परिमित सामयिक स्थान

गणित में, एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसके लिए अंतर्निहित सेट (गणित) परिमित सेट है। यही है, यह एक स्थलीय स्थान है जिसमें केवल बहुत से तत्व हैं।

परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान अक्सर दिलचस्प घटनाओं के उदाहरण प्रदान करने के लिए उपयोग किए जाते हैं या प्रशंसनीय लगने वाले अनुमानों के प्रति उदाहरण प्रदान करते हैं। विलियम थर्स्टन ने इस अर्थ में परिमित टोपोलॉजी के अध्ययन को एक ऑडबॉल विषय कहा है जो कर सकता है विभिन्न प्रकार के प्रश्नों के लिए अच्छी अंतर्दृष्टि प्रदान करें।^[1]

== एक परिमित सेट == पर टोपोलॉजी होने देना $X$ एक परिमित सेट हो। एक टोपोलॉजी (संरचना) पर $X$ एक उपसमुच्चय है $\tau$ का $P(X)$ (सत्ता स्थापित $X$ ) ऐसा है कि

$\varnothing \in \tau$ और $X\in \tau$ .
यदि $U,V\in \tau$ तब $U\cup V\in \tau$ .
यदि $U,V\in \tau$ तब $U\cap V\in \tau$ .

दूसरे शब्दों में, एक उपसमुच्चय $\tau$ का $P(X)$ एक टोपोलॉजी है अगर $\tau$ दोनों शामिल हैं $\varnothing$ और $X$ और परिमित चौराहा (सेट सिद्धांत) और मनमाना संघ (सेट सिद्धांत) के तहत बंद है। घटक $\tau$ खुले समुच्चय कहलाते हैं। चूँकि एक परिमित समुच्चय का घात समुच्चय परिमित होता है, इसलिए केवल परिमित रूप से कई खुले समुच्चय हो सकते हैं (और केवल परिमित रूप से कई बंद समुच्चय)।

एक परिमित समुच्चय पर एक टोपोलॉजी को एक उप-वर्ग के रूप में भी माना जा सकता है $(P(X),\subset )$ जिसमें नीचे का तत्व दोनों शामिल हैं $\varnothing$ और शीर्ष तत्व $X$ .

उदाहरण

0 या 1 अंक

खाली सेट ∅ पर एक अद्वितीय टोपोलॉजी है। एकमात्र खुला सेट खाली है। वास्तव में, यह ∅ का एकमात्र उपसमुच्चय है।

इसी तरह, सिंगलटन सेट {ए} पर एक अद्वितीय टोपोलॉजी है। यहाँ खुले समुच्चय ∅ और {a} हैं। यह टोपोलॉजी असतत स्थान और तुच्छ टोपोलॉजी दोनों है, हालांकि कुछ मायनों में इसे असतत स्थान के रूप में सोचना बेहतर है क्योंकि यह परिमित असतत स्थानों के परिवार के साथ अधिक गुण साझा करता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी X के लिए ∅ से X तक एक अद्वितीय निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) है, अर्थात् खाली फ़ंक्शन। X से सिंगलटन स्पेस {a} तक एक अनूठा निरंतर कार्य भी है, अर्थात् स्थिर कार्य a। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में खाली स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु के रूप में कार्य करता है जबकि सिंगलटन स्थान टर्मिनल वस्तु के रूप में कार्य करता है।

2 अंक

मान लीजिए X = {a,b} 2 अवयवों वाला समुच्चय है। X पर चार अलग-अलग टोपोलॉजी हैं:

{∅, {a,b}} (तुच्छ टोपोलॉजी)
{∅, {ए}, {ए,बी}}
{∅, {बी}, {ए,बी}}
{∅, {a}, {b}, {a,b}} (असतत टोपोलॉजी)

उपरोक्त दूसरी और तीसरी टोपोलॉजी आसानी से होमियोमॉर्फिक देखी जा सकती है। एक्स से स्वयं का कार्य जो ए और बी को स्वैप करता है वह होमियोमोर्फिज्म है। इनमें से किसी एक के लिए एक टोपोलॉजिकल स्पेस होमोमॉर्फिक को सिएरपिन्स्की स्पेस कहा जाता है। तो, वास्तव में, दो-बिंदु सेट पर केवल तीन असमान टोपोलॉजी हैं: तुच्छ एक, असतत एक, और सिएरपिन्स्की टोपोलॉजी।

सीरपिन्स्की स्पेस {ए, बी} पर {बी} ओपन के साथ स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर दिया गया है: ए ≤ ए, बी ≤ बी, और ए ≤ बी।

3 अंक

एक्स = {ए, बी, सी} को 3 तत्वों के साथ एक सेट होने दें। X पर 29 अलग-अलग टोपोलॉजी हैं लेकिन केवल 9 असमान टोपोलॉजी हैं:

{∅, {ए,बी,सी}}
{∅, {सी}, {ए,बी,सी}}
{∅, {ए,बी}, {ए,बी,सी}}
{∅, {सी}, {ए,बी}, {ए,बी,सी}}
{∅, {c}, {b,c}, {a,b,c}} (T0 स्पेस|T)₀)
{∅, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} (T0 स्पेस|T)₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए,बी}, {ए,बी,सी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,b,c}} (T0 स्पेस|T)₀)
{∅, {ए}, {बी}, {सी}, {ए,बी}, {ए,सी}, {बी,सी}, {ए,बी,सी}} ( टी0 स्पेस|टी₀)

इनमें से अंतिम 5 सभी T0 स्पेस हैं|T₀. पहला तुच्छ है, जबकि 2, 3 और 4 में अंक ए और बी स्थैतिक रूप से अप्रभेद्य हैं।

4 अंक

एक्स = {ए, बी, सी, डी} को 4 तत्वों के साथ एक सेट होने दें। X पर 355 अलग-अलग टोपोलॉजी हैं लेकिन केवल 33 असमान टोपोलॉजी हैं:

{∅, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी}, {सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी}, {सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए, बी}, {सी}, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, बी, डी}, {सी, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
{∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (T0 स्पेस |टी₀)
{∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}} ( टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}< /nowiki> (टी0 स्पेस|टी<sub>0</sub>) #{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी<nowiki>}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी , c, d}} (T0 स्पेस|T₀)
{∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, सी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, सी , d}, {a, b, c, d}} (T0 स्पेस|T₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए , b, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d}} (T0 स्पेस|T)₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }} (T0 स्पेस|टी₀)
{∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, डी }, {बी, डी}, {ए, बी, डी}, {सी, डी}, {ए, सी, डी}, {बी, सी, डी}, {ए, बी, सी, डी} } (टी0 स्पेस|टी₀)

इनमें से अंतिम 16 सभी T0 स्थान हैं|T₀.

गुण

[[विशेषज्ञता पूर्व आदेश]]

एक परिमित सेट एक्स पर टोपोलॉजी एक्स पर प्रीऑर्डर के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। याद रखें कि एक्स पर एक प्रीऑर्डर एक्स पर द्विआधारी संबंध है जो प्रतिवर्त संबंध और सकर्मक संबंध है।

एक (आवश्यक रूप से परिमित नहीं) टोपोलॉजिकल स्पेस X को देखते हुए हम X पर एक प्रीऑर्डर को परिभाषित कर सकते हैं

x ≤ y यदि और केवल यदि x ∈ cl{y}

जहां सीएल {वाई} सिंगलटन सेट {वाई} के बंद होने (टोपोलॉजी) को दर्शाता है। इस प्रीऑर्डर को एक्स पर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर कहा जाता है। एक्स का हर ओपन सेट यू ≤ के संबंध में एक ऊपरी सेट होगा (यानी अगर एक्स ∈ यू और एक्स ≤ y तो y ∈ यू)। अब यदि X परिमित है, तो विलोम भी सत्य है: प्रत्येक ऊपरी सेट X में खुला है। इसलिए परिमित स्थानों के लिए, X पर टोपोलॉजी विशिष्ट रूप से ≤ द्वारा निर्धारित की जाती है।

दूसरी दिशा में जा रहे हैं, मान लीजिए (एक्स, ≤) एक पूर्वनिर्धारित सेट है। ओपन सेट को ≤ के संबंध में ऊपरी सेट के रूप में ले कर X पर एक टोपोलॉजी τ को परिभाषित करें। तब संबंध ≤ (X, τ) का विशेषज्ञता पूर्व-आदेश होगा। इस तरह से परिभाषित टोपोलॉजी को ≤ द्वारा निर्धारित अलेक्जेंडर टोपोलॉजी कहा जाता है।

सीमाओं और परिमित टोपोलॉजी के बीच समानता को बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय के एक संस्करण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, परिमित वितरण जाल (टोपोलॉजी के खुले सेट की जाली) और आंशिक आदेश (पूर्व आदेश के समतुल्य वर्गों का आंशिक क्रम) के बीच एक समानता। यह पत्राचार एक बड़े वर्ग के रिक्त स्थान के लिए भी काम करता है जिसे सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थान कहा जाता है। पूरी तरह से उत्पन्न रिक्त स्थान को रिक्त स्थान के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसमें खुले सेटों का एक मनमाना चौराहा खुला है। परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस निश्चित रूप से उत्पन्न स्थान का एक विशेष वर्ग है।

कॉम्पैक्टनेस और काउंटेबिलिटी

हर परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस कॉम्पैक्ट जगह है क्योंकि किसी भी खुले कवर को पहले से ही परिमित होना चाहिए। दरअसल, कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान को अक्सर सीमित स्थान के सामान्यीकरण के रूप में माना जाता है क्योंकि वे कई समान गुण साझा करते हैं।

प्रत्येक परिमित स्थलीय स्थान भी दूसरा-गणनीय है (केवल बहुत से खुले सेट हैं) और वियोज्य स्थान (चूंकि अंतरिक्ष ही गणनीय सेट है)।

पृथक्करण स्वयंसिद्ध

यदि एक परिमित सांस्थितिकीय स्थान T1 स्थान है | T₁(विशेष रूप से, अगर यह हॉसडॉर्फ स्पेस है) तो वास्तव में, यह असतत होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बिंदु का पूरक (सेट सिद्धांत) बंद बिंदुओं का एक परिमित संघ है और इसलिए बंद है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक बिंदु खुला होना चाहिए।

इसलिए, कोई भी परिमित स्थलीय स्थान जो असतत नहीं है, टी नहीं हो सकता₁, हॉसडॉर्फ, या कुछ भी मजबूत।

हालांकि, एक गैर-असतत परिमित स्थान के लिए T0 स्थान होना संभव है | T₀. सामान्य तौर पर, दो बिंदु x और y स्थलीय रूप से अप्रभेद्य हैं यदि और केवल यदि x ≤ y और y ≤ x, जहां ≤ X पर विशेषज्ञता पूर्वक्रम है। यह इस प्रकार है कि एक स्थान X T है₀ अगर और केवल अगर एक्स पर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर ≤ एक आंशिक ऑर्डर है। परिमित सेट पर कई आंशिक आदेश हैं। प्रत्येक एक अद्वितीय टी को परिभाषित करता है₀ टोपोलॉजी।

इसी प्रकार, एक स्थान R0 अंतरिक्ष है | आर₀यदि और केवल यदि विशेषज्ञता पूर्व-आदेश एक तुल्यता संबंध है। एक परिमित सेट एक्स पर किसी भी तुल्यता संबंध को देखते हुए संबंधित टोपोलॉजी एक्स पर विभाजन टोपोलॉजी है। तुल्यता वर्ग टोपोलॉजिकल रूप से अप्रभेद्य बिंदुओं के वर्ग होंगे। चूंकि विभाजन टोपोलॉजी स्यूडोमेट्रिजेबल स्पेस है, एक परिमित स्थान R है₀ अगर और केवल अगर यह पूरी तरह से नियमित है।

असतत परिमित स्थान भी सामान्य स्थान हो सकता है। किसी परिमित सेट पर बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी पूरी तरह से सामान्य स्थान T है₀ अंतरिक्ष जो असतत है।

कनेक्टिविटी

एक परिमित स्थान X में कनेक्टिविटी को X पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर ≤ पर विचार करके सबसे अच्छी तरह से समझा जा सकता है। हम X के बिंदुओं को कोने के रूप में ले कर और जब भी x ≤ y एक किनारा x → y खींचकर किसी भी पूर्वनिर्धारित सेट X को एक निर्देशित ग्राफ Γ से जोड़ सकते हैं। संबंधित ग्राफ Γ की कनेक्टिविटी (ग्राफ थ्योरी) पर विचार करके एक परिमित स्थान X की कनेक्टिविटी को समझा जा सकता है।

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में, यदि x ≤ y तो x से y तक एक पथ (टोपोलॉजी) है। t > 0 के लिए f(0) = x और f(t) = y ले सकते हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि f निरंतर है। यह इस प्रकार है कि एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस के पथ घटक संबंधित ग्राफ Γ के ठीक (कमजोर) जुड़े हुए घटक (ग्राफ सिद्धांत) हैं। अर्थात्, x से y तक एक सांस्थितिक पथ है यदि और केवल यदि Γ के संगत शीर्षों के बीच कोई पथ (ग्राफ़ सिद्धांत) है।

सेट के बाद से प्रत्येक परिमित स्थान स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है

\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}

एक्स का एक पथ-जुड़ा खुला पड़ोस (टोपोलॉजी) है जो हर दूसरे पड़ोस में समाहित है। दूसरे शब्दों में, यह एकल समुच्चय x पर एक स्थानीय आधार बनाता है।

इसलिए, एक परिमित स्थान जुड़ा हुआ स्थान है यदि और केवल यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है। जुड़े हुए घटक सटीक रूप से पथ घटक हैं। ऐसा प्रत्येक घटक एक्स में क्लोपेन सेट दोनों है।

परिमित स्थानों में मजबूत कनेक्टिविटी गुण हो सकते हैं। एक परिमित स्थान X है

हाइपरकनेक्टेड स्पेस अगर और केवल अगर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर के संबंध में कोई सबसे बड़ा तत्व है। यह एक ऐसा तत्व है जिसका समापन संपूर्ण स्थान X है।
अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस अगर और केवल अगर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर के संबंध में कम से कम तत्व है। यह एक ऐसा तत्व है जिसका एकमात्र पड़ोस संपूर्ण स्थान X है।

उदाहरण के लिए, एक परिमित स्थान पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी हाइपरकनेक्टेड है जबकि बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी अल्ट्राकनेक्टेड है। सिएरपिन्स्की स्थान दोनों है।

अतिरिक्त संरचना

एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस स्यूडोमेट्रीज़ेबल स्पेस है अगर और केवल अगर यह R0 स्पेस है। R₀. इस मामले में, एक संभावित स्यूडोमेट्रिक स्पेस दिया जाता है

d(x,y)={\begin{cases}0&x\equiv y\\1&x\not \equiv y\end{cases}}

जहाँ x ≡ y का अर्थ है x और y स्थैतिक रूप से अप्रभेद्य हैं। एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस मेट्रिजेबल स्पेस है अगर और केवल अगर यह असतत है।

इसी तरह, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एकसमान स्थान है अगर और केवल अगर यह आर है₀. समान संरचना उपरोक्त छद्ममितीय द्वारा प्रेरित छद्ममितीय एकरूपता होगी।

बीजगणितीय टोपोलॉजी

शायद आश्चर्यजनक रूप से, गैर-तुच्छ मौलिक समूहों के साथ परिमित सामयिक स्थान हैं। एक सरल उदाहरण स्यूडोसर्कल है, जो चार बिंदुओं वाला स्थान X है, जिनमें से दो खुले हैं और जिनमें से दो बंद हैं। यूनिट सर्कल एस से एक सतत नक्शा है¹ से X जो एक कमजोर होमोटॉपी तुल्यता है (अर्थात यह समरूपता समूहों के समरूपता को प्रेरित करता है)। यह इस प्रकार है कि स्यूडोसर्कल का मूल समूह अनंत चक्रीय समूह है।

अधिक आम तौर पर यह दिखाया गया है कि किसी भी परिमित सार सरल परिसर के लिए, एक परिमित स्थलीय स्थान एक्स है_K और एक कमजोर समरूपता तुल्यता f : |K| → एक्स_K जहां | कश्मीर | K का अमूर्त सरलीकृत परिसर है। यह इस प्रकार है कि | K | के होमोटोपी समूह और एक्स_K आइसोमोर्फिक हैं। वास्तव में, X का अंतर्निहित सेट_K शामिल किए जाने के आंशिक क्रम से जुड़ी टोपोलॉजी के साथ, K को ही लिया जा सकता है।

== परिमित सेट == पर टोपोलॉजी की संख्या

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, एक परिमित सेट पर टोपोलॉजी सेट पर पूर्व-आदेशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, और T0 स्पेस|टी₀ टोपोलॉजी आंशिक ऑर्डर के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसलिए, परिमित सेट पर टोपोलॉजी की संख्या प्रीऑर्डर की संख्या और टी की संख्या के बराबर होती है₀ टोपोलॉजी आंशिक ऑर्डर की संख्या के बराबर है।

नीचे दी गई तालिका अलग-अलग की संख्या सूचीबद्ध करती है (टी₀) एन तत्वों के साथ एक सेट पर टोपोलॉजी। यह असमान (यानी होमोमोर्फिक) टोपोलॉजी की संख्या को भी सूचीबद्ध करता है।

Number of topologies on a set with n points
n	Distinct topologies	Distinct T₀ topologies	Inequivalent topologies	Inequivalent T₀ topologies
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

बता दें कि T(n) n बिंदुओं वाले सेट पर अलग-अलग टोपोलॉजी की संख्या को दर्शाता है। मनमाना n के लिए T(n) की गणना करने के लिए कोई ज्ञात सरल सूत्र नहीं है। पूर्णांक अनुक्रमों का ऑनलाइन विश्वकोश वर्तमान में n ≤ 18 के लिए T(n) को सूचीबद्ध करता है।

विशिष्ट टी की संख्या₀ एन अंक के साथ एक सेट पर टोपोलॉजी, निरूपित टी₀(एन), सूत्र द्वारा टी (एन) से संबंधित है

T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)

जहाँ S(n,k) दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Thurston, William P. (April 1994). गणित में सबूत और प्रगति पर. Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 30. pp. 161–177. arXiv:math/9404236. doi:10.1090/S0273-0979-1994-00502-6.

Stong, Robert E. (1966). "Finite topological spaces" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 123: 325–340. doi:10.1090/s0002-9947-1966-0195042-2. MR 0195042.
McCord, Michael C. (1966). "Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces" (PDF). Duke Math. J. 33 (3): 465–474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
Barmak, Jonathan (2011). Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications. Springer. ISBN 978-3-642-22002-9.
Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. Wiley. ISBN 978-0-471-83817-3.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

अंक शास्त्र
उदात्तीकरण
बंद सेट
खुला सेट
खाली समारोह
निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)
स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य
प्रत्येक से अलग पत्राचार
क्लोजर (टोपोलॉजी)
खुला ढक्कन
दूसरा गणनीय
कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत)
पथ (ग्राफ सिद्धांत)
जुड़ा हुआ घटक (ग्राफ सिद्धांत)
एकरूप करने योग्य स्थान
एक समान संरचना
कमजोर समरूपता तुल्यता
होमोटॉपी समूह
सार सरल जटिल
समाकृतिकता

बाहरी कड़ियाँ

May, J.P. (2003). "Notes and reading materials on finite topological spaces" (PDF). Notes for REU.

श्रेणी:सामयिक स्थान श्रेणी: संयोजन विज्ञान

[1] Thurston, William P. (April 1994). गणित में सबूत और प्रगति पर. Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 30. pp. 161–177. arXiv:math/9404236. doi:10.1090/S0273-0979-1994-00502-6.

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