न्यूमैन श्रृंखला

न्यूमैन श्रृंखला एक प्रकार की श्रृंखला (गणित) है

$\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}$

कहाँ $T$ एक ऑपरेटर (गणित) है और $T^{k}:={}T^{k-1}\circ {T}$ इसका $k$ बार-बार आवेदन। यह ज्यामितीय श्रृंखला को सामान्यीकृत करता है।

इस श्रृंखला का नाम गणितज्ञ कार्ल न्यूमैन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1877 में संभावित सिद्धांत के संदर्भ में इसका उपयोग किया था। न्यूमैन श्रृंखला का उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण में किया जाता है। यह लिउविले-न्यूमैन श्रृंखला का आधार बनता है, जिसका उपयोग फ्रेडहोम अभिन्न समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। बंधे हुए ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) का अध्ययन करते समय यह भी महत्वपूर्ण है।

गुण

लगता है कि $T$ मानकीकृत सदिश समष्टि पर एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है $X$. यदि न्यूमैन श्रृंखला अभिसरण श्रृंखला ऑपरेटर मानदंड में है, तो ${\text{Id}}-T$ व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है और इसका व्युत्क्रम श्रृंखला है:

$(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}$,

कहाँ $\mathrm {Id}$ में पहचान ऑपरेटर है $X$. इसका कारण जानने के लिए, आंशिक योगों पर विचार करें

$S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}T^{k}$.

तो हमारे पास हैं

$\lim _{n\rightarrow \infty }(\mathrm {Id} -T)S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=0}^{n}T^{k+1}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\mathrm {Id} -T^{n+1}\right)=\mathrm {Id} .$

ऑपरेटरों पर यह परिणाम ज्यामितीय श्रृंखला के अनुरूप है $\mathbb {R}$, जिसमें हम पाते हैं कि:

$(1-x)\cdot (1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}+x^{n})=1-x^{n+1},$

$1+x+x^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}.$

एक मामला जिसमें अभिसरण की गारंटी है वह है कब $X$ एक बनच स्थान है और $|T|<1$ ऑपरेटर मानदंड में या $\sum |T^{n}|$ अभिसारी है. हालाँकि, ऐसे परिणाम भी हैं जो कमजोर स्थितियाँ देते हैं जिनके तहत श्रृंखला अभिसरण होती है।

उदाहरण

होने देना $C\in \mathbb {R} ^{3\times 3}$ द्वारा दिया जाए:

${\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}}.$

हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि कुछ मैट्रिक्स मानदंडों में C इकाई से छोटा है। इसलिए, हम गणना करते हैं:

${\begin{aligned}||C||_{\infty }&=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1.\end{aligned}}$

इस प्रकार, हम उपरोक्त कथन से जानते हैं $(I-C)^{-1}$ मौजूद।

अनुमानित मैट्रिक्स व्युत्क्रम

Invertible_matrix#By_Neumann_series के लिए एक काटी गई न्यूमैन श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है। एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का अनुमान लगाने के लिए $\mathbf {A}$, हम रैखिक ऑपरेटर को इस प्रकार निर्दिष्ट कर सकते हैं:

$T(\mathbf {x} )=(\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {x}$ कहाँ $\mathbf {I}$ पहचान मैट्रिक्स है. यदि सामान्य स्थिति चालू है $T$ संतुष्ट है, फिर श्रृंखला को छोटा कर रहा है $n$, हम पाते हैं:

$\mathbf {A} ^{-1}\approx \sum _{i=0}^{n}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{i}$

व्युत्क्रमणीय ऑपरेटरों का सेट खुला है

एक परिणाम यह है कि दो बानाच स्थानों के बीच व्युत्क्रमणीय ऑपरेटरों का सेट $B$ और $B'$ ऑपरेटर मानदंड से प्रेरित टोपोलॉजी में खुला है। वास्तव में, चलो $S:B\to B'$ एक उलटा ऑपरेटर बनें और चलो $T:B\to B'$ एक और ऑपरेटर बनें. अगर $|S-T|<|S^{-1}|^{-1}$, तब $T$ उलटा भी है. तब से $|\mathrm {Id} -S^{-1}T|<1$, न्यूमैन श्रृंखला $\sum (\mathrm {Id} -S^{-1}T)^{k}$ अभिसारी है. इसलिए, हमारे पास है

$T^{-1}S=(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(\mathrm {Id} -S^{-1}T)^{k}$ मानदंड लेते हुए, हमें मिलता है

$|T^{-1}S|\leq {\frac {1}{1-|\mathrm {Id} -(S^{-1}T)|}}$ का आदर्श $T^{-1}$ द्वारा सीमाबद्ध किया जा सकता है

$|T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{where}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|.$

अनुप्रयोग

न्यूमैन श्रृंखला का उपयोग बड़े पैमाने पर मल्टीयूजर मल्टीपल-इनपुट मल्टीपल-आउटपुट (एमआईएमओ) वायरलेस सिस्टम में रैखिक डेटा का पता लगाने के लिए किया गया है। काटे गए न्यूमैन श्रृंखला का उपयोग करने से एक स्पष्ट मैट्रिक्स व्युत्क्रम की गणना से बचा जाता है, जो घन से वर्ग तक रैखिक डेटा का पता लगाने की जटिलता को कम करता है। एक अन्य अनुप्रयोग प्रसार ग्राफ का सिद्धांत है जो स्थानांतरण फ़ंक्शन के लिए बंद फॉर्म अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए न्यूमैन श्रृंखला का लाभ उठाता है।

संदर्भ

• Werner, Dirk (2005). Funktionalanalysis (in Deutsch). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.