नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर

संकेत आगे बढ़ाना में, नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर नेटवर्क संश्लेषण विधि द्वारा डिज़ाइन किए गए फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) होते हैं। इस विधि ने बटरवर्थ फ़िल्टर, चेबीशेव फ़िल्टर और अण्डाकार फिल्टर सहित फ़िल्टर के कई महत्वपूर्ण वर्ग तैयार किए हैं। इसे मूल रूप से निष्क्रिय रैखिक एनालॉग फ़िल्टर के डिजाइन पर लागू करने का इरादा था, लेकिन इसके परिणाम सक्रिय फ़िल्टर और डिजिटल फ़िल्टर में कार्यान्वयन पर भी लागू किए जा सकते हैं। विधि का सार वांछित स्थानांतरण फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी दिए गए तर्कसंगत फ़ंक्शन से फ़िल्टर के घटक मान प्राप्त करना है।

विधि का विवरण

इस पद्धति को नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रॉनिक्स) की उलटी समस्या के रूप में देखा जा सकता है। नेटवर्क विश्लेषण एक नेटवर्क से शुरू होता है और विभिन्न विद्युत सर्किट प्रमेयों को लागू करके नेटवर्क की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है। दूसरी ओर, नेटवर्क संश्लेषण एक वांछित प्रतिक्रिया के साथ शुरू होता है और इसके तरीके एक नेटवर्क उत्पन्न करते हैं जो उस प्रतिक्रिया को आउटपुट करता है, या उसके करीब लाता है।^[1]

नेटवर्क संश्लेषण का उद्देश्य मूल रूप से उस प्रकार के फिल्टर का उत्पादन करना था जिसे पहले तरंग फिल्टर के रूप में वर्णित किया गया था लेकिन अब इसे आमतौर पर केवल फिल्टर कहा जाता है। अर्थात्, ऐसे फ़िल्टर जिनका उद्देश्य अन्य आवृत्तियों की तरंगों को अस्वीकार करते हुए एक निश्चित आवृत्ति की तरंगों को पारित करना है। नेटवर्क संश्लेषण, आवृत्ति डोमेन के एक फ़ंक्शन के रूप में, फ़िल्टर, एच(एस) के स्थानांतरण फ़ंक्शन के लिए एक विनिर्देश के साथ शुरू होता है। इसका उपयोग फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा (ड्राइविंग पॉइंट प्रतिबाधा) के लिए एक अभिव्यक्ति उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, जिसके बाद निरंतर अंश या आंशिक अंश विस्तार की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप फ़िल्टर घटकों के आवश्यक मान प्राप्त होते हैं। फ़िल्टर के डिजिटल कार्यान्वयन में, H(s) को सीधे लागू किया जा सकता है।^[2] इस पद्धति के फायदों को इसके पहले इस्तेमाल की गई फ़िल्टर डिज़ाइन पद्धति, छवि प्रतिबाधा से तुलना करके सबसे अच्छी तरह से समझा जा सकता है। छवि विधि एक व्यक्तिगत टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) की विशेषताओं पर विचार करती है # समान वर्गों की एक अनंत श्रृंखला (सीढ़ी टोपोलॉजी) में सरल फ़िल्टर टोपोलॉजी। इस विधि द्वारा समग्र छवि फ़िल्टर सैद्धांतिक समाप्ति प्रतिबाधा, छवि प्रतिबाधा, आम तौर पर वास्तविक समाप्ति प्रतिबाधा के बराबर नहीं होने के कारण अशुद्धियों से ग्रस्त हैं। नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के साथ, समाप्ति को प्रारंभ से ही डिज़ाइन में शामिल किया जाता है। छवि विधि के लिए डिज़ाइनर की ओर से एक निश्चित मात्रा में अनुभव की भी आवश्यकता होती है। डिज़ाइनर को पहले यह तय करना होगा कि कितने अनुभागों और किस प्रकार का उपयोग किया जाना चाहिए, और फिर गणना के बाद, फ़िल्टर का स्थानांतरण फ़ंक्शन प्राप्त करेगा। यह वह नहीं हो सकता है जो आवश्यक है और इसमें कई पुनरावृत्तियाँ हो सकती हैं। दूसरी ओर, नेटवर्क संश्लेषण विधि आवश्यक फ़ंक्शन के साथ शुरू होती है और संबंधित फ़िल्टर बनाने के लिए आवश्यक अनुभागों को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करती है।^[2]

सामान्य तौर पर, नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के अनुभाग समान टोपोलॉजी (आमतौर पर सबसे सरल सीढ़ी प्रकार) के होते हैं, लेकिन प्रत्येक अनुभाग में विभिन्न घटक मानों का उपयोग किया जाता है। इसके विपरीत, एक छवि फ़िल्टर की संरचना में अनंत श्रृंखला दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप, प्रत्येक अनुभाग में समान मान होते हैं, लेकिन विभिन्न वांछनीय विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए टोपोलॉजी अनुभाग से अनुभाग में भिन्न हो सकती है। अंतिम वांछित फ़िल्टर पर पहुंचने के लिए दोनों विधियाँ निम्न-पास प्रोटोटाइप फ़िल्टर का उपयोग करती हैं, जिसके बाद आवृत्ति परिवर्तन और प्रतिबाधा स्केलिंग होती है।^[2]

महत्वपूर्ण फ़िल्टर वर्ग

फ़िल्टर का वर्ग बहुपदों के उस वर्ग को संदर्भित करता है जिससे फ़िल्टर गणितीय रूप से प्राप्त होता है। फ़िल्टर का क्रम फ़िल्टर के सीढ़ी कार्यान्वयन में मौजूद फ़िल्टर तत्वों की संख्या है। सामान्यतया, फिल्टर का क्रम जितना अधिक होगा, पासबैंड और स्टॉपबैंड के बीच कट-ऑफ संक्रमण उतना ही तेज होगा। फ़िल्टर का नाम अक्सर फ़िल्टर के खोजकर्ता या आविष्कारक के बजाय गणितज्ञ या गणितज्ञ के नाम पर रखा जाता है जिस पर वे आधारित होते हैं।

बटरवर्थ फिल्टर

बटरवर्थ फिल्टर को अधिकतम सपाट के रूप में वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि आवृत्ति डोमेन में प्रतिक्रिया समतुल्य क्रम के फिल्टर के किसी भी वर्ग का सबसे आसान संभव वक्र है।^[3] बटरवर्थ वर्ग के फिल्टर का वर्णन पहली बार 1930 के पेपर में ब्रिटिश इंजीनियर स्टीफन बटरवर्थ द्वारा किया गया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। फ़िल्टर प्रतिक्रिया का वर्णन बटरवर्थ फ़िल्टर#सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपद द्वारा किया गया है, वह भी बटरवर्थ के कारण।^[4]

चेबीशेव फ़िल्टर

चेबीशेव फ़िल्टर में बटरवर्थ की तुलना में तेज़ कट-ऑफ संक्रमण होता है, लेकिन पासबैंड की आवृत्ति प्रतिक्रिया में तरंग (फ़िल्टर) होने की कीमत पर। पासबैंड में अधिकतम अनुमत क्षीणन और कट-ऑफ प्रतिक्रिया की तीव्रता के बीच एक समझौता होना चाहिए। इसे कभी-कभी टाइप I चेबीशेव भी कहा जाता है, टाइप 2 एक फिल्टर होता है जिसमें पासबैंड में कोई तरंग नहीं होती है लेकिन स्टॉपबैंड में तरंग होती है। फ़िल्टर का नाम पफनुटी चेबीशेव के नाम पर रखा गया है जिनके चेबीशेव बहुपद का उपयोग स्थानांतरण फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति में किया जाता है।^[3]

काउर फ़िल्टर

काउर फिल्टर में पासबैंड और स्टॉपबैंड में समान अधिकतम तरंग होती है। नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के किसी भी अन्य वर्ग की तुलना में काउर फ़िल्टर में पासबैंड से स्टॉपबैंड तक तेज़ संक्रमण होता है। कॉयर फ़िल्टर शब्द का उपयोग अण्डाकार फ़िल्टर के साथ परस्पर विनिमय के लिए किया जा सकता है, लेकिन अण्डाकार फ़िल्टर के सामान्य मामले में पासबैंड और स्टॉपबैंड में असमान तरंगें हो सकती हैं। पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक अण्डाकार फिल्टर चेबीशेव टाइप 2 फिल्टर के समान है। स्टॉपबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक अण्डाकार फिल्टर चेबीशेव टाइप 1 फिल्टर के समान है। दोनों पासबैंड में शून्य तरंग की सीमा में एक अण्डाकार फिल्टर बटरवर्थ फिल्टर के समान है। फ़िल्टर का नाम विल्हेम काउर के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण फ़ंक्शन अण्डाकार तर्कसंगत कार्यों पर आधारित है।^[5] काउर-प्रकार के फिल्टर सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग करते हैं।^[6]^[7]^[8]

बेसेल फ़िल्टर

बेसेल फ़िल्टर के पासबैंड पर अधिकतम फ्लैट समय-विलंब (समूह विलंब) होता है। यह फ़िल्टर को एक रैखिक चरण प्रतिक्रिया देता है और इसके परिणामस्वरूप यह न्यूनतम विरूपण के साथ तरंगों को पार करता है। बेसेल फिल्टर में आवृत्ति के साथ चरण प्रतिक्रिया के कारण समय डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है, जबकि बटरवर्थ फिल्टर में आवृत्ति के साथ क्षीणन प्रतिक्रिया के कारण आवृत्ति डोमेन में न्यूनतम विरूपण होता है। बेसेल फ़िल्टर का नाम फ्रेडरिक बेसेल के नाम पर रखा गया है और स्थानांतरण फ़ंक्शन बेसेल बहुपद पर आधारित है।^[9]

ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा

लो-पास फ़िल्टर को सीढ़ी (काउर) टोपोलॉजी के रूप में कार्यान्वित किया गया

ड्राइविंग बिंदु विद्युत प्रतिबाधा, लाप्लास परिवर्तन (एस-डोमेन) या फूरियर रूपांतरण (जेड ट्रांसफॉर्म | जेω-डोमेन) जैसे कई नोटेशन में से एक का उपयोग करके आवृत्ति डोमेन में फ़िल्टर के इनपुट प्रतिबाधा का गणितीय प्रतिनिधित्व है। इसे एक-पोर्ट नेटवर्क के रूप में मानते हुए, निरंतर अंश या आंशिक अंश विस्तार का उपयोग करके अभिव्यक्ति का विस्तार किया जाता है। परिणामी विस्तार विद्युत तत्वों के एक नेटवर्क (आमतौर पर एक सीढ़ी नेटवर्क) में बदल जाता है। इस नेटवर्क के अंत से आउटपुट लेने पर, इसे वांछित ट्रांसफर फ़ंक्शन के साथ दो-पोर्ट नेटवर्क फ़िल्टर में बदल दिया जाएगा।^[1]

वास्तविक विद्युत घटकों का उपयोग करके ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के लिए हर संभव गणितीय कार्य को महसूस नहीं किया जा सकता है। विल्हेम काउर (आर. एम. फोस्टर से आगे)।^[10]) ने शुरुआती कार्य इस बात पर किया कि कौन से गणितीय कार्य साकार किए जा सकते हैं और किस इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर टोपोलॉजी में। फ़िल्टर डिज़ाइन की सर्वव्यापी सीढ़ी टोपोलॉजी का नाम काउर के नाम पर रखा गया है।^[11] ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा के कई विहित रूप हैं जिनका उपयोग सभी (सरलतम को छोड़कर) प्राप्य बाधाओं को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। सबसे प्रसिद्ध हैं;^[12]

काउर के ड्राइविंग पॉइंट प्रतिबाधा के पहले रूप में शंट कैपेसिटर और श्रृंखला इंडक्टर्स की एक सीढ़ी शामिल है और यह लो पास फिल्टर के लिए सबसे उपयोगी है।
काउर के ड्राइविंग पॉइंट प्रतिबाधा के दूसरे रूप में श्रृंखला कैपेसिटर और शंट इंडक्टर्स की एक सीढ़ी होती है और यह उच्च पास फिल्टर के लिए सबसे उपयोगी है।
फोस्टर का फोस्टर का प्रतिक्रिया प्रमेय # ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में समानांतर जुड़े एलसी रेज़ोनेटर (श्रृंखला एलसी सर्किट) होते हैं और यह बंदपास छननी के लिए सबसे उपयोगी है।
फोस्टर का फोस्टर का प्रतिक्रिया प्रमेय # ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा की प्राप्ति में श्रृंखला से जुड़े एलसी एंटी-रेजोनेटर (समानांतर एलसी सर्किट) शामिल हैं और यह बैंड-स्टॉप फ़िल्टर के लिए सबसे उपयोगी है।

स्थानांतरण फ़ंक्शन के रूप में दिए गए तर्कसंगत फ़ंक्शन के संदर्भ में वास्तविक फ़िल्टर पर आगे का सैद्धांतिक कार्य 1931 में ओटो ब्राउन द्वारा किया गया था।^[13] और 1949 में राउल बॉट के साथ रिचर्ड डफिन।^[14] इस कार्य का सारांश 2010 में जॉन एच. हबर्ड द्वारा दिया गया था।^[15] जब एक ट्रांसफर फ़ंक्शन को एक सकारात्मक-वास्तविक फ़ंक्शन के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है (सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट अपरिवर्तनीय है (गणित)#ट्रांसफर फ़ंक्शन के तहत अपरिवर्तनीय सेट), तो निष्क्रिय घटकों (प्रतिरोधकों, प्रेरकों और कैपेसिटर) का एक नेटवर्क डिज़ाइन किया जा सकता है उस स्थानांतरण फ़ंक्शन के साथ।

प्रोटोटाइप फ़िल्टर

फ़िल्टर डिज़ाइन की प्रक्रिया को कम श्रम-गहन बनाने के लिए प्रोटोटाइप फ़िल्टर का उपयोग किया जाता है। प्रोटोटाइप को आम तौर पर एकता नाममात्र प्रतिबाधा और एकता कट-ऑफ आवृत्ति के कम-पास फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया गया है, हालांकि अन्य योजनाएं संभव हैं। प्रासंगिक गणितीय कार्यों और बहुपदों से पूर्ण डिज़ाइन गणना केवल एक बार की जाती है। आवश्यक वास्तविक फ़िल्टर प्रोटोटाइप को स्केल करने और बदलने की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है।^[16] प्रोटोटाइप तत्वों के मान तालिकाओं में प्रकाशित किए जाते हैं, जिनमें से पहला सिडनी डार्लिंगटन के कारण है।^[17] आधुनिक कंप्यूटिंग शक्ति और डिजिटल डोमेन में फ़िल्टर ट्रांसफर फ़ंक्शंस को सीधे लागू करने की प्रथा दोनों ने इस प्रथा को काफी हद तक अप्रचलित बना दिया है।

प्रत्येक वर्ग में फ़िल्टर के प्रत्येक क्रम के लिए एक अलग प्रोटोटाइप की आवश्यकता होती है। उन वर्गों के लिए जिनमें क्षीणन तरंग है, तरंग के प्रत्येक मान के लिए एक अलग प्रोटोटाइप की आवश्यकता होती है। एक ही प्रोटोटाइप का उपयोग उन फिल्टर का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है जिनका बैंडफॉर्म प्रोटोटाइप से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए कम उत्तीर्ण , उच्च मार्ग , बैंड-पास और बैंड-स्टॉप फिल्टर सभी एक ही प्रोटोटाइप से उत्पादित किए जा सकते हैं।^[18]

यह भी देखें

रैखिक फ़िल्टर

↑ ^1.0 ^1.1 E. Cauer, p4
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Matthaei, pp83-84
↑ ^3.0 ^3.1 Matthaei et al., pp85-108
↑ Butterworth, S, "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer, vol. 7, 1930, pp. 536-541.
↑ Mathaei, p95
↑ Fry, T. C. (1929). "विद्युत नेटवर्क के डिजाइन में निरंतर अंशों का उपयोग". Bull. Amer. Math. Soc. 35 (4): 463–498. doi:10.1090/s0002-9904-1929-04747-5. MR 1561770.
↑ Milton. G. W. (1987). "नेटवर्क के बहुघटक सम्मिश्रण और नए प्रकार के निरंतर अंश। मैं". Commun. Math. Phys. 111 (2): 281–327. Bibcode:1987CMaPh.111..281M. doi:10.1007/bf01217763. MR 0899853. S2CID 120984103.
↑ Milton. G. W. (1987). "नेटवर्क के बहुघटक सम्मिश्रण और नए प्रकार के निरंतर अंश। द्वितीय". Commun. Math. Phys. 111 (3): 329–372. Bibcode:1987CMaPh.111..329M. doi:10.1007/bf01238903. MR 0900499. S2CID 189830750.
↑ Matthaei, pp108-113
↑ Foster, R M, "A Reactance Theorem", Bell System Technical Journal, vol 3, pp259-267, 1924.
↑ E. Cauer, p1
↑ Darlington, S, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Trans. Circuits and Systems, vol 31, p6, 1984.
↑ Otto Brune (1931) "Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency", MIT Journal of Mathematics and Physics, Vol 10, pp 191–236
↑ Richard Duffin & Raoul Bott, "Impedance synthesis without the use of transformers", Journal of Applied Physics 20:816
↑ John H. Hubbard (2010) "The Bott-Duffin Synthesis of Electrical Circuits", pp 33 to 40 in A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott, P. Robert Kotiuga editor, CRM Proceedings and Lecture Notes #50, American Mathematical Society
↑ Matthaei, p83
↑ Darlington, S, "Synthesis of Reactance 4-Poles Which Produce Prescribed Insertion Loss Characteristics", Jour. Math. and Phys., Vol 18, pp257-353, September 1939.
↑ See Matthaei for examples.

संदर्भ

Matthaei, Young, Jones, Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill 1964.
E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900–1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000), Perpignan, June, 2000. Retrieved online 19 September 2008.

[Cauer4-1] 1.0 ^1.1 E. Cauer, p4

[Matt83-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Matthaei, pp83-84

[Matt85-3] 3.0 ^3.1 Matthaei et al., pp85-108

[4] Butterworth, S, "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer, vol. 7, 1930, pp. 536-541.

[5] Mathaei, p95

[6] Fry, T. C. (1929). "विद्युत नेटवर्क के डिजाइन में निरंतर अंशों का उपयोग". Bull. Amer. Math. Soc. 35 (4): 463–498. doi:10.1090/s0002-9904-1929-04747-5. MR 1561770.

[7] Milton. G. W. (1987). "नेटवर्क के बहुघटक सम्मिश्रण और नए प्रकार के निरंतर अंश। मैं". Commun. Math. Phys. 111 (2): 281–327. Bibcode:1987CMaPh.111..281M. doi:10.1007/bf01217763. MR 0899853. S2CID 120984103.

[8] Milton. G. W. (1987). "नेटवर्क के बहुघटक सम्मिश्रण और नए प्रकार के निरंतर अंश। द्वितीय". Commun. Math. Phys. 111 (3): 329–372. Bibcode:1987CMaPh.111..329M. doi:10.1007/bf01238903. MR 0900499. S2CID 189830750.

[9] Matthaei, pp108-113

[10] Foster, R M, "A Reactance Theorem", Bell System Technical Journal, vol 3, pp259-267, 1924.

[11] E. Cauer, p1

[12] Darlington, S, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Trans. Circuits and Systems, vol 31, p6, 1984.

[13] Otto Brune (1931) "Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency", MIT Journal of Mathematics and Physics, Vol 10, pp 191–236

[14] Richard Duffin & Raoul Bott, "Impedance synthesis without the use of transformers", Journal of Applied Physics 20:816

[15] John H. Hubbard (2010) "The Bott-Duffin Synthesis of Electrical Circuits", pp 33 to 40 in A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott, P. Robert Kotiuga editor, CRM Proceedings and Lecture Notes #50, American Mathematical Society

[16] Matthaei, p83

[17] Darlington, S, "Synthesis of Reactance 4-Poles Which Produce Prescribed Insertion Loss Characteristics", Jour. Math. and Phys., Vol 18, pp257-353, September 1939.

[18] See Matthaei for examples.

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