द्विमितीय गुरुत्व

द्विमितीय गुरुत्व या द्विगुरुत्व सिद्धांतों के दो अलग-अलग वर्गों को संदर्भित करता है। सिद्धांतों का पहला वर्ग गुरुत्वाकर्षण (या गुरुत्वाकर्षण) के संशोधित गणितीय सिद्धांतों पर निर्भर करता है जिसमें एक के बजाय दो मीट्रिक टेंसर का उपयोग किया जाता है। दूसरी मीट्रिक को उच्च ऊर्जा पर पेश किया जा सकता है, इस निहितार्थ के साथ कि प्रकाश की गति ऊर्जा पर निर्भर हो सकती है, जिससे प्रकाश की परिवर्तनीय गति वाले मॉडल सक्षम हो सकते हैं।

यदि दो मेट्रिक्स गतिशील हैं और परस्पर क्रिया करते हैं, तो पहली संभावना दो ग्रेविटॉन मोड का अर्थ है, एक विशाल और एक द्रव्यमान रहित; ऐसे द्विमितीय सिद्धांत बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण से निकटता से संबंधित हैं। विशाल गुरुत्वाकर्षण वाले कई द्विमितीय सिद्धांत मौजूद हैं, जैसे कि नाथन रोसेन (1909-1995) को जिम्मेदार ठहराया गया है।या मोर्दकै मिलग्रोम संशोधित न्यूटोनियन डायनेमिक्स (संशोधित न्यूटोनियन डायनेमिक्स) के सापेक्ष विस्तार के साथ। हाल ही में, बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण के विकास ने द्विमितीय गुरुत्वाकर्षण के नए सुसंगत सिद्धांतों को भी जन्म दिया है। हालाँकि सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत की तुलना में भौतिक अवलोकनों के लिए किसी को भी अधिक सटीक या अधिक सुसंगत रूप से जिम्मेदार नहीं दिखाया गया है, रोसेन के सिद्धांत को PSR B1913+16|हुल्स-टेलर बाइनरी पल्सर के अवलोकनों के साथ असंगत दिखाया गया है।इनमें से कुछ सिद्धांत देर से ब्रह्मांडीय त्वरण की ओर ले जाते हैं और इसलिए काली ऊर्जा के विकल्प हैं। न्यूट्रॉन-स्टार विलय GW170817 द्वारा उत्सर्जित गुरुत्वाकर्षण तरंगों की माप के साथ बायमेट्रिक गुरुत्वाकर्षण भी भिन्न है। इसके विपरीत, द्विमितीय गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों का दूसरा वर्ग बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण पर भरोसा नहीं करता है और न्यूटन के गति के नियमों को संशोधित नहीं करता है|न्यूटन का नियम, बल्कि इसके बजाय ब्रह्मांड को दो युग्मित रीमैनियन कई गुना#रीमैनियन मेट्रिक्स वाले मैनिफोल्ड के रूप में वर्णित करता है, जहां पदार्थ आबाद होता है दो क्षेत्र गुरुत्वाकर्षण के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं (और प्रतिगुरुत्वाकर्षण यदि टोपोलॉजी और पोस्ट-न्यूटोनियन विस्तार को ब्रह्माण्ड विज्ञान में गहरे द्रव्य और डार्क एनर्जी के विकल्प के रूप में नकारात्मक द्रव्यमान और नकारात्मक ऊर्जा अवस्थाओं को प्रस्तुत करने वाला माना जाता है)। इनमें से कुछ भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान, मुद्रास्फीति (ब्रह्मांड विज्ञान) परिकल्पना को चुनौती देते हुए, स्केल फैक्टर (ब्रह्मांड विज्ञान)#विकिरण-प्रधान युग|ब्रह्मांड के विकिरण-प्रधान युग की उच्च ऊर्जा घनत्व स्थिति में प्रकाश की एक परिवर्तनीय गति का भी उपयोग करते हैं।

रोसेन की विशालता (1940 से 1989)

सामान्य सापेक्षता (जीआर) में, यह माना जाता है कि अंतरिक्ष समय में दो बिंदुओं के बीच की दूरी मीट्रिक टेंसर द्वारा दी जाती है। आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण का उपयोग ऊर्जा और गति के वितरण के आधार पर मीट्रिक के रूप की गणना करने के लिए किया जाता है।

1940 में, रोसेनप्रस्तावित किया गया कि अंतरिक्ष-समय के प्रत्येक बिंदु पर, एक यूक्लिडियन ज्यामिति मीट्रिक टेन्सर होता है $\gamma _{ij}$ रीमैनियन मीट्रिक टेंसर के अलावा $g_{ij}$. इस प्रकार अंतरिक्ष-समय के प्रत्येक बिंदु पर दो मीट्रिक हैं:

1. $ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$
2. $d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}$

पहला मीट्रिक टेंसर, $g_{ij}$, अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति और इस प्रकार गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन करता है। दूसरा मीट्रिक टेंसर, $\gamma _{ij}$, समतल अंतरिक्ष-समय को संदर्भित करता है और जड़त्वीय शक्तियों का वर्णन करता है। क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों का निर्माण हुआ $g_{ij}$ और $\gamma _{ij}$ द्वारा निरूपित किये जाते हैं $\{_{jk}^{i}\}$ और $\Gamma _{jk}^{i}$ क्रमश।

चूँकि दो लेवी-सिविटा कनेक्शन का अंतर एक टेंसर है, कोई टेंसर फ़ील्ड को परिभाषित कर सकता है $\Delta _{jk}^{i}$ द्वारा दिए गए:

$\Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}$

(1)

तब दो प्रकार के सहसंयोजक विभेदन उत्पन्न होते हैं: $g$-विभेदन के आधार पर $g_{ij}$ (अर्धविराम द्वारा दर्शाया गया, उदा. $X_{;a}$), और सहसंयोजक विभेदन पर आधारित है $\gamma _{ij}$ (स्लैश द्वारा दर्शाया गया है, उदा. $X_{/a}$). साधारण आंशिक व्युत्पन्नों को अल्पविराम द्वारा दर्शाया जाता है (उदा. $X_{,a}$). होने देना $R_{ijk}^{h}$ और $P_{ijk}^{h}$ रीमैन वक्रता टेंसर से गणना करें $g_{ij}$ और $\gamma _{ij}$, क्रमश। उपरोक्त दृष्टिकोण में वक्रता टेंसर $P_{ijk}^{h}$ शून्य है, चूँकि $\gamma _{ij}$ फ्लैट स्पेस-टाइम मीट्रिक है।

एक सीधी गणना से रीमैन वक्रता टेंसर प्राप्त होता है

${\begin{aligned}R_{ijk}^{h}&=P_{ijk}^{h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\\&=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\end{aligned}}$

दायीं ओर का प्रत्येक पद एक टेंसर है। यह देखा गया है कि जीआर से कोई भी व्यक्ति केवल {:} को प्रतिस्थापित करके नए फॉर्मूलेशन पर जा सकता है $\Delta$ और सहसंयोजक द्वारा सामान्य विभेदन $\gamma$-भेदभाव, ${\sqrt {-g}}$ द्वारा ${\sqrt {\tfrac {g}{\gamma }}}$, एकीकरण उपाय $d^{4}x$ द्वारा ${\sqrt {-\gamma }}\,d^{4}x$, कहाँ $g=\det(g_{ij})$, $\gamma =\det(\gamma _{ij})$ और $d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}$. एक बार परिचय कराके $\gamma _{ij}$ सिद्धांत में, किसी के पास बड़ी संख्या में नए टेंसर और स्केलर होते हैं। कोई आइंस्टीन के अलावा अन्य क्षेत्र समीकरण स्थापित कर सकता है। यह संभव है कि इनमें से कुछ प्रकृति के वर्णन के लिए अधिक संतोषजनक होंगे।

द्विमितीय सापेक्षता (बीआर) में जियोडेसिक समीकरण रूप लेता है

${\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0$

(2)

इसे समीकरणों से देखा जाता है (1) और (2) वह $\Gamma$ इसे जड़त्वीय क्षेत्र का वर्णन करने वाला माना जा सकता है क्योंकि यह एक उपयुक्त समन्वय परिवर्तन से गायब हो जाता है।

मात्रा होना $\Delta$ एक टेंसर, यह किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और इसलिए इसे स्थायी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन करने वाला माना जा सकता है।

रोसेन (1973) ने बीआर को सहप्रसरण और तुल्यता सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए पाया है। 1966 में, रोसेन ने दिखाया कि सामान्य सापेक्षता के ढांचे में अंतरिक्ष मीट्रिक की शुरूआत न केवल किसी को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ऊर्जा गति घनत्व टेंसर प्राप्त करने में सक्षम बनाती है, बल्कि एक परिवर्तनीय सिद्धांत से इस टेंसर को प्राप्त करने में भी सक्षम बनाती है। परिवर्तनशील सिद्धांत से प्राप्त बीआर के क्षेत्र समीकरण हैं

$K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}$

(3)

कहाँ

$N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }$

या

${\begin{aligned}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right]\right\}\end{aligned}}$

साथ

$N=g^{ij}N_{ij}$, $\kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}$

और $T_{j}^{i}$ ऊर्जा-संवेग टेंसर है।

परिवर्तनशील सिद्धांत भी संबंध की ओर ले जाता है

$T_{j;i}^{i}=0$.

अत: (3)

$K_{j;i}^{i}=0$,

जिसका तात्पर्य यह है कि बीआर में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक परीक्षण कण एक जियोडेसिक के संबंध में चलता है $g_{ij}.$ रोसेन ने 1978 में अतिरिक्त प्रकाशनों के साथ अपने द्विमितीय गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत में सुधार जारी रखा और 1980, जिसमें उन्होंने सामान्य सापेक्षता में उत्पन्न होने वाली विलक्षणताओं को संशोधित करके हटाने का प्रयास किया ताकि ब्रह्मांड में एक मौलिक आराम फ्रेम के अस्तित्व को ध्यान में रखा जा सके। 1985 में रोसेन ने सामान्य सापेक्षता से विलक्षणताओं और छद्म-दशकों को हटाने का फिर से प्रयास किया। 1989 में दो बार मार्च में प्रकाशन के साथ और नवंबर रोसेन ने सामान्य सापेक्षता के द्विमितीय क्षेत्र में प्राथमिक कणों की अपनी अवधारणा को और विकसित किया।

यह पाया गया है कि बीआर और जीआर सिद्धांत निम्नलिखित मामलों में भिन्न हैं:

• विद्युत चुम्बकीय तरंगों का प्रसार
• उच्च घनत्व वाले तारे का बाहरी क्षेत्र
• एक मजबूत स्थैतिक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के माध्यम से फैलने वाली तीव्र गुरुत्वाकर्षण तरंगों का व्यवहार।

रोसेन के सिद्धांत में गुरुत्वाकर्षण विकिरण की भविष्यवाणियों को 1992 से पीएसआर बी1913+16|हुल्स-टेलर बाइनरी पल्सर की टिप्पणियों के साथ विरोधाभासी दिखाया गया है।

भारी गंभीरता

Main article: Massive gravity

2010 के बाद से क्लाउडिया डी रहम, ग्रेगरी गबादाद्ज़े और एंड्रयू टॉली (डीआरजीटी) द्वारा विशाल गुरुत्वाकर्षण के एक स्वस्थ सिद्धांत के विकास के बाद बड़े गुरुत्वाकर्षण में रुचि फिर से बढ़ गई है। विशाल गुरुत्वाकर्षण इस अर्थ में एक द्विमितीय सिद्धांत है कि मीट्रिक के लिए गैर-तुच्छ अंतःक्रिया शर्तें $g_{\mu \nu }$ इसे केवल दूसरी मीट्रिक की सहायता से ही लिखा जा सकता है, क्योंकि एकमात्र गैर-व्युत्पन्न शब्द जिसे एक मीट्रिक का उपयोग करके लिखा जा सकता है, वह ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक है। डीआरजीटी सिद्धांत में, एक गैर-गतिशील संदर्भ मीट्रिक $f_{\mu \nu }$ पेश किया गया है, और इंटरैक्शन शब्द मैट्रिक्स के वर्गमूल से बनाए गए हैं $g^{-1}f$.

डीआरजीटी बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण में, संदर्भ मीट्रिक को हाथ से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। कोई भी संदर्भ मीट्रिक को आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया दे सकता है|आइंस्टीन-हिल्बर्ट शब्द, जिस स्थिति में $f_{\mu \nu }$ चुना नहीं जाता बल्कि प्रतिक्रिया स्वरूप गतिशील रूप से विकसित होता है $g_{\mu \nu }$ और संभवतः मामला. इस विशाल गुरुत्वाकर्षण को फवाद हसन और राचेल रोसेन द्वारा डीआरजीटी विशाल गुरुत्वाकर्षण के विस्तार के रूप में पेश किया गया था। डीआरजीटी सिद्धांत दो गतिशील मेट्रिक्स के साथ एक सिद्धांत विकसित करने के लिए महत्वपूर्ण है क्योंकि सामान्य द्विमितीय सिद्धांत बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण # द बौलवेयर-डेसर भूत | बौलवेयर-डेसर भूत, एक विशाल गुरुत्वाकर्षण के लिए संभावित छठे ध्रुवीकरण से ग्रस्त हैं। डीआरजीटी क्षमता का निर्माण विशेष रूप से इस भूत को गैर-गतिशील बनाने के लिए किया गया है, और जब तक दूसरे मीट्रिक के लिए गतिज शब्द आइंस्टीन-हिल्बर्ट रूप का है, तब तक परिणामी सिद्धांत भूत-मुक्त रहता है।

भूत-मुक्त विशाल गुरुत्व के लिए क्रिया (भौतिकी) द्वारा दी गई है

$S=-{\frac {M_{g}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}R(g)-{\frac {M_{f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).$

जैसा कि मानक सामान्य सापेक्षता में होता है, मीट्रिक $g_{\mu \nu }$ आइंस्टीन-हिल्बर्ट गतिज शब्द रिक्की अदिश के समानुपाती होता है $R(g)$ और लैग्रेंजियन मामले में न्यूनतम युग्मन ${\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }$, साथ $\Phi _{i}$ मानक मॉडल जैसे सभी मामले क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करना। इसके लिए एक आइंस्टीन-हिल्बर्ट शब्द भी दिया गया है $f_{\mu \nu }$. प्रत्येक मीट्रिक का अपना प्लैंक द्रव्यमान होता है, जिसे दर्शाया जाता है $M_{g}$ और $M_{f}$ क्रमश। इंटरेक्शन क्षमता डीआरजीटी विशाल गुरुत्वाकर्षण के समान ही है। $\beta _{i}$ h> आयामहीन युग्मन स्थिरांक हैं और $m$ (या विशेष रूप से $\beta _{i}^{1/2}m$) विशाल गुरुत्वाकर्षण के द्रव्यमान से संबंधित है। यह सिद्धांत द्रव्यमान रहित ग्रेविटॉन और विशाल ग्रेविटॉन के अनुरूप स्वतंत्रता की सात डिग्री का प्रचार करता है (हालांकि विशाल और द्रव्यमान रहित राज्य किसी भी मेट्रिक्स के साथ संरेखित नहीं होते हैं)।

अंतःक्रिया क्षमता प्राथमिक सममित बहुपदों से निर्मित होती है $e_{n}$ आव्यूहों के eigenvalues ​​का $\mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}$ या $\mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}$, आयामहीन युग्मन स्थिरांक द्वारा पैरामीट्रिज्ड $\alpha _{i}$ या $\beta _{i}$, क्रमश। यहाँ ${\sqrt {g^{-1}f}}$ मैट्रिक्स का वर्गमूल मैट्रिक्स है $g^{-1}f$. सूचकांक संकेतन में लिखा, $\mathbb {X}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

$X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.$

$e_{n}$ h> के संदर्भ में सीधे लिखा जा सकता है $\mathbb {X}$ जैसा

${\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}$

जहां कोष्ठक एक निशान (रैखिक बीजगणित) दर्शाते हैं, $[\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }$. यह इनमें से प्रत्येक में शब्दों का विशेष एंटीसिमेट्रिक संयोजन है $e_{n}$ जो बौलवेयर-डेसर भूत को गैर-गतिशील बनाने के लिए जिम्मेदार है।

यह भी देखें

• सामान्य सापेक्षता के विकल्प
• डीजीपी मॉडल
• अदिश-टेंसर सिद्धांत