पुनर्स्थापन का गुणांक

प्रति सेकंड 25 छवियों पर स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव के साथ कैप्चर की गई एक उछलती हुई गेंद: हवा के प्रतिरोध को नजरअंदाज करते हुए, एक उछाल की ऊंचाई और पिछली उछाल की ऊंचाई के अनुपात का वर्गमूल गेंद/सतह प्रभाव के लिए क्षतिपूर्ति का गुणांक देता है।

पुनर्स्थापन का गुणांक (सीओआर, जिसे ई द्वारा भी दर्शाया जाता है), टकराव के बाद अलगाव के सापेक्ष वेग और टकराव से पहले दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग का अनुपात है। इसे अंतिम गतिज ऊर्जा और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के अनुपात के वर्गमूल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। यह आम तौर पर 0 से 1 तक होता है जहां 1 एक लोचदार टक्कर होगी। पूर्णतः बेलोचदार टक्कर का गुणांक 0 होता है, लेकिन 0 मान का पूर्णतः बेलोचदार होना आवश्यक नहीं है। इसे लीब रिबाउंड कठोरता परीक्षण में मापा जाता है, जिसे सीओआर के 1000 गुना के रूप में व्यक्त किया जाता है, लेकिन यह परीक्षण के लिए केवल एक वैध सीओआर है, परीक्षण की जा रही सामग्री के लिए सार्वभौमिक सीओआर के रूप में नहीं।

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के घूर्णी गतिज ऊर्जा, प्लास्टिक विरूपण और गर्मी के कारण नष्ट होने के कारण मान लगभग हमेशा 1 से कम होता है। यदि किसी रासायनिक प्रतिक्रिया से टकराव के दौरान ऊर्जा में वृद्धि होती है, घूर्णी ऊर्जा में कमी होती है, या किसी अन्य आंतरिक ऊर्जा में कमी होती है जो टक्कर के बाद के वेग में योगदान करती है तो यह 1 से अधिक हो सकती है।

$${\text{Coefficient of restitution }}(e)={\frac {\left|{\text{Relative velocity of separation after collision}}\right|}{\left|{\text{Relative velocity of approach before collision}}\right|}}={\sqrt {\frac {\left|{\text{Final kinetic energy}}\right|}{\left|{\text{Initial kinetic energy}}\right|}}}$$

गणित का विकास सर आइजैक न्यूटन द्वारा 1687 में किया गया था। इसे न्यूटन के प्रायोगिक नियम के नाम से भी जाना जाता है।

अधिक जानकारी

प्रभाव की रेखा - यह वह रेखा है जिसके साथ ई को परिभाषित किया जाता है या टकराने वाली सतहों के बीच स्पर्शरेखा प्रतिक्रिया बल की अनुपस्थिति में, प्रभाव का बल इस रेखा के साथ निकायों के बीच साझा किया जाता है। प्रभाव के दौरान पिंडों के बीच शारीरिक संपर्क के दौरान इसकी रेखा टकराने वाले पिंडों के संपर्क में सतहों की जोड़ी के सामान्य सामान्य के साथ होती है। इसलिए ई को एक आयामहीन एक-आयामी पैरामीटर के रूप में परिभाषित किया गया है।

ई के लिए मानों की सीमा - एक स्थिरांक के रूप में मानी जाती है

'ई' आमतौर पर 0 और 1 के बीच एक सकारात्मक, वास्तविक संख्या है:

• 'e = 0': यह एक पूर्णतया बेलोचदार टक्कर है|पूर्णतया बेलोचदार टक्कर है।
• '0 < e < 1': यह एक वास्तविक दुनिया की बेलोचदार टक्कर है, जिसमें कुछ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है।
• 'e = 1': यह एक पूर्णतः लोचदार टकराव है, जिसमें कोई गतिज ऊर्जा नष्ट नहीं होती है, और वस्तुएँ उसी सापेक्ष गति से एक दूसरे से टकराती हैं जिसके साथ वे निकट आती थीं।
• 'ई < 0': शून्य से कम का सीओआर एक टकराव का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें वस्तुओं के पृथक्करण वेग की दिशा (चिह्न) समापन वेग के समान होती है, जिसका अर्थ है कि वस्तुएं पूरी तरह से उलझे बिना एक दूसरे से गुजर जाती हैं। इसे गति का अधूरा स्थानांतरण भी माना जा सकता है। इसका एक उदाहरण एक छोटी, सघन वस्तु हो सकती है जो किसी बड़ी, कम सघन वस्तु से होकर गुजरती है - उदाहरण के लिए, एक गोली लक्ष्य से होकर गुजरती है।
• 'ई > 1': यह एक टकराव का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें ऊर्जा जारी होती है, उदाहरण के लिए, nitrocellulose बिलियर्ड गेंदें प्रभाव के बिंदु पर सचमुच विस्फोट कर सकती हैं। साथ ही, कुछ हालिया लेखों में सुपरइलास्टिक टकरावों का वर्णन किया गया है जिसमें यह तर्क दिया गया है कि तिरछी टकराव के विशेष मामले में सीओआर एक से अधिक मूल्य ले सकता है। ये घटनाएँ घर्षण के कारण प्रतिक्षेप प्रक्षेपवक्र में परिवर्तन के कारण होती हैं। ऐसे टकरावों में गतिज ऊर्जा किसी प्रकार के विस्फोट के रूप में मुक्त होती है। यह संभव है कि $e=\infty$ एक कठोर प्रणाली के पूर्ण विस्फोट के लिए।

युग्मित वस्तुएँ

सीओआर टकराव में वस्तुओं की एक जोड़ी का गुण है, किसी एक वस्तु का नहीं। यदि कोई दी गई वस्तु दो अलग-अलग वस्तुओं से टकराती है, तो प्रत्येक टक्कर का अपना COR होगा। जब किसी वस्तु को पुनर्स्थापन के गुणांक के रूप में वर्णित किया जाता है, जैसे कि यह किसी दूसरी वस्तु के संदर्भ के बिना एक आंतरिक संपत्ति थी, तो इसे समान क्षेत्रों के बीच या पूरी तरह से कठोर दीवार के सामने माना जाता है।

एक पूरी तरह से कठोर दीवार संभव नहीं है, लेकिन यदि लोच के बहुत छोटे मापांक वाले गोले के सीओआर की जांच की जाए तो स्टील ब्लॉक द्वारा इसका अनुमान लगाया जा सकता है। अन्यथा, अधिक जटिल तरीके से टकराव के वेग के आधार पर सीओआर बढ़ेगा और फिर गिरेगा।

ऊर्जा और संवेग के संरक्षण से संबंध

एक-आयामी टक्कर में, दो प्रमुख सिद्धांत हैं: ऊर्जा का संरक्षण (यदि टक्कर पूरी तरह से लोचदार है तो गतिज ऊर्जा का संरक्षण) और (रैखिक) गति का संरक्षण। एक तीसरा समीकरण निकाला जा सकता है इन दोनों में से, जो ऊपर बताए अनुसार पुनर्स्थापन समीकरण है। समस्याओं को हल करते समय, तीन समीकरणों में से किन्हीं दो का उपयोग किया जा सकता है। पुनर्स्थापन समीकरण का उपयोग करने का लाभ यह है कि यह कभी-कभी समस्या से निपटने का अधिक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है।

होने देना $m_{1}$, $m_{2}$ क्रमशः वस्तु 1 और वस्तु 2 का द्रव्यमान हो। होने देना $u_{1}$, $u_{2}$ क्रमशः वस्तु 1 और वस्तु 2 का प्रारंभिक वेग हो। होने देना $v_{1}$, $v_{2}$ क्रमशः वस्तु 1 और वस्तु 2 का अंतिम वेग हो।

$${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$$

पहले समीकरण से,

$$m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)$$

$$m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{2}\right)$$

दूसरे समीकरण से,

$$m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}-u_{2}\right)$$

विभाजन के बाद,

$$u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$$

$$u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$$

$${\frac {\left|v_{2}-v_{1}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1$$

उपरोक्त समीकरण पुनर्स्थापन समीकरण है, और पुनर्स्थापन का गुणांक 1 है, जो एक पूर्णतः लोचदार टक्कर है।

खेल उपकरण

See also: Bouncing ball § Sport regulations

पतले चेहरे वाले गोल्फ क्लब ड्राइवर एक ट्रैम्पोलिन प्रभाव का उपयोग करते हैं जो फ्लेक्सिंग और संग्रहीत ऊर्जा के बाद के रिलीज के परिणामस्वरूप अधिक दूरी की ड्राइव बनाता है जो गेंद को अधिक आवेग प्रदान करता है। यूएसजीए (अमेरिका की गोल्फिंग संस्था) परीक्षण करती है सीओआर के लिए ड्राइवर और ऊपरी सीमा 0.83 रखी गई है। सीओआर क्लबहेड गति की दरों का एक कार्य है और क्लबहेड गति बढ़ने के साथ कम हो जाता है। रिपोर्ट में सीओआर 90 मील प्रति घंटे पर 0.845 से लेकर 130 मील प्रति घंटे पर 0.797 तक है। उपर्युक्त ट्रम्पोलिन प्रभाव इसे दर्शाता है क्योंकि यह टकराव के समय को बढ़ाकर टकराव के तनाव की दर को कम करता है। एक लेख (टेनिस टेनिस का बल्ला में सीओआर को संबोधित करते हुए), [एफ] या बेंचमार्क शर्तों के अनुसार, उपयोग किए गए पुनर्स्थापन का गुणांक सभी रैकेटों के लिए 0.85 है, जो स्ट्रिंग तनाव और फ्रेम कठोरता के चर को समाप्त करता है जो पुनर्स्थापन के गुणांक से जोड़ या घटा सकता है। . अंतर्राष्ट्रीय टेबल टेनिस महासंघ निर्दिष्ट करता है कि मानक स्टील ब्लॉक पर 30.5 सेमी की ऊंचाई से गिराए जाने पर गेंद 24-26 सेमी ऊपर उछलेगी, जिससे 0.887 से 0.923 का सीओआर होगा। एक बास्केटबॉल का सीओआर यह निर्धारित करके निर्धारित किया जाता है कि गेंद 1800 मिमी की ऊंचाई से गिराए जाने पर 960 और 1160 मिमी के बीच की ऊंचाई तक उछलेगी, जिसके परिणामस्वरूप 0.73–0.80 के बीच सीओआर होगा।

समीकरण

दो वस्तुओं, वस्तु ए और वस्तु बी से जुड़े एक-आयामी टकराव के मामले में, पुनर्स्थापन का गुणांक इस प्रकार दिया जाता है:

$$e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},$$

कहाँ:

• $v_{\text{a}}$ प्रभाव के बाद वस्तु A की अंतिम गति है
• $v_{\text{b}}$ प्रभाव के बाद वस्तु B की अंतिम गति है
• $u_{\text{a}}$ प्रभाव से पहले वस्तु A की प्रारंभिक गति है
• $u_{\text{b}}$ प्रभाव से पहले वस्तु बी की प्रारंभिक गति है

यद्यपि ई स्पष्ट रूप से वस्तुओं के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं है, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अंतिम वेग द्रव्यमान पर निर्भर हैं। कठोर पिंडों के द्वि- और त्रि-आयामी टकरावों के लिए, उपयोग किए गए वेग संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा/तल के लंबवत घटक होते हैं, यानी प्रभाव की रेखा के साथ।

किसी स्थिर लक्ष्य से उछलती वस्तु के लिए, ई को प्रभाव के बाद वस्तु की गति और प्रभाव से पहले की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$e={\frac {v}{u}},$$

कहाँ

• $v$ प्रभाव के बाद वस्तु की गति है
• $u$ प्रभाव से पहले वस्तु की गति है

ऐसे मामले में जहां घर्षण बलों की उपेक्षा की जा सकती है और वस्तु को आराम से क्षैतिज सतह पर गिराया जाता है, यह इसके बराबर है:

$$e={\sqrt {\frac {h}{H}}},$$

कहाँ

• $h$ उछाल की ऊंचाई है
• $H$ ड्रॉप ऊंचाई है

पुनर्स्थापन के गुणांक को उस सीमा के माप के रूप में सोचा जा सकता है जब कोई वस्तु किसी सतह से उछलती है तो यांत्रिक ऊर्जा किस हद तक संरक्षित होती है। किसी स्थिर लक्ष्य से उछलती वस्तु के मामले में, गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन, ई_p, प्रभाव के दौरान अनिवार्य रूप से शून्य है; इस प्रकार, ई गतिज ऊर्जा, ई के बीच एक तुलना है_k, प्रभाव से ठीक पहले वस्तु का और प्रभाव के तुरंत बाद का:

$$e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (after impact)}}}{E_{\text{k, (before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$$

ऐसे मामलों में जहां घर्षण बलों की उपेक्षा की जा सकती है (लगभग हर छात्र इस विषय पर प्रयोगशाला करता है), और वस्तु को आराम से क्षैतिज सतह पर गिराया जाता है, उपरोक्त ई के बीच तुलना के बराबर है_p वस्तु की उछाल ऊंचाई के साथ गिरने की ऊंचाई पर। इस मामले में, ई में परिवर्तन_k शून्य है (प्रभाव के दौरान वस्तु अनिवार्य रूप से आराम की स्थिति में होती है और उछाल के शीर्ष पर भी आराम की स्थिति में होती है); इस प्रकार:

$$e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$$

प्रभाव के बाद गति

लोचदार कणों के बीच 1 आयाम में टकराव के समीकरणों को सीओआर का उपयोग करने के लिए संशोधित किया जा सकता है, इस प्रकार यह बेलोचदार टकरावों और बीच की हर संभावना पर भी लागू हो जाता है।

$$v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$$

और

$$v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$$

कहाँ

• $v_{\text{a}}$ प्रभाव के बाद पहली वस्तु का अंतिम वेग है
• $v_{\text{b}}$ प्रभाव के बाद दूसरी वस्तु का अंतिम वेग है
• $u_{\text{a}}$ प्रभाव से पहले पहली वस्तु का प्रारंभिक वेग है
• $u_{\text{b}}$ प्रभाव से पहले दूसरी वस्तु का प्रारंभिक वेग है
• $m_{\text{a}}$ पहली वस्तु का द्रव्यमान है
• $m_{\text{b}}$ दूसरी वस्तु का द्रव्यमान है

व्युत्पत्ति

उपरोक्त समीकरणों को सीओआर की परिभाषा और गति के संरक्षण के नियम (जो सभी टकरावों के लिए लागू होता है) द्वारा गठित समीकरणों की प्रणाली के विश्लेषणात्मक समाधान से प्राप्त किया जा सकता है। ऊपर से संकेतन का प्रयोग कहाँ $u$ टक्कर से पहले वेग का प्रतिनिधित्व करता है और $v$ के बाद, उपज:

$${\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}$$

के लिए संवेग संरक्षण समीकरण को हल करना $v_{\text{a}}$ और क्षतिपूर्ति के गुणांक की परिभाषा $v_{\text{b}}$ पैदावार:

$${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$$

इसके बाद, पहले समीकरण में प्रतिस्थापन $v_{\text{b}}$ और फिर इसके लिए समाधान कर रहे हैं $v_{\text{a}}$ देता है:

$${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$$

एक समान व्युत्पत्ति के लिए सूत्र प्राप्त होता है $v_{\text{b}}$.

वस्तु के आकार और ऑफ-सेंटर टकराव के कारण सीओआर भिन्नता

जब टकराने वाली वस्तुओं की गति की दिशा उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और प्रभाव बिंदु के अनुरूप नहीं होती है, या यदि उस बिंदु पर उनकी संपर्क सतहें उस रेखा के लंबवत नहीं होती हैं, तो कुछ ऊर्जा जो पोस्ट के लिए उपलब्ध होती। -टक्कर वेग का अंतर घूर्णन और घर्षण के कारण नष्ट हो जाएगा। कंपन और परिणामी ध्वनि से होने वाली ऊर्जा हानि आमतौर पर नगण्य होती है।

विभिन्न सामग्रियों का मिलान और व्यावहारिक माप

जब कोई नरम वस्तु किसी सख्त वस्तु से टकराती है, तो टक्कर के बाद के वेग के लिए उपलब्ध अधिकांश ऊर्जा नरम वस्तु में संग्रहीत हो जाएगी। सीओआर इस बात पर निर्भर करेगा कि नरम वस्तु ऊर्जा को गर्मी और प्लास्टिक विरूपण में खोए बिना संपीड़न में संग्रहीत करने में कितनी कुशल है। रबर की गेंद कांच की गेंद की तुलना में कंक्रीट से बेहतर तरीके से उछलेगी, लेकिन कांच पर कांच का सीओआर रबर पर रबर की तुलना में बहुत अधिक होता है क्योंकि रबर को संपीड़ित करने पर उसकी कुछ ऊर्जा गर्मी में नष्ट हो जाती है। जब रबर की गेंद कांच की गेंद से टकराती है, तो सीओआर पूरी तरह से रबर पर निर्भर करेगा। इस कारण से, किसी सामग्री के सीओआर का निर्धारण करना जब टकराव के लिए समान सामग्री नहीं होती है तो अधिक कठिन सामग्री का उपयोग करके सबसे अच्छा किया जाता है।

चूंकि कोई भी पूरी तरह से कठोर सामग्री नहीं है, धातु और चीनी मिट्टी जैसी कठोर सामग्री का सीओआर सैद्धांतिक रूप से समान क्षेत्रों के बीच टकराव पर विचार करके निर्धारित किया जाता है। व्यवहार में, 2-बॉल न्यूटन के पालने को नियोजित किया जा सकता है लेकिन ऐसा सेट अप नमूनों के त्वरित परीक्षण के लिए अनुकूल नहीं है।

लीब रिबाउंड कठोरता परीक्षण सीओआर निर्धारित करने से संबंधित एकमात्र सामान्य रूप से उपलब्ध परीक्षण है। इसमें टंगस्टन कार्बाइड की एक नोक का उपयोग किया जाता है, जो उपलब्ध सबसे कठोर पदार्थों में से एक है, जिसे एक विशिष्ट ऊंचाई से परीक्षण नमूनों पर गिराया जाता है। लेकिन टिप का आकार, प्रभाव का वेग और टंगस्टन कार्बाइड सभी चर हैं जो 1000*COR के संदर्भ में व्यक्त परिणाम को प्रभावित करते हैं। यह उस सामग्री के लिए वस्तुनिष्ठ सीओआर नहीं देता है जो परीक्षण से स्वतंत्र है।

भौतिक गुणों (लोचदार मॉड्यूल, रियोलॉजी), प्रभाव की दिशा, घर्षण के गुणांक और प्रभावित करने वाले निकायों के चिपकने वाले गुणों पर निर्भरता में बहाली के गुणांक का एक व्यापक अध्ययन विलर्ट (2020) में पाया जा सकता है।

भौतिक गुणों से भविष्यवाणी

सीओआर एक भौतिक गुण नहीं है क्योंकि यह सामग्री के आकार और टकराव की विशिष्टताओं के साथ बदलता है, लेकिन टकराव की विशिष्टताओं को सरल बनाने पर भौतिक गुणों और प्रभाव के वेग से इसकी भविष्यवाणी की जा सकती है। घूर्णी और घर्षण हानि की जटिलताओं से बचने के लिए, हम गोलाकार वस्तुओं की एक समान जोड़ी के आदर्श मामले पर विचार कर सकते हैं, ताकि उनके द्रव्यमान और सापेक्ष वेग के केंद्र सभी पंक्ति में हों।

धातु और चीनी मिट्टी (लेकिन रबर और प्लास्टिक नहीं) जैसी कई सामग्रियों को पूरी तरह से लोचदार माना जाता है जब प्रभाव के दौरान उनकी उपज शक्ति तक नहीं पहुंचती है। प्रभाव ऊर्जा सैद्धांतिक रूप से केवल लोचदार संपीड़न के स्प्रिंग-प्रभाव में संग्रहीत होती है और परिणाम ई = 1 होता है। लेकिन यह केवल 0.1 मीटर/सेकेंड से 1 मीटर/सेकेंड से कम वेग पर लागू होता है। उच्च वेग पर लोचदार सीमा को पार किया जा सकता है क्योंकि सभी गतिज ऊर्जा प्रभाव के बिंदु पर केंद्रित होती है। विशेष रूप से, संपर्क क्षेत्र के हिस्से में उपज की ताकत आमतौर पर पार हो जाती है, लोचदार क्षेत्र में न रहकर प्लास्टिक विरूपण के कारण ऊर्जा खो जाती है। इसे ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित प्रारंभिक प्रभाव ऊर्जा के प्रतिशत का अनुमान लगाकर सीओआर का अनुमान लगाता है जो प्लास्टिक विरूपण में नष्ट नहीं हुई। लगभग, यह विभाजित करता है कि सामग्री की मात्रा कितनी आसानी से संपीड़न में ऊर्जा संग्रहीत कर सकती है ($1/{\text{elastic modulus}}$) यह लोचदार सीमा में कितनी अच्छी तरह रह सकता है ($1/{\text{yield strength}}$):

$$\%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}$$

किसी दिए गए सामग्री घनत्व और वेग के लिए इसका परिणाम यह होता है:

$${\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$$

उच्च उपज शक्ति सामग्री के अधिक संपर्क आयतन को उच्च ऊर्जा पर लोचदार क्षेत्र में रहने की अनुमति देती है। कम लोचदार मापांक प्रभाव के दौरान एक बड़े संपर्क क्षेत्र को विकसित करने की अनुमति देता है ताकि ऊर्जा संपर्क बिंदु पर सतह के नीचे एक बड़ी मात्रा में वितरित हो। इससे उपज शक्ति को अधिक होने से रोकने में मदद मिलती है।

एक अधिक सटीक सैद्धांतिक विकास लोचदार टकराव (धातुओं के लिए 0.1 मीटर/सेकेंड से अधिक) और बड़े स्थायी प्लास्टिक विरूपण (100 मीटर/सेकेंड से कम) की तुलना में धीमी गति से मध्यम वेग पर सीओआर की भविष्यवाणी करते समय सामग्री के वेग और घनत्व को भी महत्वपूर्ण माना जाता है। कम वेग से अवशोषित होने वाली कम ऊर्जा की आवश्यकता के कारण गुणांक बढ़ जाता है। कम घनत्व का मतलब यह भी है कि प्रारंभिक ऊर्जा को कम अवशोषित करने की आवश्यकता है। द्रव्यमान के बजाय घनत्व का उपयोग किया जाता है क्योंकि गोले का आयतन संपर्क क्षेत्र में प्रभावित आयतन के आयतन के साथ रद्द हो जाता है। इस प्रकार, गोले की त्रिज्या गुणांक को प्रभावित नहीं करती है। अलग-अलग आकार के लेकिन एक ही सामग्री के टकराने वाले गोले की एक जोड़ी का गुणांक नीचे जैसा ही है, लेकिन गुणा किया गया है ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{{3}/{8}}}$ इन चार चरों को मिलाकर, जब एक गेंद को उसी सामग्री की सतह पर गिराया जाता है, तो पुनर्स्थापन के गुणांक का सैद्धांतिक अनुमान लगाया जा सकता है।

• ई = पुनर्स्थापन का गुणांक
• एस_y = गतिशील उपज शक्ति (गतिशील लोचदार सीमा)
• ई' = प्रभावी लोचदार मापांक
• ρ = घनत्व
• v = प्रभाव पर वेग
• μ = पॉइसन का अनुपात

$$e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{5/8}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{v}}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{1/8}$$

$$E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}$$

यह समीकरण वास्तविक COR को अधिक महत्व देता है। धातुओं के लिए, यह तब लागू होता है जब v लगभग 0.1 मी/से और 100 मी/से के बीच होता है और सामान्य तौर पर जब:

$$0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1$$

धीमी गति पर सीओआर उपरोक्त समीकरण की भविष्यवाणी से अधिक है, सैद्धांतिक रूप से ई = 1 तक पहुंच जाता है जब उपरोक्त अंश इससे कम होता है $10^{-6}$ एमएस। यह 1 मीटर (v = 4.5 m/s) गिराए गए ठोस गोले के लिए पुनर्स्थापन का निम्नलिखित सैद्धांतिक गुणांक देता है। 1 से अधिक मान दर्शाते हैं कि समीकरण में त्रुटियाँ हैं। गतिशील उपज शक्ति के स्थान पर उपज शक्ति का प्रयोग किया गया।

Metals and Ceramics:	Predicted COR, e
silicon	1.79
Alumina	0.45 to 1.63
silicon nitride	0.38 to 1.63
silicon carbide	0.47 to 1.31
highest amorphous metal	1.27
tungsten carbide	0.73 to 1.13
stainless steel	0.63 to 0.93
magnesium alloys	0.5 to 0.89
titanium alloy grade 5	0.84
aluminum alloy 7075-T6	0.75
glass (soda-lime)	0.69
glass (borosilicate)	0.66
nickel alloys	0.15 to 0.70
zinc alloys	0.21 to 0.62
cast iron	0.3 to 0.6
copper alloys	0.15 to 0.55
titanium grade 2	0.46
tungsten	0.37
aluminum alloys 3003 6061, 7075-0	0.35
zinc	0.21
nickel	0.15
copper	0.15
aluminum	0.1
lead	0.08

प्लास्टिक और रबर के लिए सीओआर उनके वास्तविक मूल्यों से अधिक है क्योंकि संपीड़न के दौरान गर्म होने के कारण वे धातु, कांच और सिरेमिक की तरह आदर्श रूप से लोचदार व्यवहार नहीं करते हैं। तो निम्नलिखित केवल पॉलिमर की रैंकिंग के लिए एक मार्गदर्शिका है।

पॉलिमर (धातुओं और चीनी मिट्टी की तुलना में अधिक अनुमानित):

• पॉलीब्यूटाडाइन (गोल्फ बॉल शैल)
• ब्यूटाइल रबर
• ईवा
• सिलिकॉन इलास्टोमर्स
• पॉलीकार्बोनेट
• नायलॉन
• पॉलीथीन
• टेफ्लान
• पॉलीप्रोपाइलीन
• एबीएस
• ऐक्रेलिक
• पालतू
• पॉलीस्टाइनिन
• पीवीसी

धातुओं के लिए गति की सीमा जिस पर यह सिद्धांत लागू हो सकता है वह लगभग 0.1 से 5 मीटर/सेकेंड है जो 0.5 मिमी से 1.25 मीटर की गिरावट है (पृष्ठ 366)).

यह भी देखें

• उछलती गेंद
• टक्कर
• भिगोने की क्षमता
• लचीलापन (सामग्री विज्ञान)

संदर्भ

Works cited

• Cross, Rod (2006). "The bounce of a ball" (PDF). Physics Department, University of Sydney, Australia. Retrieved 16 January 2008. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Walker, Jearl (2011). Fundamentals Of Physics (9th ed.). David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. ISBN 978-0-470-56473-8.

बाहरी संबंध

• Wolfram Article on COR
• Bennett & Meepagala (2006). "Coefficients of Restitution". The Physics Factbook.
• Chris Hecker's physics introduction
• "Getting an extra bounce" by Chelsea Wald
• FIFA Quality Concepts for Footballs – Uniform Rebound
• Bowley, Roger (2009). "Coefficient of Restitution". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.