द्वितीय गणनीय स्थान

टोपोलॉजी में, एक द्वितीय-गणनीय स्थान, जिसे पूरी तरह से अलग करने योग्य स्थान भी कहा जाता है, एक टोपोलॉजिकल स्थान है जिसकी टोपोलॉजी में एक गणनीय आधार (टोपोलॉजी) होता है। अधिक स्पष्ट रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $T$ यदि कुछ गणनीय संग्रह मौजूद है तो द्वितीय-गणनीय है ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ के खुले सेट उपसमुच्चय $T$ ऐसा कि कोई भी खुला उपसमुच्चय $T$ के कुछ उपपरिवार के तत्वों के संघ के रूप में लिखा जा सकता है ${\mathcal {U}}$. ऐसा कहा जाता है कि दूसरा गणनीय स्थान गणनीयता के दूसरे सिद्धांत को संतुष्ट करता है। अन्य गणनीयता सिद्धांतों की तरह, दूसरी-गणनीय होने की संपत्ति एक स्थान में मौजूद खुले सेटों की संख्या को प्रतिबंधित करती है।

गणित में कई अच्छे व्यवहार वाले स्थान द्वितीय-गणनीय हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्थान (Rⁿ) अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ द्वितीय-गणनीय है। हालाँकि खुली गेंदों का सामान्य आधार बेशुमार होता है, कोई तर्कसंगत संख्या त्रिज्या वाली सभी खुली गेंदों के संग्रह को सीमित कर सकता है और जिनके केंद्रों में तर्कसंगत निर्देशांक होते हैं। यह प्रतिबंधित सेट गणनीय है और फिर भी एक आधार बनाता है।

गुण

प्रथम-गणनीय स्थान|प्रथम-गणनीयता की तुलना में द्वितीय-गणनीयता एक अधिक मजबूत धारणा है। यदि प्रत्येक बिंदु का एक गणनीय स्थानीय आधार हो तो एक स्थान प्रथम-गणनीय होता है। टोपोलॉजी और एक बिंदु x के लिए एक आधार दिया गया है, x वाले सभी आधार सेटों का सेट x पर एक स्थानीय आधार बनाता है। इस प्रकार, यदि किसी के पास टोपोलॉजी के लिए एक गणनीय आधार है तो उसके पास प्रत्येक बिंदु पर एक गणनीय स्थानीय आधार है, और इसलिए प्रत्येक दूसरा-गणनीय स्थान भी एक प्रथम-गणनीय स्थान है। हालाँकि कोई भी बेशुमार असतत स्थान प्रथम-गणनीय है, लेकिन द्वितीय-गणनीय नहीं है।

द्वितीय-गणनीयता का तात्पर्य कुछ अन्य टोपोलॉजिकल गुणों से है। विशेष रूप से, प्रत्येक दूसरा-गणनीय स्थान वियोज्य स्थान है (इसमें एक गणनीय सघन (टोपोलॉजी) उपसमुच्चय है) और लिंडेलोफ स्थान|लिंडेलोफ (प्रत्येक खुले आवरण में एक गणनीय उपकवर होता है)। इसका कोई विपरीत प्रभाव नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा पर निचली सीमा टोपोलॉजी प्रथम-गणनीय, वियोज्य और लिंडेलॉफ है, लेकिन द्वितीय-गणनीय नहीं है। हालाँकि, मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए, द्वितीय-गणनीय, वियोज्य और लिंडेलोफ़ होने के गुण सभी समान हैं। इसलिए, वास्तविक रेखा पर निचली सीमा टोपोलॉजी मेट्रिज़ेबल नहीं है।

दूसरे-गणनीय स्थानों में - जैसा कि मीट्रिक स्थानों में होता है - सघन स्थान , अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस, और गणनीय कॉम्पैक्टनेस सभी समान गुण हैं।

उरीसोहन के मेट्रिज़ेशन प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सेकंड-गणनीय, हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष नियमित स्थान मेट्रिज़ेशन योग्य है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ऐसा प्रत्येक स्थान पूरी तरह से सामान्य स्थान होने के साथ-साथ परा-सुसंहत भी है। इसलिए द्वितीय-गणनीयता टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक प्रतिबंधात्मक संपत्ति है, जिसके लिए मेट्रिज़ेबिलिटी को दर्शाने के लिए केवल एक पृथक्करण सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

अन्य गुण

• द्वितीय-गणनीय स्थान की एक सतत, खुली मानचित्र छवि (गणित) द्वितीय-गणनीय है।
• द्वितीय-गणनीय स्थान का प्रत्येक उप-स्थान (टोपोलॉजी) द्वितीय-गणनीय है।
• द्वितीय-गणनीय स्थानों के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) को द्वितीय-गणनीय होने की आवश्यकता नहीं है; हालाँकि, खुले भागफल हमेशा होते हैं।
• द्वितीय-गणनीय स्थान का कोई भी गणनीय उत्पाद स्थान द्वितीय-गणनीय है, हालाँकि बेशुमार उत्पादों की आवश्यकता नहीं है।
• द्वितीय-गणनीय टी की टोपोलॉजी₁ अंतरिक्ष की प्रमुखता c (सातत्य की कार्डिनैलिटी) से कम या उसके बराबर है।
• दूसरे गणनीय स्थान के लिए किसी भी आधार में एक गणनीय उपपरिवार होता है जो अभी भी एक आधार है।
• द्वितीय-गणनीय स्थान में असंयुक्त खुले सेटों का प्रत्येक संग्रह गणनीय है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

• असंयुक्त गणनीय संघ पर विचार करें $X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb$. अंतराल के बाएँ छोर की पहचान करके एक तुल्यता संबंध और एक भागफल टोपोलॉजी को परिभाषित करें - अर्थात, 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k और इसी तरह की पहचान करें। X द्वितीय-गणनीय स्थानों के गणनीय संघ के रूप में, द्वितीय-गणनीय है। हालाँकि, X/~ पहचाने गए बिंदुओं के सहसमुच्चय पर प्रथम-गणनीय नहीं है और इसलिए द्वितीय-गणनीय भी नहीं है।
• उपरोक्त स्थान स्पष्ट मीट्रिक से संपन्न तुल्यता वर्गों के समान सेट के लिए समरूप नहीं है: यानी एक ही अंतराल में दो बिंदुओं के लिए नियमित यूक्लिडियन दूरी, और समान अंतराल में नहीं रहने वाले बिंदुओं के लिए बाएं हाथ के बिंदु की दूरी का योग - उपरोक्त स्थान की तुलना में अधिक कठोर टोपोलॉजी उत्पन्न करना। यह एक अलग करने योग्य मीट्रिक स्थान है (तर्कसंगत बिंदुओं के सेट पर विचार करें), और इसलिए यह द्वितीय-गणनीय है।
• लंबी लाइन (टोपोलॉजी) द्वितीय-गणनीय नहीं है, बल्कि प्रथम-गणनीय है।

संदर्भ

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4