निश्चित द्विघात रूप

गणित में, एक निश्चित द्विघात रूप कुछ वास्तविक संख्या वेक्टर अंतरिक्ष पर एक द्विघात रूप है V हर गैर-शून्य वेक्टर के लिए समान सकारात्मक और नकारात्मक संख्या (हमेशा सकारात्मक या हमेशा नकारात्मक) है V।उस संकेत के अनुसार, द्विघात रूप को सकारात्मक-कमी या नकारात्मक-परिभाषा कहा जाता है।

एक सेमीफाइडफिनाइट (या अर्ध-परिभाषा) द्विघात रूप को उसी तरह से परिभाषित किया जाता है, सिवाय इसके कि हमेशा सकारात्मक और हमेशा नकारात्मक को क्रमशः कभी भी नकारात्मक और कभी भी सकारात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।दूसरे शब्दों में, यह कुछ गैर-शून्य वैक्टर के लिए शून्य मान ले सकता है V।

एक अनिश्चित द्विघात रूप सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मूल्यों पर ले जाता है और इसे आइसोट्रोपिक द्विघात रूप कहा जाता है।

अधिक आम तौर पर, ये परिभाषाएँ किसी ऑर्डर किए गए फ़ील्ड पर किसी भी वेक्टर स्पेस पर लागू होती हैं।

संबंधित सममित बाइलिनियर

द्विघात रूप एक ही स्थान पर सममित बिलिनियर रूपों के लिए एक-से-एक के अनुरूप हैं। एक सममित बिलिनियर रूप को इसके संबद्ध द्विघात रूप के अनुसार निश्चित, सेमीफाइफिनाइट, आदि के रूप में भी वर्णित किया गया है।एक द्विघात रूप Q और इसके संबद्ध सममित बिलिनियर रूप B निम्नलिखित समीकरणों से संबंधित हैं:

${\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}$

बाद का सूत्र विस्तार से उत्पन्न होता है $\;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.$

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, चलो $V=\mathbb {R} ^{2}$, और द्विघात रूप पर विचार करें

$Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}$

कहाँ $~x=[x_{1},x_{2}]\in V$ और c₁ और c₂ स्थिरांक हैं।अगर c₁ > 0 और c₂ > 0 , द्विघात रूप Q सकारात्मक-निश्चित है, इसलिए क्यू जब भी सकारात्मक संख्या का मूल्यांकन करता है $\;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.$ यदि स्थिरांक में से एक सकारात्मक है और दूसरा 0 है, तो Q सकारात्मक सेमीडिफ़ाइट है और हमेशा 0 या सकारात्मक संख्या का मूल्यांकन करता है।अगर c₁ > 0 और c₂ < 0 , या इसके विपरीत, फिर Q अनिश्चितकालीन है और कभी -कभी एक सकारात्मक संख्या का मूल्यांकन करता है और कभी -कभी एक नकारात्मक संख्या तक।अगर c₁ < 0 और c₂ < 0 , द्विघात रूप नकारात्मक-परिभाषा है और जब भी एक नकारात्मक संख्या का मूल्यांकन करता है $\;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.$ और अगर स्थिरांक में से एक नकारात्मक है और दूसरा 0 है, तो Q नकारात्मक सेमीफाइनाइट है और हमेशा 0 या नकारात्मक संख्या का मूल्यांकन करता है।

सामान्य तौर पर दो चर में एक द्विघात रूप में एक क्रॉस-प्रोडक्ट शब्द भी शामिल होगा x₁·x₂:

$Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.$

यह द्विघात रूप सकारात्मक-परिभाषा है यदि $\;c_{1}>0\;$ और $\,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,$ नकारात्मक-परिभाषा अगर $\;c_{1}<0\;$ और $\,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,$ और अनिश्चितकालीन अगर $\;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.$ यह सकारात्मक या नकारात्मक सेमीफाइनाइट है अगर $\;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,$ सेमीफाइनफिनिटनेस के संकेत के साथ, के संकेत के साथ मेल खाता है $\;c_{1}~.$ यह द्विघात द्विघात रूप मूल पर केंद्रित शंकु वर्गों के संदर्भ में दिखाई देता है।यदि उपरोक्त सामान्य द्विघात रूप 0 के बराबर है, तो परिणामी समीकरण एक दीर्घवृत्त का है यदि द्विघात रूप सकारात्मक या नकारात्मक-परिभाषा है, तो एक हाइपरवलय यदि यह अतिशयोक्ति है, और एक परबोला यदि $\;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.$ में यूक्लिडियन मानदंड का वर्ग n-डिमेंशनल स्पेस, दूरी का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला उपाय है,

${x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.$

दो आयामों में इसका मतलब है कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ चुकता दूरी के योग का वर्गमूल है $x_{1}$ अक्ष और $x_{2}$ एक्सिस।

मैट्रिक्स फॉर्म

एक द्विघात रूप को मैट्रिक्स (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है

$x^{\mathsf {T}}A\,x$

कहाँ x क्या किसी nकार्टेशियन स्पेस में × 1 यूक्लिडियन वेक्टर# $\;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;$ जिसमें कम से कम एक तत्व 0 नहीं है; A एक n × n सममित मैट्रिक्स;और सुपरस्क्रिप्ट ^T एक मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ को दर्शाता है।अगर A विकर्ण मैट्रिक्स है यह एक गैर-मैट्रिक्स फॉर्म के बराबर है जिसमें केवल वर्ग चर शामिल हैं;लेकिन अगर A किसी भी गैर-शून्य ऑफ-डायगोनल तत्व हैं, गैर-मैट्रिक्स फॉर्म में दो अलग-अलग चर के उत्पादों को शामिल करने वाले कुछ शब्द भी होंगे।

सकारात्मक या नकारात्मक-कमी या अर्ध-कमी, या अनिश्चितता, इस द्विघात रूप की, सकारात्मक-डिफिनाइट मैट्रिक्स के बराबर है। A, जिसे सभी eigenvalues पर विचार करके जाँच की जा सकती है A या इसके सभी प्रमुख नाबालिगों के संकेतों की जाँच करके।

अनुकूलन

निश्चित द्विघात फॉर्म अनुकूलन समस्याओं के लिए आसानी से खुद को उधार देते हैं।मान लीजिए कि मैट्रिक्स द्विघात रूप रैखिक शब्दों के साथ संवर्धित है, जैसा कि

$x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,$

कहाँ b एक n× 1 स्थिरांक का वेक्टर।अधिकतम या न्यूनतम के लिए प्रथम-क्रम की शर्तें मैट्रिक्स व्युत्पन्न को शून्य वेक्टर पर सेट करके पाई जाती हैं:

$2A\,x+b={\vec {0}}\;,$

दे रही है

$x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,$

मान लिया जाये A निरर्थक मैट्रिक्स है।यदि द्विघात रूप, और इसलिए A, सकारात्मक-परिभाषा है, दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण | एक न्यूनतम के लिए दूसरे-क्रम की स्थिति इस बिंदु पर पूरी होती है।यदि द्विघात रूप नकारात्मक-परिभाषा है, तो अधिकतम के लिए दूसरे-क्रम की स्थिति पूरी होती है।

इस तरह के अनुकूलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण कई प्रतिगमन में उत्पन्न होता है, जिसमें अनुमानित मापदंडों का एक वेक्टर मांगा जाता है जो डेटासेट के भीतर एक आदर्श फिट से वर्ग विचलन के योग को कम करता है।

यह भी देखें

• आइसोट्रोपिक द्विघात रूप
• सकारात्मक-क्षरण समारोह
• सकारात्मक-क्षरण मैट्रिक्स
• ध्रुवीकरण पहचान

संदर्भ

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.