बाइनरी फ़ंक्शन

Not to be confused with Boolean function or Indicator function.

गणित में, एक बाइनरी फ़ंक्शन (जिसे बाइवेरिएट फ़ंक्शन या दो चर का फ़ंक्शन भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो दो इनपुट लेता है।

सटीक रूप से कहा गया है, एक फ़ंक्शन $f$ यदि सेट (गणित) मौजूद है तो बाइनरी है $X,Y,Z$ ऐसा है कि

$\,f\colon X\times Y\rightarrow Z$

कहाँ $X\times Y$ का कार्टेशियन उत्पाद है $X$ और $Y.$

वैकल्पिक परिभाषाएँ

नेव सेट सिद्धांत|सेट-सैद्धांतिक रूप से, एक बाइनरी फ़ंक्शन को कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में दर्शाया जा सकता है $X\times Y\times Z$, कहाँ $(x,y,z)$ यदि और केवल यदि उपसमुच्चय से संबंधित है $f(x,y)=z$. इसके विपरीत, एक उपसमुच्चय $R$ एक द्विआधारी फ़ंक्शन को परिभाषित करता है यदि और केवल यदि सार्वभौमिक परिमाणीकरण $x\in X$ और $y\in Y$, अस्तित्वगत परिमाणीकरण एक विशिष्टता परिमाणीकरण $z\in Z$ ऐसा है कि $(x,y,z)$ से संबंधित $R$. $f(x,y)$ फिर इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है $z$.

वैकल्पिक रूप से, एक बाइनरी फ़ंक्शन की व्याख्या केवल एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में की जा सकती है $X\times Y$ को $Z$. हालाँकि, इस तरह से सोचने पर भी, कोई आम तौर पर लिखता है $f(x,y)$ के बजाय $f((x,y))$. (अर्थात, कोष्ठकों की एक ही जोड़ी का उपयोग फ़ंक्शन अनुप्रयोग और ऑर्डर किए गए जोड़े के गठन दोनों को इंगित करने के लिए किया जाता है।)

उदाहरण

पूर्णांक के विभाजन को एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है। अगर $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का समुच्चय है, $\mathbb {N} ^{+}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है (शून्य को छोड़कर), और $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो भाग (गणित) एक द्विआधारी फलन है $f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q}$.

फ़ील्ड F के ऊपर एक सदिश समष्टि V में, अदिश गुणन एक द्विआधारी फलन है। एक अदिश a ∈ F को एक सदिश v ∈ V के साथ जोड़कर एक नया सदिश av ∈ V उत्पन्न किया जाता है।

एक अन्य उदाहरण आंतरिक उत्पादों, या अधिक सामान्यतः प्रपत्र के कार्यों का है $(x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My$, कहाँ x, y उचित आकार के वास्तविक-मूल्यवान वेक्टर हैं और M एक मैट्रिक्स है. अगर M एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, इससे एक आंतरिक उत्पाद प्राप्त होता है।

दो वास्तविक चरों के कार्य

वे फ़ंक्शन जिनका डोमेन एक उपसमूह है $\mathbb {R} ^{2}$ इन्हें अक्सर दो चरों के फलन भी कहा जाता है, भले ही उनका डोमेन एक आयत न बनाता हो और इस प्रकार दो सेटों का कार्तीय गुणनफल होता है।

सामान्य कार्यों पर प्रतिबंध

बदले में, कोई बाइनरी फ़ंक्शन से एक चर के सामान्य फ़ंक्शन भी प्राप्त कर सकता है। कोई भी तत्व दिया गया है $x\in X$, एक फ़ंक्शन है $f^{x}$, या $f(x,\cdot )$, से $Y$ को $Z$, द्वारा दिए गए $f^{x}(y)=f(x,y)$. इसी प्रकार, कोई भी तत्व दिया गया है $y\in Y$, एक फ़ंक्शन है $f_{y}$, या $f(\cdot ,y)$, से $X$ को $Z$, द्वारा दिए गए $f_{y}(x)=f(x,y)$. कंप्यूटर विज्ञान में, यह पहचान किसी फ़ंक्शन के बीच से होती है $X\times Y$ को $Z$ और से एक समारोह $X$ को $Z^{Y}$, कहाँ $Z^{Y}$ से सभी कार्यों का सेट है $Y$ को $Z$, करीइंग कहा जाता है।

सामान्यीकरण

फ़ंक्शंस से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को बाइनरी फ़ंक्शंस में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण विशेषण फलन (या आच्छादक) है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक और एक प्राकृतिक संख्या के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह उदाहरण प्रत्येक इनपुट में अलग-अलग इंजेक्शन समारोह है, क्योंकि फ़ंक्शन एफ ^एक्सऔर एफ _y हमेशा इंजेक्शन होते हैं. हालाँकि, यह दोनों चरों में एक साथ इंजेक्शन नहीं है, क्योंकि (उदाहरण के लिए) f (2,4) = f (1,2)।

कोई आंशिक बाइनरी फ़ंक्शन पर भी विचार कर सकता है, जिसे केवल इनपुट के कुछ मानों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण को 'Z' और 'N' से 'Q' तक आंशिक बाइनरी फ़ंक्शन के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां 'N' शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट है। लेकिन दूसरा इनपुट शून्य होने पर यह फ़ंक्शन अपरिभाषित है।

बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी फ़ंक्शन है जहां सेट X, Y और Z सभी समान हैं; बीजगणितीय संरचनाओं को परिभाषित करने के लिए अक्सर द्विआधारी संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है।

रैखिक बीजगणित में, एक द्विरेखीय संचालिका एक द्विआधारी फ़ंक्शन है जहां सेट X, Y और Z सभी सदिश स्थल हैं और व्युत्पन्न फ़ंक्शन f हैं ^एक्सऔर एफ_y सभी रैखिक परिवर्तन हैं। एक द्विरेखीय परिवर्तन, किसी भी बाइनरी फ़ंक्शन की तरह, X × Y से Z तक एक फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन सामान्य तौर पर यह फ़ंक्शन रैखिक नहीं होगा। हालाँकि, द्विरेखीय परिवर्तन की व्याख्या टेंसर उत्पाद से एकल रैखिक परिवर्तन के रूप में भी की जा सकती है $X\otimes Y$ यह से है।

टर्नरी और अन्य कार्यों का सामान्यीकरण

See also: Multivariate function

बाइनरी फ़ंक्शन की अवधारणा टर्नरी (या 3-एरी) फ़ंक्शन, चतुर्धातुक (या 4-एरी) फ़ंक्शन, या अधिक सामान्यतः किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए एन-एरी फ़ंक्शन को सामान्यीकृत करती है। Z को 0-एरी फ़ंक्शन केवल Z के एक तत्व द्वारा दिया जाता है। कोई A-ary फ़ंक्शन को भी परिभाषित कर सकता है जहां A कोई सेट (गणित) है; A के प्रत्येक तत्व के लिए एक इनपुट है।

श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत में, एन-एरी फ़ंक्शंस एक बहुश्रेणी में एन-एरी आकारिकी को सामान्यीकृत करते हैं। एक सामान्य रूपवाद के रूप में एक एन-एरी रूपवाद की व्याख्या जिसका डोमेन मूल एन-एरी रूपवाद के डोमेन का कुछ प्रकार का उत्पाद है, एक मोनोइडल श्रेणी में काम करेगा। एक चर के व्युत्पन्न आकारिकी का निर्माण एक बंद मोनोइडल श्रेणी में काम करेगा। सेट की श्रेणी बंद मोनोइडल है, लेकिन वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी भी है, जो उपरोक्त द्विरेखीय परिवर्तन की धारणा देती है।

यह भी देखें

• Arity