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

होने देना $\lambda =a+bi,\mu =c+di$ विशिष्ट गॉसियन अभाज्य हों जहां a और c विषम हों और b और d सम हों। फिर

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).$

ईसेनस्टीन पूर्णांक

एकता के निम्नलिखित तीसरे मूल पर विचार करें:

$\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.$

आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय है $\mathbb {Z} [\omega ].$ आइज़ेंस्टीन प्राइम के लिए $\pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,$ और एक आइज़ेंस्टीन पूर्णांक $\alpha$ साथ $\gcd(\alpha ,\pi )=1,$ के लिए द्विघात वर्ण को परिभाषित करें $\mathbb {Z} [\omega ]$ सूत्र द्वारा

$\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

चलो λ = a + bω और μ = c + dω विशिष्ट आइज़ेंस्ताइन अभाज्य हैं जहाँ a और c 3 से विभाज्य नहीं हैं और b और d 3 से विभाज्य हैं। आइज़ेंस्टीन ने सिद्ध किया

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).$

काल्पनिक द्विघात क्षेत्र

उपरोक्त कानून अधिक सामान्य कानूनों के विशेष मामले हैं जो किसी भी द्विघात क्षेत्र में पूर्णांकों के वलय के लिए मान्य हैं। मान लीजिए कि पूर्णांकों के वलय के साथ k एक काल्पनिक द्विघात संख्या क्षेत्र है ${\mathcal {O}}_{k}.$ एक संख्या क्षेत्र के लिए # प्रधान आदर्श ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ विषम मानदंड के साथ $\mathrm {N} {\mathfrak {p}}$ तथा $\alpha \in {\mathcal {O}}_{k},$ के लिए द्विघात वर्ण को परिभाषित करें ${\mathcal {O}}_{k}$ जैसा

$\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}$

एक मनमाना आदर्श के लिए ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ प्रमुख आदर्शों में निहित है ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}$ परिभाषित करना

$\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},$

और के लिए $\beta \in {\mathcal {O}}_{k}$ परिभाषित करना

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.$

होने देना ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},$ अर्थात। $\left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}$ के लिए एक संख्या फ़ील्ड#इंटीग्रल आधार है ${\mathcal {O}}_{k}.$ के लिये $\nu \in {\mathcal {O}}_{k}$ विषम मानदंड के साथ $\mathrm {N} \nu ,$ परिभाषित (साधारण) पूर्णांक a, b, c, d समीकरणों द्वारा,

${\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}$

और एक समारोह

$\chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.$

यदि m = Nμ और n = Nν दोनों विषम हैं, हर्ग्लोट्ज़ ने सिद्ध किया

$\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.$

इसके अलावा यदि

$\mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}$

फिर

$\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.$

एक परिमित क्षेत्र पर बहुपद

मान लीजिए कि F एक परिमित क्षेत्र है जिसमें q = p हैⁿ तत्व, जहाँ p एक विषम अभाज्य संख्या है और n धनात्मक है, और F[x] को एक चर में F में गुणांक वाले बहुपद वलय होने दें। यदि $f,g\in F[x]$ और f इरेड्यूसिबल बहुपद, बहुपद # वर्गीकरण है, और सकारात्मक डिग्री है, सामान्य तरीके से F [x] के लिए द्विघात चरित्र को परिभाषित करें:

$\left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}$

यदि $f=f_{1}\cdots f_{n}$ मोनिक इरेड्यूसिबल्स लेट का एक उत्पाद है

$\left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).$

डेडेकिंड ने साबित किया कि अगर $f,g\in F[x]$ मोनिक हैं और सकारात्मक डिग्री हैं,

$\left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.$

उच्च शक्तियां

Further information: Cubic reciprocity, Quartic reciprocity, Octic reciprocity, and Eisenstein reciprocity

द्वितीय से अधिक शक्तियों के लिए द्विघात पारस्परिकता को सामान्य बनाने का प्रयास मुख्य लक्ष्यों में से एक था, जिसने 19वीं सदी के गणितज्ञों का नेतृत्व किया, जिनमें कार्ल फ्रेडरिक गॉस, पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट, कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी, गोथोल्ड ईसेनस्टीन, रिचर्ड डेडेकिंड, गंभीर दु:ख और डेविड शामिल थे। सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों और उनके पूर्णांकों के छल्ले के अध्ययन के लिए हिल्बर्ट; विशेष रूप से कुमेर ने उच्च पारस्परिक कानूनों को बताने और साबित करने के लिए आदर्शों का आविष्कार किया।

हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की नौवीं समस्या, जिसे डेविड हिल्बर्ट ने 1900 में गणितज्ञों की कांग्रेस में प्रस्तावित किया था, के लिए कहा था

सबसे सामान्य पारस्परिकता कानून का प्रमाण [f]या एक मनमाना संख्या क्षेत्र। फिलिप फर्टवेंगलर, ताकगी द्वारा प्रस्तुत किया गया, हेल्मुट हासे और अन्य लोगों के काम पर निर्माण, एमिल आर्टिन ने 1923 में आर्टिन पारस्परिकता की खोज की, एक सामान्य प्रमेय जिसके लिए सभी ज्ञात पारस्परिकता कानून विशेष मामले हैं, और इसे 1927 में साबित किया।

यह भी देखें

• डेडेकाइंड जीटा फंक्शन
• तर्कसंगत पारस्परिकता का नियम
• ज़ोलोटारेव की लेम्मा

संदर्भ

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated (from Latin) into English and German. The German edition includes all of Gauss's papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes. Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition). Translated by Clarke, Arthur A. New York: Springer. ISBN 0-387-96254-9.
• Gauss, Carl Friedrich (1965). Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition). Translated by Maser, Hermann. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148. German translations are in pp. 511–533 and 534–586 of Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Every textbook on elementary number theory (and quite a few on algebraic number theory) has a proof of quadratic reciprocity. Two are especially noteworthy:

Franz Lemmermeyer's Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein has many proofs (some in exercises) of both quadratic and higher-power reciprocity laws and a discussion of their history. Its immense bibliography includes literature citations for 196 different published proofs for the quadratic reciprocity law.

Kenneth Ireland and Michael Rosen's A Classical Introduction to Modern Number Theory also has many proofs of quadratic reciprocity (and many exercises), and covers the cubic and biquadratic cases as well. Exercise 13.26 (p. 202) says it all

Count the number of proofs to the law of quadratic reciprocity given thus far in this book and devise another one.

• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1966), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5
• Edwards, Harold (1977), Fermat's Last Theorem, New York: Springer, ISBN 0-387-90230-9
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, MR 1761696
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अभाज्य संख्या
• निर्माणवाद (गणित)
• लैंगलैंड्स कार्यक्रम
• पारस्परिकता की कला
• पौराणिक प्रतीक
• पूर्णता (अंगूठी सिद्धांत)
• अंगूठी (गणित)
• चतुर्भुज पारस्परिकता
• पूर्णांकों की अंगूठी
• बहुपद की अंगूठी
• अलघुकरणीय बहुपद
• गोथोल्ड आइज़ेंस्टीन
• डेविड हिल्बर्ट
• तर्कसंगत पारस्परिकता कानून

बाहरी संबंध

• "Quadratic reciprocity law", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Quadratic Reciprocity Theorem from MathWorld
• A play comparing two proofs of the quadratic reciprocity law
• A proof of this theorem at PlanetMath
• A different proof at MathPages
• F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs of the Quadratic Reciprocity Law (332 proofs)