फेनमैन चेकरबोर्ड

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फेनमैन चेकरबोर्ड दो पथों के साथ प्रचारक के लिए योग में योगदान देता है (, ) = (0, 0) से (3, 7)

फेनमैन चेकरबोर्ड, या सापेक्ष शतरंज मॉडल, रिचर्ड फेनमैन का पथ अभिन्न सूत्रीकरण था|एक मुक्त स्पिन (भौतिकी)|स्पिन-½ कण के लिए अभिन्न परिवर्तन का योग-ओवर-पाथ फॉर्मूलेशन एक स्थानिक आयाम में घूम रहा था। यह (1+1)-आयामी अंतरिक्ष समय में डिराक समीकरण के समाधानों को अलग-अलग योगों के रूप में प्रस्तुत करता है।

मॉडल को दो-आयामी स्पेसटाइम चेकरबोर्ड पर सापेक्ष यादृच्छिक चलने पर विचार करके देखा जा सकता है। प्रत्येक अलग समय कदम पर द्रव्यमान का कण दूरी तय करता है बाएँ या दाएँ ( प्रकाश की गति होने के नाते)। ऐसी असतत गति के लिए, पथ अभिन्न सूत्रीकरण संभावित पथों के योग को कम कर देता है। फेनमैन ने प्रदर्शित किया कि यदि अंतरिक्ष-समय पथ के प्रत्येक मोड़ (बाएं से दाएं या इसके विपरीत जाने का परिवर्तन) को भारित किया जाता है (साथ कम किए गए प्लैंक स्थिरांक को दर्शाते हुए), असीम रूप से छोटे चेकरबोर्ड वर्गों की सीमा में सभी भारित पथों का योग एक प्रचारक उत्पन्न करता है जो एक-आयामी डिराक समीकरण को संतुष्ट करता है। परिणामस्वरूप, हेलिसिटी (कण भौतिकी) (स्पिन (भौतिकी) का एक-आयामी समकक्ष) एक सरल सेलुलर ऑटोमेटन|सेलुलर-ऑटोमेटा-प्रकार नियम से प्राप्त होता है।

चेकरबोर्ड मॉडल महत्वपूर्ण है क्योंकि यह स्पेसटाइम में प्रसार के साथ स्पिन और दाहिनी ओर के पहलुओं को जोड़ता है[1] और यह एकमात्र सम-ओवर-पाथ फॉर्मूलेशन है जिसमें क्वांटम चरण पथों के स्तर पर अलग होता है, केवल एकता की चौथी जड़ों के अनुरूप मान लेता है।

इतिहास

रिचर्ड फेनमैन ने 1940 के दशक में क्वांटम यांत्रिकी के लिए अपना स्पेसटाइम दृष्टिकोण विकसित करते हुए मॉडल का आविष्कार किया था।[2] उन्होंने परिणाम तब तक प्रकाशित नहीं किया जब तक कि यह 1960 के दशक के मध्य में अल्बर्ट हिब्स द्वारा सह-लिखित पथ इंटीग्रल्स पर एक पाठ में दिखाई नहीं दिया।[3] मॉडल को मूल पथ-अभिन्न लेख के साथ शामिल नहीं किया गया था[2]क्योंकि चार-आयामी स्पेसटाइम के लिए उपयुक्त सामान्यीकरण नहीं पाया गया था।[4] 1+1 आयामों में डिराक कण के लिए फेनमैन द्वारा निर्धारित आयामों और कर्नेल, या प्रोपेगेटर के संदर्भ में आयामों की मानक व्याख्या के बीच पहले कनेक्शन में से एक, एक विस्तृत विश्लेषण में जयंत नार्लीकर द्वारा स्थापित किया गया था।[5] फेनमैन चेसबोर्ड मॉडल का नाम हेरोल्ड ए. गेर्श द्वारा दिया गया था जब उन्होंने एक-आयामी आइसिंग मॉडल के साथ इसके संबंध का प्रदर्शन किया था।[6] बी. गेवौ एट अल. विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से मार्क काक के कारण मॉडल और टेलीग्राफ समीकरणों के स्टोकेस्टिक मॉडल के बीच एक संबंध की खोज की।[7] टेड जैकबसन और लॉरेंस शुलमैन ने सापेक्षतावादी से गैर-सापेक्षवादी पथ अभिन्न तक के मार्ग की जांच की।[8] इसके बाद, जी.एन. ऑर्ड ने दिखाया कि शतरंज की बिसात मॉडल केएसी के मूल स्टोकेस्टिक मॉडल में सहसंबंधों में अंतर्निहित था[9] और इसलिए इसका संदर्भ विशुद्ध रूप से शास्त्रीय था, जो औपचारिक विश्लेषणात्मक निरंतरता से मुक्त था।[10] उसी वर्ष, लुई कॉफ़मैन और पियरेस नॉयस[11] बिट-स्ट्रिंग भौतिकी से संबंधित एक पूरी तरह से असतत संस्करण तैयार किया गया है, जिसे असतत भौतिकी के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में विकसित किया गया है।[12]


एक्सटेंशन

हालाँकि फेनमैन शतरंज की बिसात मॉडल के विस्तार को प्रकाशित करने के लिए जीवित नहीं थे, लेकिन उनके संग्रहीत नोट्स से यह स्पष्ट है कि वह एकता की चौथी जड़ों (शतरंज की बिसात पथों में सांख्यिकीय वजन के रूप में प्रयुक्त) और जॉन आर्चीबाल्ड के साथ उनकी खोज के बीच एक लिंक स्थापित करने में रुचि रखते थे। व्हीलर के अनुसार प्रतिकण समय में पीछे की ओर चलने वाले कणों के समतुल्य हैं।[1]उनके नोट्स में अतिरिक्त स्पेसटाइम लूप के साथ शतरंज की बिसात पथों के कई रेखाचित्र शामिल हैं।[13] ऐसे लूपों को स्पष्ट रूप से शामिल करने वाले मॉडल का पहला विस्तार सर्पिल मॉडल था, जिसमें शतरंज के रास्तों को स्पेसटाइम में सर्पिल करने की अनुमति दी गई थी। शतरंज की बिसात के मामले के विपरीत, विचलन से बचने के लिए कारणता (भौतिकी) को स्पष्ट रूप से लागू किया जाना था, हालांकि इस प्रतिबंध के साथ डिराक समीकरण एक सातत्य सीमा के रूप में उभरा।[14] इसके बाद, शतरंज की बिसात मॉडल में कांपती हुई हरकत, एंटीपार्टिकल्स और डिराक सागर की भूमिका को स्पष्ट किया गया है,[15] और गैर-सापेक्षतावादी सीमा के माध्यम से श्रोडिंगर समीकरण के निहितार्थों पर विचार किया गया।[16] मूल 2-आयामी स्पेसटाइम मॉडल के आगे के विस्तार में बेहतर योग नियम जैसी विशेषताएं शामिल हैं[17] और सामान्यीकृत जाली।[18] पूरी तरह से चार-आयामी अंतरिक्ष-समय के लिए शतरंज की बिसात मॉडल के इष्टतम विस्तार पर कोई सहमति नहीं है। एक्सटेंशन के दो अलग-अलग वर्ग मौजूद हैं, जो एक निश्चित अंतर्निहित जाली के साथ काम करते हैं[19][20] और वे जो द्वि-आयामी मामले को उच्च आयाम में एम्बेड करते हैं।[21][22] पूर्व का लाभ यह है कि योग-ओवर-पथ गैर-सापेक्षवादी मामले के करीब है, हालांकि प्रकाश की एकल दिशात्मक रूप से स्वतंत्र गति की सरल तस्वीर खो जाती है। बाद के एक्सटेंशन में प्रत्येक चरण पर परिवर्तनीय दिशाओं की कीमत पर निश्चित गति संपत्ति को बनाए रखा जाता है।

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Schweber, Silvan S. (1994). QED और इसे बनाने वाले लोग. Princeton University Press.
  2. ↑ 2.0 2.1 Feynman, R. P. (1948-04-01). "गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी के लिए अंतरिक्ष-समय दृष्टिकोण" (PDF). Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 20 (2): 367–387. Bibcode:1948RvMP...20..367F. doi:10.1103/revmodphys.20.367. ISSN 0034-6861.
  3. ↑ Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, Problem 2-6, pp. 34–36, 1965.
  4. ↑ R. P. Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Science, 153, pp. 699–708, 1966 (Reprint of the Nobel Prize lecture).
  5. ↑ J. Narlikar, Path Amplitudes for Dirac particles, Journal of the Indian Mathematical Society, 36, pp. 9–32, 1972.
  6. ↑ Gersch, H. A. (1981). "आइसिंग मॉडल के रूप में फेनमैन की सापेक्षतावादी शतरंज की बिसात". International Journal of Theoretical Physics. Springer Nature. 20 (7): 491–501. Bibcode:1981IJTP...20..491G. doi:10.1007/bf00669436. ISSN 0020-7748. S2CID 120552158.
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  8. ↑ Jacobson, T; Schulman, L S (1984-02-01). "Quantum stochastics: the passage from a relativistic to a non-relativistic path integral". Journal of Physics A: Mathematical and General. IOP Publishing. 17 (2): 375–383. Bibcode:1984JPhA...17..375J. doi:10.1088/0305-4470/17/2/023. ISSN 0305-4470.
  9. ↑ Kac, Mark (1974). "टेलीग्राफर के समीकरण से संबंधित एक स्टोकेस्टिक मॉडल". Rocky Mountain Journal of Mathematics. Rocky Mountain Mathematics Consortium. 4 (3): 497–510. doi:10.1216/rmj-1974-4-3-497. ISSN 0035-7596.
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