प्रवाह क्षेत्र की लैग्रेंजियन और यूलेरियन विशिष्टता

This article is about continuum mechanics. For the use of generalized coordinates in classical mechanics, see generalized coordinates, Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics

File:Lagrangian vs Eulerian.webmशास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में, प्रवाह क्षेत्र का लैग्रेंजियन विनिर्देश द्रव गति को देखने का एक तरीका है जहां पर्यवेक्षक एक व्यक्तिगत द्रव पार्सल का अनुसरण करता है क्योंकि यह अंतरिक्ष और समय के माध्यम से चलता है। समय के माध्यम से एक व्यक्तिगत पार्सल की स्थिति को प्लॉट करने से पार्सल की स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन मिलती है। इसे एक नाव में बैठकर नदी में बहते हुए देखा जा सकता है।

प्रवाह क्षेत्र का यूलेरियन विनिर्देश द्रव गति को देखने का एक तरीका है जो अंतरिक्ष में विशिष्ट स्थानों पर ध्यान केंद्रित करता है जहां से समय बीतने के साथ द्रव प्रवाहित होता है।इसकी कल्पना किसी नदी के किनारे बैठकर और पानी को निश्चित स्थान से गुजरते हुए देखकर की जा सकती है।

प्रवाह क्षेत्र के लैग्रैन्जियन और यूलेरियन विनिर्देशों को कभी-कभी संदर्भ के लैग्रैन्जियन और यूलेरियन फ्रेम के रूप में दर्शाया जाता है। हालाँकि, सामान्य तौर पर प्रवाह क्षेत्र के लैग्रेंजियन और यूलेरियन दोनों विनिर्देशों को किसी भी पर्यवेक्षक के संदर्भ के फ्रेम में और चुने हुए संदर्भ के फ्रेम के भीतर उपयोग किए जाने वाले किसी भी समन्वय प्रणाली में लागू किया जा सकता है।

ये विशिष्टताएं कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में परिलक्षित होती हैं, जहां यूलेरियन सिमुलेशन एक निश्चित प्रकार के जाल को नियोजित करते हैं जबकि लैग्रेंजियन (जैसे मेशफ्री विधियां) में सिमुलेशन नोड्स होते हैं जो वेग क्षेत्र का अनुसरण करते हुए आगे बढ़ सकते हैं।

विवरण

फ़ील्ड (भौतिकी) के यूलेरियन विनिर्देश में, फ़ील्ड को स्थिति 'x' और समय t के एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, प्रवाह वेग को एक फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है

$$\mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).$$

दूसरी ओर, लैग्रेंजियन विनिर्देश में, समय के माध्यम से व्यक्तिगत द्रव पार्सल का पालन किया जाता है। द्रव पार्सल को कुछ (समय-स्वतंत्र) वेक्टर फ़ील्ड 'x' द्वारा लेबल किया जाता है₀. (अक्सर, एक्स₀ किसी प्रारंभिक समय टी पर पार्सल के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति को चुना जाता है₀. समय के साथ आकार में संभावित परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए इसे इस विशेष तरीके से चुना जाता है। इसलिए द्रव्यमान का केंद्र पार्सल के प्रवाह वेग यू का एक अच्छा मानकीकरण है।)लैग्रेंजियन विवरण में, प्रवाह का वर्णन एक फ़ंक्शन द्वारा किया जाता है

$$\mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),$$

x लेबल वाले कण की स्थिति बता रहा हूँ₀ समय पर टी.

दोनों विशिष्टताएँ इस प्रकार संबंधित हैं:

$$\mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),$$

क्योंकि दोनों पक्ष x लेबल वाले कण के वेग का वर्णन करते हैं₀ समय पर टी.

एक चुनी हुई समन्वय प्रणाली के भीतर, 'x'₀ और x को क्रमशः प्रवाह के लैग्रेंजियन निर्देशांक और यूलेरियन निर्देशांक के रूप में जाना जाता है।

सामग्री व्युत्पन्न

Main article: Material derivative

प्रवाह क्षेत्र की गतिकी और गतिशीलता (भौतिकी) के लैग्रैन्जियन और यूलेरियन विनिर्देश सामग्री व्युत्पन्न (जिसे लैग्रैन्जियन व्युत्पन्न, संवहन व्युत्पन्न, पर्याप्त व्युत्पन्न, या कण व्युत्पन्न भी कहा जाता है) से संबंधित हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रवाह क्षेत्र यू है, और हमें यूलेरियन विनिर्देश एफ(एक्स,टी) के साथ एक सामान्य क्षेत्र भी दिया गया है। अब कोई किसी विशिष्ट प्रवाह पार्सल द्वारा अनुभव किए गए F के परिवर्तन की कुल दर के बारे में पूछ सकता है। इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है

$${\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,$$

जहां ∇ x के संबंध में डेल ऑपरेटर को दर्शाता है, और ऑपरेटर u⋅∇ को F के प्रत्येक घटक पर लागू किया जाना है। यह हमें बताता है कि फ़ंक्शन F के परिवर्तन की कुल दर वर्णित प्रवाह क्षेत्र के माध्यम से द्रव पार्सल के रूप में चलती है इसके यूलेरियन विनिर्देश के अनुसार u परिवर्तन की स्थानीय दर और F के परिवर्तन की संवहन दर के योग के बराबर है। यह श्रृंखला नियम का परिणाम है क्योंकि हम फ़ंक्शन F(X(x) को अलग कर रहे हैं₀, t), t) t के संबंध में।

एक इकाई द्रव्यमान के लिए संरक्षण कानूनों में एक लैग्रेंजियन रूप होता है, जो बड़े पैमाने पर संरक्षण के साथ मिलकर यूलेरियन संरक्षण उत्पन्न करता है; इसके विपरीत, जब द्रव कण किसी मात्रा (जैसे ऊर्जा या संवेग) का आदान-प्रदान कर सकते हैं, तो केवल यूलेरियन संरक्षण कानून मौजूद होते हैं।

यह भी देखें

• ब्रूअर-डॉब्सन सर्कुलेशन|ब्रूअर-डॉब्सन सर्कुलेशन
• संरक्षण प्रपत्र
• समोच्च संवहन
• विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी)
• समतुल्य अक्षांश
• सामान्यीकृत लैग्रेंजियन माध्य
• लैग्रेंजियन कण ट्रैकिंग

अर्ध-लैग्रेन्जियन योजना योजना

• स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन
• प्रक्षेपवक्र (द्रव यांत्रिकी)

स्टोकेस्टिक यूलेरियन लैग्रेंजियन विधि विधि

• लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन)

संदर्भ

• Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws. Springer. p. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID 125902566.
• Landau, Lev; Lifshitz, E.M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics, Volume 6 (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0750627672.

बाहरी संबंध

[1] Objectivity in classical continuum mechanics: Motions, Eulerian and Lagrangian functions; Deformation gradient; Lie derivatives; Velocity-addition formula, Coriolis; Objectivity.