परीक्षण

For the concept of triality in linguistics, see Grammatical number § Trial.

डायकिन डायग्राम डी के ऑटोमोर्फिज्म₄ स्पिन (8) में ट्रायलिटी को जन्म दें।

गणित में, परीक्षण तीन वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक संबंध है, जो दोहरे वेक्टर रिक्त स्थान के बीच द्वैत (गणित) संबंध के अनुरूप है। आमतौर पर, यह डायनकिन आरेख डी की उन विशेष विशेषताओं का वर्णन करता है₄ और संबद्ध लाई समूह स्पिन(8) (8), 8-आयामी रोटेशन समूह SO(8) का दोहरा आवरण समूह, उत्पन्न होता है क्योंकि समूह में क्रम तीन का एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है। ट्रायलिटी का एक ज्यामितीय संस्करण है, जो द्वैत (प्रोजेक्टिव ज्यामिति) के अनुरूप है।

सभी साधारण झूठ समूहों में, स्पिन (8) में सबसे सममित डायनकिन आरेख, डी है₄. आरेख में केंद्र में स्थित एक नोड के साथ चार नोड हैं, और अन्य तीन सममित रूप से जुड़े हुए हैं। आरेख का समरूपता समूह सममित समूह S है₃ जो तीन पैरों को अनुमति देकर कार्य करता है। यह एक एस को जन्म देता है₃ स्पिन (8) के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म का समूह। यह ऑटोमोर्फिज्म समूह स्पिन (8) के तीन 8-आयामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन की अनुमति देता है; ये वेक्टर प्रतिनिधित्व और दो चिरलिटी (गणित) स्पिन प्रतिनिधित्व हैं। ये ऑटोमोर्फिज्म SO(8) के ऑटोमोर्फिज्म को प्रोजेक्ट नहीं करते हैं। सदिश प्रतिनिधित्व—SO(8) की प्राकृतिक क्रिया (इसलिए स्पिन(8)) पर F⁸—यूक्लिडियन अंतरिक्ष की वास्तविक संख्या से अधिक होता है|यूक्लिडियन 8-वैक्टर और आमतौर पर परिभाषित मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है, जबकि चिरल स्पिन प्रतिनिधित्व को स्पिनर के रूप में भी जाना जाता है| अर्ध-स्पिन अभ्यावेदन, और ये तीनों मूलभूत निरूपण हैं।

किसी अन्य कनेक्टेड डायकिन डायग्राम में 2 से अधिक क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह नहीं है; अन्य डी के लिए_n (अन्य समान स्पिन समूहों, स्पिन (2n) के अनुरूप), दो अर्ध-स्पिन अभ्यावेदन को स्विच करने के लिए अभी भी ऑटोमोर्फिज्म है, लेकिन ये वेक्टर प्रतिनिधित्व के लिए आइसोमोर्फिक नहीं हैं।

मोटे तौर पर, डायकिन आरेख की समरूपता समूह से जुड़े स्तन निर्माण के ऑटोमोर्फिज्म की ओर ले जाती है। विशेष रेखीय समूहों के लिए, व्यक्ति प्रक्षेपी द्वैत प्राप्त करता है। स्पिन (8) के लिए, 8-आयामी अंतरिक्ष के 1-, 2-, और 4-आयामी उप-स्थानों को शामिल करने वाली एक जिज्ञासु घटना मिलती है, जिसे ऐतिहासिक रूप से ज्यामितीय परीक्षण के रूप में जाना जाता है।

डी की असाधारण 3-गुना समरूपता₄ आरेख भी स्टाइनबर्ग समूह (झूठ सिद्धांत) 3D4 | को जन्म देता है³डी₄.

सामान्य सूत्रीकरण

एक क्षेत्र पर दो वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक द्वैत F एक गैर-पतित द्विरेखीय रूप है

$V_{1}\times V_{2}\to F,$

यानी, प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर के लिए v दो सदिश स्थानों में से एक में, के साथ युग्मन v दूसरे पर एक गैर-शून्य रैखिक कार्यात्मक है।

इसी तरह, एक क्षेत्र में तीन सदिश स्थानों के बीच एक ट्रायलिटी F एक गैर-पतित बहुरेखीय रूप है

$V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to F,$

यानी, तीन सदिश स्थानों में से प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर अन्य दो के बीच एक द्वैत उत्पन्न करता है।

वैक्टर चुनकर e_i प्रत्येक में V_i जिस पर त्रिरेखीय रूप 1 का मूल्यांकन करता है, हम पाते हैं कि तीन सदिश स्थान एक दूसरे के लिए और उनके दोहरे के लिए सभी समरूपता हैं। द्वारा इस सामान्य सदिश समष्टि को नकारना V, ट्रायलिटी को एक क्षेत्र पर बीजगणित के रूप में फिर से व्यक्त किया जा सकता है

$V\times V\to V$

जहां प्रत्येक e_i में पहचान तत्व से मेल खाता है V. गैर अध: पतन की स्थिति अब इसका तात्पर्य है V एक रचना बीजगणित है। यह इस प्रकार है कि V का आयाम 1, 2, 4 या 8 है। यदि आगे F = R और पहचान करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला फॉर्म V इसके दोहरे निश्चित द्विघात रूप के साथ, तब V हर्विट्ज़ की प्रमेय (संरचना बीजगणित) है, और इसलिए आर, सी, एच या ओ के लिए आइसोमोर्फिक है।

इसके विपरीत, रचना बीजगणित तुरंत प्रत्येक को लेकर परीक्षणों को जन्म देते हैं V_i बीजगणित के बराबर, और टेन्सर संकुचन, त्रिरेखीय रूप बनाने के लिए बीजगणित पर आंतरिक उत्पाद के साथ गुणन।

ट्रायलिटीज का एक वैकल्पिक निर्माण आयाम 1, 2, 4 और 8 में स्पिनरों का उपयोग करता है। आठ-आयामी मामला स्पिन (8) की ट्रायलिटी संपत्ति से मेल खाता है।

यह भी देखें

• ट्रिपल उत्पाद, 4-आयामी परीक्षण से संबंधित हो सकता है (चतुर्भुजों पर)

संदर्भ

• John Frank Adams (1981), Spin(8), Triality, F₄ and all that, in "Superspace and supergravity", edited by Stephen Hawking and Martin Roček, Cambridge University Press, pages 435–445.
• John Frank Adams (1996), Lectures on Exceptional Lie Groups (Chicago Lectures in Mathematics), edited by Zafer Mahmud and Mamora Mimura, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5.

अग्रिम पठन

• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Vol. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001.
• Wilson, Robert (2009). The Finite Simple Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 251. Springer-Verlag. ISBN 1-84800-987-9. Zbl 1203.20012.

बाहरी संबंध

• Spinors and Trialities by John Baez
• Triality with Zometool by David Richter