प्रधान स्थिरांक

Not to be confused with Hardy–Littlewood's twin prime constant or Brun's twin prime constant.

अभाज्य स्थिरांक वास्तविक संख्या है $\rho$ किसका $n$यदि बाइनरी संख्या का अंक 1 है $n$ अभाज्य संख्या है और यदि 0 है $n$ भाज्य संख्या है या 1.

दूसरे शब्दों में, $\rho$ वह संख्या है जिसकी द्विआधारी अंक प्रणाली अभाज्य संख्याओं के सेट (गणित) के संकेतक फ़ंक्शन से मेल खाती है। वह है,

$\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}$

कहाँ $p$ एक अभाज्य और इंगित करता है $\chi _{\mathbb {P} }$ सेट का विशिष्ट कार्य है $\mathbb {P}$ अभाज्य संख्याओं का.

ρ के दशमलव विस्तार की शुरुआत है: $\rho =0.414682509851111660248109622\ldots$ (sequence A051006 in the OEIS)

द्विआधारी विस्तार की शुरुआत है: $\rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (sequence A010051 in the OEIS)

तर्कहीनता

जो नंबर $\rho$ अपरिमेय संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका कारण जानने के लिए, मान लीजिए कि यह परिमेय संख्या थी।

निरूपित करें $k$के बाइनरी विस्तार का वां अंक $\rho$ द्वारा $r_{k}$. तब से $\rho$ तर्कसंगत माना जाता है, इसका द्विआधारी विस्तार अंततः आवधिक होता है, और इसलिए सकारात्मक पूर्णांक मौजूद होते हैं $N$ और $k$ ऐसा है कि $r_{n}=r_{n+ik}$ सभी के लिए $n>N$ और सभी $i\in \mathbb {N}$.

चूँकि यूक्लिड के प्रमेय अभाज्य हैं, हम एक अभाज्य चुन सकते हैं $p>N$. परिभाषा के अनुसार हम ऐसा देखते हैं $r_{p}=1$. जैसा कि उल्लेख किया गया है, हमारे पास है $r_{p}=r_{p+ik}$ सभी के लिए $i\in \mathbb {N}$. अब मामले पर विचार करें $i=p$. हमारे पास है $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$, तब से $p(k+1)$ समग्र है क्योंकि $k+1\geq 2$. तब से $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$ हमने देखा कि $\rho$ तर्कहीन है.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Prime Constant". MathWorld.