बीजगणितीय सतह

गणित में, एक बीजगणितीय सतह एक बीजगणितीय विविधता दो के आयाम की एक बीजगणितीय विविधता है। जटिल संख्याओं के क्षेत्र में ज्यामिति के मामले में, एक बीजगणितीय सतह के जटिल आयाम दो होते हैं (एक जटिल कई गुना के रूप में, जब यह गैर-एकवचन होता है) और आयाम चार के रूप में एक चिकनी कई गुना होता है।

बीजगणितीय सतहों का सिद्धांत बीजगणितीय वक्रों (कॉम्पैक्ट जगह रीमैन सतहों सहित, जो (वास्तविक) आयाम दो की वास्तविक सतह (टोपोलॉजी) हैं) की तुलना में बहुत अधिक जटिल है। हालाँकि, कई परिणाम बीजगणितीय रेखागणित के इतालवी स्कूल में प्राप्त किए गए थे, और 100 वर्ष तक पुराने हैं।

कोडैरा आयाम द्वारा वर्गीकरण

Main article: Enriques–Kodaira classification

आयाम के मामले में एक किस्मों को केवल जाति द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, लेकिन आयाम दो, अंकगणितीय जीनस के बीच का अंतर $p_{a}$ और ज्यामितीय जीनस $p_{g}$ महत्वपूर्ण हो जाता है क्योंकि हम केवल सांस्थितिक जीनस को द्विभाजित रूप से अलग नहीं कर सकते हैं। फिर हम उनके वर्गीकरण के लिए सतह की अनियमितता का परिचय देते हैं। परिणामों का सारांश (विस्तार से, प्रत्येक प्रकार की सतह के लिए प्रत्येक पुनर्निर्देशन को संदर्भित करता है), इस प्रकार है:

बीजगणितीय सतहों के उदाहरणों में शामिल हैं (κ कोडैरा आयाम है):

• κ = −∞: जटिल प्रक्षेपी विमान, पी में द्विघात्स³, घन सतह, वेरोनीज़ सतहें, टुकड़े की सतह का, शासित सतहें
• κ = 0 : K3 सतहें, आबेली सतहें, एनरिकस सरफेस, हाइपरेलिप्टिक सतहें
• κ = 1: अण्डाकार सतहें
• κ = 2: सामान्य प्रकार की सतह।

अधिक उदाहरणों के लिए बीजगणितीय सतहों की सूची देखें।

पहले पांच उदाहरण वास्तव में द्विभाजित समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, एक क्यूबिक सतह में एक बीजगणितीय विविधता आइसोमोर्फिक का एक कार्य क्षेत्र होता है जो प्रक्षेपी विमान का होता है, जो दो अनिश्चित में तर्कसंगत कार्य होता है। दो वक्रों का कार्तीय गुणनफल भी उदाहरण प्रदान करता है।

सतहों की बिरेशनल ज्यामिति

बीजगणितीय सतहों की द्विवार्षिक ज्यामिति समृद्ध है, क्योंकि ऊपर उड़ना (एक मोनोइडल परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है), जिसके तहत एक बिंदु को इसमें आने वाली सभी सीमित स्पर्शरेखा दिशाओं (एक प्रक्षेपी रेखा) के वक्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। कुछ वक्रों को उड़ाया भी जा सकता है, लेकिन एक प्रतिबंध है (स्वयं-चौराहे की संख्या -1 होनी चाहिए)।

Castelnuovo की प्रमेय

सतहों के बिरेशनल ज्यामिति के लिए मूलभूत प्रमेयों में से एक है Castelnuovo का संकुचन प्रमेय|Castelnuovo का प्रमेय। यह बताता है कि बीजगणितीय सतहों के बीच किसी भी द्विभाजित मानचित्र को ब्लोअप और ब्लोडाउन के एक सीमित अनुक्रम द्वारा दिया जाता है।

गुण

पर्याप्त लाइन बंडल#इंटरसेक्शन प्रमेय कहता है कि:

एक विभाजक 'डी' सतह पर 'एस' पर्याप्त है अगर और केवल अगर 'डी'² > 0 और S D•C > 0 पर सभी अलघुकरणीय वक्र C के लिए।

पर्याप्त विभाजक के पास एक अच्छी संपत्ति है जैसे कि यह प्रोजेक्टिव स्पेस के कुछ हाइपरप्लेन बंडल का पुलबैक है, जिसके गुण बहुत प्रसिद्ध हैं। होने देना ${\mathcal {D}}(S)$ एबेलियन समूह बनें जिसमें एस पर सभी विभाजक शामिल हों। फिर प्रतिच्छेदन संख्या के कारण

${\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y$

द्विघात रूप में देखा जाता है। होने देना

${\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{for all }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}$

तब ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ 'एस' का एक संख्यात्मक समतुल्य वर्ग समूह बन जाता है और

$Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E$

पर द्विघात रूप भी बन जाता है $Num(S)$, कहां ${\bar {D}}$ एस पर भाजक डी की छवि है। (नीचे की छवि में ${\bar {D}}$ डी के साथ संक्षिप्त है।)

S पर एक पर्याप्त लाइन बंडल H के लिए, परिभाषा

$\{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.$

हॉज इंडेक्स प्रमेय के सतह संस्करण में प्रयोग किया जाता है:

के लिए $D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0$, यानी चौराहे के रूप का प्रतिबंध $\{H\}^{\perp }$ एक नकारात्मक निश्चित द्विघात रूप है।

यह प्रमेय सतहों के लिए नकाई कसौटी और रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया गया है। हॉज इंडेक्स प्रमेय का उपयोग डेलिग्ने के वेइल अनुमानों के प्रमाण में किया जाता है।

बीजगणितीय सतहों पर मूल परिणामों में हॉज इंडेक्स प्रमेय शामिल है, और बीजगणितीय सतहों का वर्गीकरण कहे जाने वाले द्विवार्षिक तुल्यता वर्गों के पांच समूहों में विभाजन शामिल है। कोडैरा आयाम 2 का सामान्य प्रकार वर्ग, बहुत बड़ा है ('पी' में गैर-एकवचन सतह के लिए डिग्री 5 या बड़ा)³ इसमें निहित है, उदाहरण के लिए)।

एक सतह के आवश्यक तीन हॉज नंबर इनवेरिएंट हैं। उनमें से, एच^1,0 को शास्त्रीय रूप से अनियमितता कहा जाता था और इसे q द्वारा निरूपित किया जाता था; और वह^2,0 को ज्यामितीय जीनस p कहा जाता थाg. तीसरा, एच^1,1, एक द्विवार्षिक अपरिवर्तनीय नहीं है, क्योंकि उड़ाने से एच में कक्षाओं के साथ पूरे घटता जोड़ सकते हैं^1,1. यह ज्ञात है कि हौज चक्र बीजगणितीय होते हैं, और यह कि बीजगणितीय तुल्यता समजातीय तुल्यता के साथ मेल खाती है, ताकि h^1,1 नेरोन-सेवेरी समूह के रैंक ρ के लिए एक ऊपरी सीमा है। अंकगणित जीनस पीa अंतर है

ज्यामितीय जीनस - अनियमितता।

वास्तव में यह बताता है कि अनियमितता को इसका नाम क्यों मिला, एक प्रकार की 'त्रुटि शब्द' के रूप में।

सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय

Main article: Riemann-Roch theorem for surfaces

सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय सबसे पहले मैक्स नोथेर द्वारा तैयार किया गया था। सतहों पर वक्रों के परिवारों को वर्गीकृत किया जा सकता है, एक अर्थ में, और उनकी बहुत दिलचस्प ज्यामिति को जन्म देते हैं।

संदर्भ

• Dolgachev, I.V. (2001) [1994], "Algebraic surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Zariski, Oscar (1995), Algebraic surfaces, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58658-6, MR 1336146

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• एक बीजगणितीय विविधता का आयाम
• चिकना कई गुना
• अंक शास्त्र
• बीजगणितीय किस्म
• गैर विलक्षण
• बीजगणितीय ज्यामिति का इतालवी स्कूल
• अंकगणितीय जाति
• कोडैरा ग्राउंड सिय्योन
• एबेलियन सतह
• द्विभाजित रूप से समतुल्य
• एक बीजगणितीय विविधता का कार्य क्षेत्र
• द्विभाजित ज्यामिति
• उड़ाते हुए
• प्रक्षेपण रेखा
• चौराहे की संख्या
• वील अनुमान
• द्विपदीय अपरिवर्तनीय
• हॉज चक्र
• समरूपता
• बीजगणितीय समानता

बाहरी कड़ियाँ

• Free program SURFER to visualize algebraic surfaces in real-time, including a user gallery.
• SingSurf an interactive 3D viewer for algebraic surfaces.
• Page on Algebraic Surfaces started in 2008
• Overview and thoughts on designing Algebraic surfaces