बलोच का सिद्धांत

बलोच का सिद्धांत गणित में एक दर्शन सिद्धांत है आंद्रे बलोच (गणितज्ञ) द्वारा कहा गया|आंद्रे बलोच। बलोच लैटिन में सिद्धांत को इस प्रकार बताता है: निहिल इस्ट इन इनफिनिटो क्वॉड नॉन प्रियस फ्यूरिट इन फिनिटो, और इसे इस प्रकार समझाता है: प्रत्येक प्रस्ताव जिसके कथन में वास्तविक अनंत होता है उसे हमेशा उस प्रस्ताव का, लगभग तत्काल, परिणाम माना जा सकता है जहां ऐसा होता है घटित नहीं होता, परिमित शब्दों में एक प्रस्ताव।

बलोच ने इस सिद्धांत को मुख्य रूप से एक जटिल चर के कार्य (गणित) के सिद्धांत पर लागू किया। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, इस सिद्धांत के अनुसार, पिकार्ड का प्रमेय शोट्की के प्रमेय से मेल खाता है, और बलोच का प्रमेय (जटिल चर)|वेलिरॉन का प्रमेय बलोच के प्रमेय (जटिल चर)|बलोच के प्रमेय से मेल खाता है।

अपने सिद्धांत के आधार पर, बलोच कई भविष्यवाणी या अनुमान लगाने में सक्षम था अहलफोर्स सिद्धांत जैसे महत्वपूर्ण परिणाम|अहलफोर्स के पांच द्वीप प्रमेय, हाइपरप्लेन को छोड़कर होलोमोर्फिक वक्रों पर हेनरी कर्तन का प्रमेय, वाल्टर हेमैन का परिणाम है कि नेवानलिन्ना सिद्धांत में त्रिज्या का एक असाधारण सेट अपरिहार्य है।

हाल के दिनों में कई सामान्य प्रमेय सिद्ध किए गए जिन्हें बलोच सिद्धांत की भावना में कठोर कथन माना जा सकता है:

ज़ाल्कमैन की लेम्मा

एक परिवार ${\mathcal {F}}$ यूनिट डिस्क पर फ़ंक्शंस मेरोमोर्फिक $\Delta$ यह सामान्य नहीं है यदि और केवल यदि मौजूद हो:

• एक संख्या $0<r<1$
• अंक $z_{n},$ $|z_{n}|<r$
• कार्य $f_{n}\in {\mathcal {F}}$
• संख्या $\rho _{n}\to 0+$

ऐसा है कि $f_{n}(z_{n}+\rho _{n}\zeta )\to g(\zeta ),$ गोलाकार रूप से समान रूप से कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर $C,$ कहाँ $g$ पर एक अस्थिर मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है $C.$ ज़ाल्कमैन की लेम्मा को कई जटिल चरों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। सबसे पहले, निम्नलिखित को परिभाषित करें:

एक परिवार ${\mathcal {F}}$ एक डोमेन पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस का $\Omega \subset C^{n}$ में सामान्य है $\Omega$ यदि कार्यों का प्रत्येक क्रम $\{f_{j}\}\subseteq {\mathcal {F}}$ इसमें या तो एक अनुवर्ती होता है जो एक सीमा फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है $f\neq \infty$ के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर समान रूप से $\Omega ,$ या एक अनुवर्ती जो समान रूप से अभिसरण करता है $\infty$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर।

हर समारोह के लिए $\varphi$ कक्षा का $C^{2}(\Omega )$ प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित करें $z\in \Omega$ एक हर्मिटियन रूप $L_{z}(\varphi ,v):=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z_{k}\partial {\overline {z}}_{l}}}(z)v_{k}{\overline {v}}_{l}\ \ (v\in C^{n}),$ और इसे फ़ंक्शन का लेवी रूप कहें $\varphi$ पर $z.$ यदि फ़ंक्शन $f$ पर होलोमोर्फिक है $\Omega ,$ तय करना $f^{\sharp }(z):=\sup _{|v|=1}{\sqrt {L_{z}(\log(1+|f|^{2}),v)}}.$ लेवी फॉर्म के बाद से यह मात्रा अच्छी तरह से परिभाषित है $L_{z}(\log(1+|f|^{2}),v)$ सभी के लिए गैर-नकारात्मक है $z\in \Omega .$ विशेष रूप से, के लिए $n=1$ उपरोक्त सूत्र रूप लेता है $f^{\sharp }(z):={\frac {|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}$ और $z^{\sharp }$ गोलाकार मीट्रिक के साथ मेल खाता है $C.$ मार्टी के प्रमेय के आधार पर सामान्यता का निम्नलिखित लक्षण वर्णन किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि एक परिवार सामान्य है यदि और केवल तभी जब गोलाकार व्युत्पन्न स्थानीय रूप से बंधे हों: मान लीजिए कि परिवार ${\mathcal {F}}$ कार्यों का होलोमोर्फिक पर $\Omega \subset C^{n}$ कुछ बिंदु पर सामान्य नहीं है $z_{0}\in \Omega .$ फिर वहां अनुक्रम मौजूद हैं $f_{j}\in {\mathcal {F}},$ $z_{j}\to z_{0},$ $\rho _{j}=1/f_{j}^{\sharp }(z_{j})\to 0,$ ऐसा कि क्रम $g_{j}(z)=f_{j}(z_{j}+\rho _{j}z)$ स्थानीय रूप से समान रूप से अभिसरण होता है $C^{n}$ एक गैर-निरंतर संपूर्ण फ़ंक्शन के लिए $g$ संतुष्टि देने वाला $g^{\sharp }(z)\leq g^{\sharp }(0)=1$

ब्रॉडी की लेम्मा

मान लीजिए कि X एक सघन स्थान कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है, जैसे कि जटिल विमान से प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र से X स्थिर है. फिर एक्स पर एक मीट्रिक (गणित) मौजूद है जैसे कि पॉइंकेरे मीट्रिक के साथ यूनिट डिस्क से एक्स तक प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र दूरियां नहीं बढ़ाता है।