बहुलता सिद्धांत

अमूर्त बीजगणित में, बहुलता सिद्धांत एक आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) I (अक्सर एक अधिकतम आदर्श) पर एक मॉड्यूल M की बहुलता से संबंधित है।

$\mathbf {e} _{I}(M).$

एक मॉड्यूल की बहुलता की धारणा एक अनुमानित विविधता की डिग्री का सामान्यीकरण है। सेरे के प्रतिच्छेदन सूत्र द्वारा, यह प्रतिच्छेदन सिद्धांत में एक प्रतिच्छेदन बहुलता से जुड़ा हुआ है।

सिद्धांत का मुख्य ध्यान एक बीजगणितीय विविधता के एक विलक्षण बिंदु का पता लगाना और मापना है (cf. विलक्षणताओं का संकल्प)। इस पहलू के कारण, मूल्यांकन सिद्धांत, रीस बीजगणित और अभिन्न समापन बहुलता सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं।

एक मॉड्यूल की बहुलता

R को एक सकारात्मक रूप से वर्गीकृत रिंग होने दें, जैसे कि R को R के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न किया जाता है₀-बीजगणित और आर₀ आर्टिनियन रिंग है। ध्यान दें कि R का परिमित क्रुल आयाम d है। एम को एक अंतिम रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल और एफ होने दें_M(टी) इसकी हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला। यह श्रृंखला रूप का एक तर्कसंगत कार्य है

${\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},$

कहाँ $P(t)$ एक बहुपद है। परिभाषा के अनुसार, M की बहुलता है

$\mathbf {e} (M)=P(1).$

श्रृंखला को फिर से लिखा जा सकता है

$F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{d-i} \over (1-t)^{d}}+r(t).$

जहाँ r(t) एक बहुपद है। ध्यान दें कि $a_{d-i}$ द्विपद गुणांकों में विस्तारित एम के हिल्बर्ट बहुपद के गुणांक हैं। अपने पास

$\mathbf {e} (M)=a_{0}.$

जैसा कि हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला सटीक अनुक्रमों पर योज्य है, बहुलता समान आयाम के मॉड्यूल के सटीक अनुक्रमों पर योज्य है।

निम्नलिखित प्रमेय, क्रिस्टर लेच के कारण, बहुलता के लिए एक प्राथमिक सीमा देता है।

Lech — Suppose R is local with maximal ideal ${\mathfrak {m}}$. If an I is ${\mathfrak {m}}$-primary ideal, then

$e(I)\leq d!\deg(R)\lambda (R/{\overline {I}}).$

यह भी देखें

• आयाम सिद्धांत (बीजगणित)
• जे-बहुलता
• हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता
• हिल्बर्ट-कुंज समारोह
• आम तौर पर फ्लैट रिंग