अंकगणितीय शोध
Disquisitiones Arithmeticae }} (लैटिन फॉर अरिथमेटिकल इन्वेस्टिगेशंस) 1798 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा लैटिन में लिखी गई संख्या सिद्धांत की एक पाठ्यपुस्तक है, जब गॉस 21 वर्ष के थे और पहली बार 1801 में प्रकाशित हुए थे, जब वह 24 वर्ष के थे। संख्या सिद्धांत के रूप में इसने न केवल क्षेत्र को वास्तव में कठोर और व्यवस्थित बनाया बल्कि आधुनिक संख्या सिद्धांत के लिए मार्ग प्रशस्त किया। इस पुस्तक में गॉस ने पियरे डी फर्मेट, यूलर, जोसेफ लुइस लाग्रेंज और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे जैसे गणितज्ञों द्वारा प्राप्त संख्या सिद्धांत में परिणामों को एक साथ लाया और उनका समाधान किया और अपने स्वयं के कई गहन और मूल परिणाम जोड़े।
स्कोप
डिस्क्विजिशन में प्रारंभिक संख्या सिद्धांत और गणित के क्षेत्र के कुछ हिस्सों को शामिल किया गया है जिसे अब बीजगणितीय संख्या सिद्धांत कहा जाता है। गॉस स्पष्ट रूप से एक समूह (गणित) की अवधारणा को नहीं पहचानते थे, जो सार बीजगणित के लिए केंद्रीय है, इसलिए उन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया। अपने विषय के लिए उनका अपना शीर्षक हायर अरिथमेटिक था। डिक्विजिशन की अपनी प्रस्तावना में, गॉस पुस्तक के दायरे का वर्णन इस प्रकार करता है:
The inquiries which this volume will investigate pertain to that part of Mathematics which concerns itself with integers.
गॉस यह भी लिखते हैं, जब कई कठिन समस्याओं का सामना करते हुए, पाठकों द्वारा इस कार्य का उल्लेख करने पर संक्षिप्तता के लिए व्युत्पत्तियों को दबा दिया गया है। (तथ्य यह है कि, कई कठिन प्रश्नों में, मैंने सिंथेटिक प्रदर्शनों का उपयोग किया था, और जिस विश्लेषण से उन्हें निकाला गया था, वह मुख्य रूप से संक्षिप्तता की इच्छा के कारण है, जिसे यथासंभव परामर्श करना आवश्यक था)
सामग्री
पुस्तक को सात खंडों में बांटा गया है:
<ओएल प्रकार = मैं>
</ओल> इन वर्गों को 366 क्रमांकित वस्तुओं में विभाजित किया गया है, जो एक प्रमेय को प्रमाण के साथ बताते हैं या अन्यथा एक टिप्पणी या विचार विकसित करते हैं। धारा I से III अनिवार्य रूप से पिछले परिणामों की समीक्षा है, जिसमें फ़र्मेट की छोटी प्रमेय, विल्सन की प्रमेय और आदिम रूट मॉड्यूलो एन का अस्तित्व शामिल है। हालांकि इन वर्गों के कुछ परिणाम मूल हैं, गॉस पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने इस सामग्री को एक व्यवस्थित तरीके से एक साथ लाया। उन्होंने अद्वितीय गुणनखंड की संपत्ति के महत्व को भी महसूस किया (अंकगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा आश्वस्त, पहले यूक्लिड द्वारा अध्ययन किया गया), जिसे वह आधुनिक उपकरणों का उपयोग करके पुन: स्थापित और सिद्ध करता है। खंड IV से आगे, अधिकांश कार्य मूल है। धारा IV द्विघात पारस्परिकता का प्रमाण विकसित करता है; खंड V, जो पुस्तक के आधे से अधिक भाग में है, द्विआधारी और त्रिगुट द्विघात रूपों का एक व्यापक विश्लेषण है। धारा VI में दो अलग-अलग प्रारंभिक परीक्षण शामिल हैं। अंत में, धारा VII एकता की जड़ का विश्लेषण है#Cyclotomic बहुपद, जो मानदंड देकर निष्कर्ष निकालता है जो यह निर्धारित करता है कि कौन से नियमित बहुभुज रचनात्मक बहुभुज हैं, अर्थात, एक कम्पास के साथ बनाया जा सकता है और अकेले अचिह्नित किया जा सकता है। गॉस ने उच्च-क्रम की सर्वांगसमताओं पर एक आठवां खंड लिखना शुरू किया, लेकिन इसे पूरा नहीं किया, और यह उनकी मृत्यु के बाद शीर्षक के साथ अलग से प्रकाशित किया गया था, जिसका शीर्षक डिसक्विजिशन जेनरल डे कॉन्ग्रुएंटिस (लैटिन: 'जनरल इंवेस्टिगेशन्स ऑन कॉन्ग्रेंसेस') था।[1] इसमें गॉस ने स्वैच्छिक डिग्री की सर्वांगसमताओं पर चर्चा की, रिचर्ड डेडेकिंड, इवरिस्ट गैलोइस और एमिल आर्टिन द्वारा बाद में लिए गए एक दृष्टिकोण से सामान्य सर्वांगसमता की समस्या पर हमला किया। इस ग्रंथ ने स्थिरांक के परिमित क्षेत्र पर कार्य क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए मार्ग प्रशस्त किया। उस ग्रंथ के लिए अद्वितीय विचार के महत्व की स्पष्ट पहचान है फ्रोबेनियस मोर्फिज्म, और हेन्सेल के लेम्मा का एक संस्करण। विद्वतापूर्ण लैटिन में लिखे गए अंतिम गणितीय कार्यों में से एक था। 1965 तक एक अंग्रेजी अनुवाद प्रकाशित नहीं हुआ था।
महत्व
डिस्क्विजिशन प्रकाशित होने से पहले, संख्या सिद्धांत में अलग-अलग प्रमेयों और अनुमानों का संग्रह शामिल था। गॉस ने अपने पूर्ववर्तियों के काम को अपने मूल काम के साथ एक व्यवस्थित ढांचे में लाया, अंतराल में भरा, गलत सबूतों को ठीक किया, और इस विषय को कई तरीकों से बढ़ाया।
विवादों की तार्किक संरचना (गणितीय प्रमाण के बाद प्रमेय कथन, परिणाम के बाद) बाद के ग्रंथों के लिए एक मानक निर्धारित करता है। तार्किक प्रमाण के प्राथमिक महत्व को पहचानते हुए, गॉस कई प्रमेयों को संख्यात्मक उदाहरणों के साथ भी दिखाता है।
19वीं सदी के अन्य यूरोपीय गणितज्ञों के लिए डिसक्विजिशन शुरुआती बिंदु था, जिसमें गंभीर दु:ख, पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट और रिचर्ड डेडेकिंड शामिल थे। गॉस के कई एनोटेशन वास्तव में उनके स्वयं के आगे के शोध की घोषणाएं हैं, जिनमें से कुछ अप्रकाशित रहीं। वे उनके समकालीनों को विशेष रूप से गूढ़ प्रतीत हुए होंगे; उन्हें अब विशेष रूप से एल-फ़ंक्शंस और जटिल गुणन के सिद्धांतों के कीटाणुओं से युक्त के रूप में पढ़ा जा सकता है।
20वीं सदी में विवादों का प्रभाव जारी रहा। उदाहरण के लिए, धारा V, अनुच्छेद 303 में, गॉस ने उचित आदिम द्विआधारी द्विघात रूपों की वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) की अपनी गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया, और अनुमान लगाया कि उसने उन सभी को वर्ग संख्या 1, 2, और 3 के साथ पाया था। यह बाद में था सम विविक्तकर और वर्ग संख्या 1, 2, और 3 के साथ काल्पनिक द्विघात संख्या क्षेत्रों के निर्धारण के रूप में व्याख्या की गई, और विषम विवेचक के मामले में विस्तारित की गई। कभी-कभी वर्ग संख्या समस्या कहा जाता है, इस अधिक सामान्य प्रश्न की अंततः 1986 में पुष्टि की गई थी[2] (गॉस द्वारा पूछे गए विशिष्ट प्रश्न की पुष्टि 1902 में एडमंड लैंडौ द्वारा की गई थी[3] कक्षा संख्या एक के लिए)। धारा VII, अनुच्छेद 358 में, गॉस ने साबित किया कि परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना के पहले गैर-तुच्छ मामले के रूप में क्या व्याख्या की जा सकती है (दीर्घवृत्तीय घटता पर हस्से की प्रमेय#हस्से-वील बाउंड|हस्से-वील प्रमेय)।[4]
ग्रन्थसूची
- Carl Friedrich Gauss, tr. Arthur A. Clarke,[5] S.J.: Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, 1965, ISBN 0-300-09473-6
- Disquisitiones Arithmeticae (original text in Latin)
- Dunnington, G. Waldo (1935), "Gauss, His Disquisitiones Arithmeticae, and His Contemporaries in the Institut de France", National Mathematics Magazine, 9 (7): 187–192, doi:10.2307/3028190, JSTOR 3028190
संदर्भ
- ↑ * Latin text, with endnotes by Dedekind: Gauss, Carl Friedrich (1863). Disquisitiones generales de congruentiis. Carl Friedrich Gauss Werke. Vol. Band II. Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. pp. 212–242.
- Translated into German: Gauss, Carl Friedrich (1889). Allgemeine Untersuchungen über die Congruenzen. Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über höhere Arithmetik. Translated by Maser, Hermann. Berlin: Julius Springer. pp. 602–629.
- ↑ Ireland, K.; Rosen, M. (1993), A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, New York: Springer-Verlag, pp. 358–361, ISBN 978-0-387-97329-6
- ↑ Goldfeld, Dorian (July 1985), "Gauss' Class Number Problem For Imaginary Quadratic Fields" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 13 (1): 23–37, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2
- ↑ Silverman, J.; Tate, J. (1992), Rational Points on Elliptic Curves, New York, New York: Springer-Verlag, p. 110, ISBN 978-0-387-97825-3
- ↑ Not to be confused with Arthur C. Clarke, the science fiction author.
बाहरी संबंध
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Latin Wikisource has original text related to this article: Disquisitiones arithmeticae (Latin original) (first ed. 1801) (ed. 1870)- French Wikisource has original text related to this article: Recherches arithmétiques (French translation) (ed. 1807)
