बीयर-लैंबर्ट कानून

प्रकाश को अवशोषित करने वाली रासायनिक प्रजातियों की सांद्रता निर्धारित करने के लिए बीयर-लैंबर्ट कानून आमतौर पर रासायनिक विश्लेषण मापों पर लागू होता है। इसे अक्सर बियर के नियम के रूप में जाना जाता है। भौतिकी में, बौगुएर-लैंबर्ट कानून एक अनुभवजन्य कानून है जो प्रकाश के विलुप्त होने या अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) को उस सामग्री के गुणों से संबंधित करता है जिसके माध्यम से प्रकाश यात्रा कर रहा है। इसका सर्वप्रथम उपयोग विलुप्त होने (खगोल विज्ञान)|खगोलीय विलोपन में हुआ था। विलुप्त होने का मौलिक कानून (प्रक्रिया विकिरण की तीव्रता और विकिरण सक्रिय पदार्थ की मात्रा में रैखिक है, बशर्ते कि भौतिक स्थिति स्थिर हो) को कभी-कभी बीयर-बाउगर-लैंबर्ट कानून या बौगुर-बीयर-लैंबर्ट कानून कहा जाता है या केवल विलुप्त होने का कानून। विलोपन नियम का उपयोग फोटॉन, न्यूट्रॉन या दुर्लभ गैसों के लिए भौतिक प्रकाशिकी में क्षीणन को समझने के लिए भी किया जाता है। गणितीय भौतिकी में, यह नियम भटनागर-ग्रॉस-क्रूक संकारक के समाधान के रूप में उत्पन्न होता है।

इतिहास

बौगुएर-लैम्बर्ट नियम: यह नियम 1729 से पहले पियरे बौगर द्वारा की गई टिप्पणियों पर आधारित है। इसका श्रेय अक्सर जोहान हेनरिक लैम्बर्ट को दिया जाता है, जिन्होंने बाउगर का हवाला दिया Essai d'optique sur la gradation de la lumière (क्लॉड जोम्बर्ट, पेरिस, 1729) - और यहां तक ​​कि इससे उद्धृत - 1760 में अपने फोटोमेट्रिया में। लैम्बर्ट ने कानून को व्यक्त किया, जिसमें कहा गया है कि प्रकाश की तीव्रता का नुकसान जब यह एक माध्यम में फैलता है, तो आज के गणितीय रूप में, तीव्रता और पथ की लंबाई के सीधे आनुपातिक है।

लैम्बर्ट ने तीव्रता को मानकर प्रारंभ किया {{mvar|I}अवशोषी पिंड में यात्रा करने वाले प्रकाश की } अंतर समीकरण द्वारा दी जाएगी: $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ जो बाउगर की टिप्पणियों के अनुकूल है। आनुपातिकता का स्थिरांक μ को अक्सर शरीर का ऑप्टिकल घनत्व कहा जाता था। दूरी पर तीव्रता खोजने के लिए एकीकृत करना d शरीर में, एक प्राप्त करता है: ${\textstyle \ln(I_{0}/I)=\int _{0}^{d}\mu \mathrm {d} x.}$ एक सजातीय माध्यम के लिए, यह कम हो जाता है: $\ln(I_{0}/I)=\mu d,$ जिससे घातीय क्षीणन कानून का पालन होता है: $I=I_{0}e^{-\mu d}.$ बीयर का नियम: बहुत बाद में, 1852 में, जर्मन वैज्ञानिक अगस्त बीयर ने एक और क्षीणन संबंध का अध्ययन किया। अपने क्लासिक पेपर के परिचय में, उन्होंने लिखा: रंगीन पदार्थ के विकिरण के दौरान प्रकाश का अवशोषण अक्सर प्रयोग का विषय रहा है; लेकिन ध्यान हमेशा विभिन्न रंगों के सापेक्ष ह्रास या, क्रिस्टलीय निकायों के मामले में, अवशोषण और ध्रुवीकरण की दिशा के बीच संबंध पर निर्देशित किया गया है। अवशोषण के पूर्ण परिमाण के संबंध में कि प्रकाश की एक विशेष किरण अवशोषित माध्यम के माध्यम से प्रकाश के प्रसार के दौरान पीड़ित होती है, कोई जानकारी उपलब्ध नहीं है। विभिन्न लवणों के रंगीन जलीय घोलों में लाल प्रकाश के अवशोषण का अध्ययन करके, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एक केंद्रित घोल के संप्रेषण को तनु घोल के संप्रेषण के माप से प्राप्त किया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि उन्होंने घातांक संबंधों को समझा, जैसा कि उन्होंने लिखा: यदि ${\lambda }$ ह्रास का गुणांक (अंश) है, तो इस गुणांक (अंश) का मान होगा $\lambda ^{2}$ इस मोटाई को दोगुना करने के लिए। इसके अलावा बीयर ने कहा: हम अवशोषण गुणांक को एक प्रकाश किरण द्वारा सहन किए गए आयाम में कमी देने वाले गुणांक के रूप में लेंगे क्योंकि यह एक अवशोषित सामग्री की एक इकाई लंबाई से गुजरता है। फिर हमारे पास, सिद्धांत के अनुसार, और जैसा कि मैंने प्रयोग द्वारा सत्यापित पाया है, $\lambda =\mu ^{D}$ कहाँ $\mu$ अवशोषण गुणांक है और डी प्रयोग में अवशोषित सामग्री की लंबाई है। यह वह रिश्ता है जिसे उचित रूप से बीयर का नियम कहा जा सकता है। इस बात का कोई सबूत नहीं है कि बीयर ने बीयर-लैम्बर्ट कानून के तरीके से एक समीकरण में एकाग्रता और पथ की लंबाई को सममित चर के रूप में देखा। बीयर-लैंबर्ट कानून: बीयर-लैंबर्ट कानून का आधुनिक सूत्रीकरण लैम्बर्ट के गणितीय रूप में बौगुएर और बीयर की टिप्पणियों को जोड़ता है। यह अवशोषण को सहसंबद्ध करता है, जिसे अक्सर संप्रेषण के नकारात्मक दशकीय लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो कि क्षीणन प्रजातियों की एकाग्रता और सामग्री के नमूने की मोटाई दोनों के लिए होता है। 1913 में रॉबर्ट लूथर और एंड्रियास निकोलोपुलोस द्वारा एक प्रारंभिक, संभवतः पहला, आधुनिक सूत्रीकरण दिया गया था।

आवेदन क्षेत्रों में बाउगर और बीयर के बीच अंतर

जबकि बीयर-लैंबर्ट कानून में बोगुएर और बीयर की टिप्पणियों का एक समान रूप है, उनके अवलोकन के क्षेत्र बहुत अलग थे। दोनों प्रयोगकर्ताओं के लिए, घटना बीम एक फोटोडिटेक्टर के साथ अच्छी तरह से टकराया हुआ बीम था, जो अधिमानतः सीधे प्रेषित प्रकाश का पता लगाता था।

बीयर ने विशेष रूप से समाधानों को देखा। समाधान सजातीय हैं और आमतौर पर विश्लेषणात्मक स्पेक्ट्रोस्कोपी (प्रवेश और निकास को छोड़कर) में उपयोग किए जाने वाले तरंग दैर्ध्य के प्रकाश (पराबैंगनी, दृश्यमान स्पेक्ट्रम, अवरक्त ) को बिखेरते नहीं हैं। एक विलयन के भीतर प्रकाश की किरण का क्षीणन केवल अवशोषण के कारण माना जाता है। बीयर लैम्बर्ट कानून के लिए आवश्यक शर्तों को अनुमानित करने के लिए, अक्सर एक संदर्भ नमूने के माध्यम से प्रेषित प्रकाश की तीव्रता $(I_{R})$ शुद्ध विलायक से मिलकर मापा जाता है, और एक नमूने के माध्यम से प्रेषित प्रकाश की तीव्रता की तुलना में $(I_{S})$, इस रूप में लिए गए नमूने के अवशोषण के साथ: ${\log {{\bigl (}I_{R}/I_{S}{\big )}}}$. यह इस मामले के लिए है कि सामान्य गणितीय सूत्रीकरण (नीचे देखें) लागू होता है: $\log(I_{R}/I_{S})=A=\varepsilon \ell c$ बाउगर ने खगोलीय घटनाओं को देखा जहां प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी की तुलना में एक डिटेक्टर का आकार बहुत छोटा होता है। इस मामले में, कोई भी प्रकाश जो किसी कण द्वारा बिखरा हुआ है, या तो आगे बिखराव या बैकस्कैटर दिशा में, डिटेक्टर पर नहीं गिरेगा। संसूचक की तीव्रता में कमी अवशोषण और बिखराव दोनों के कारण होगी। नतीजतन, कुल नुकसान को क्षीणन (अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) के बजाय) कहा जाता है। एक एकल माप दोनों को अलग नहीं कर सकता है, लेकिन वैचारिक रूप से प्रत्येक के योगदान को क्षीणन गुणांक में अलग किया जा सकता है। अगर $I_{0}$ यात्रा की शुरुआत में प्रकाश की तीव्रता है और $I_{d}$ दूरी की यात्रा के बाद पता चला प्रकाश की तीव्रता है $d$, प्रेषित अंश, $T$, द्वारा दिया गया है: $T={\frac {I_{0}}{I_{d}}}=\exp(-\mu d)$, कहाँ $\mu$ प्रसार स्थिरांक # क्षीणन स्थिरांक या गुणांक कहा जाता है। प्रेषित प्रकाश की मात्रा दूरी के साथ चरघातांकी रूप से कम हो रही है। उपरोक्त समीकरण में प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:$-\ln(T)=\ln {\frac {I_{0}}{I_{d}}}=\mu d$ . बिखरने वाले मीडिया के लिए, स्थिरांक को अक्सर दो भागों में विभाजित किया जाता है, $\mu =\mu _{s}+\mu _{a}$, इसे एक बिखरने वाले गुणांक में अलग करना, $\mu _{s}$, और एक अवशोषण गुणांक, $\mu _{a}$.

अवशोषकता, क्रॉस सेक्शन और गुणांक की इकाइयां

विलुप्त होने का मौलिक कानून बताता है विलुप्त होने की प्रक्रिया विकिरण की तीव्रता और विकिरण सक्रिय पदार्थ की मात्रा में रैखिक है, बशर्ते कि भौतिक स्थिति स्थिर हो। (न तो एकाग्रता या लंबाई मौलिक पैरामीटर हैं।) ऐसे दो कारक हैं जो उस डिग्री को निर्धारित करते हैं जिसमें कण युक्त माध्यम एक प्रकाश किरण को क्षीण करेगा: प्रकाश किरण द्वारा सामना किए गए कणों की संख्या, और प्रत्येक कण प्रकाश को बुझाता है। . अवशोषण (बीयर) के मामले में, इस बाद की मात्रा को अवशोषणशीलता कहा जाता है [$\epsilon$], जिसे शरीर की संपत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है जो शरीर द्वारा अवशोषित घटना विकिरण के अंश को निर्धारित करता है। बीयर-लैंबर्ट कानून $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ बीम का सामना करने वाले कणों की संख्या निर्धारित करने के लिए एकाग्रता और लंबाई का उपयोग करता है। यदि हम एक संपार्श्विक बीम (निर्देशित विकिरण) का क्षेत्र जानते हैं, तो हम दूरी में कणों की संख्या प्राप्त कर सकते हैं। मिलने वाले कणों की संख्या की गणना अवोगाद्रो स्थिरांक से की जा सकती है। अवगाद्रो की संख्या, दाढ़ की सघनता, क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) | घटना बीम का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$.

इस संबंध को बनाए रखने के लिए बड़ी संख्या में ऐसे कण होने चाहिए जो समान रूप से वितरित हों। व्यवहार में, बीम क्षेत्र को स्थिर माना जाता है, और अंश के बाद से [$I/I_{0}$] अंश और भाजक दोनों में क्षेत्र है, अवशोषण की गणना में बीम क्षेत्र रद्द कर देता है। अवशोषण की इकाइयों को उन इकाइयों से मेल खाना चाहिए जिनमें नमूना वर्णित है। उदाहरण के लिए, यदि नमूना द्रव्यमान एकाग्रता (रसायन विज्ञान) (जी/एल) और लंबाई (सेमी) द्वारा वर्णित है, तो अवशोषण पर इकाइयां [एल जी^-1 सेमी^-1], ताकि अवशोषण की कोई इकाई न हो।

विलुप्त होने (खगोल विज्ञान) (बाउगर) के मामले में, अवशोषण और बिखराव का योग, अवशोषण क्रॉस सेक्शन, बिखरने वाला क्रॉस सेक्शन और विलुप्त होने वाले क्रॉस-सेक्शन का उपयोग अक्सर किया जाता है। नमूने द्वारा बुझाए गए प्रकाश के अंश को विलोपन क्रॉस सेक्शन (प्रति कण बुझा हुआ अंश) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। एक इकाई दूरी में कणों की संख्या और उन इकाइयों में दूरी। उदाहरण के लिए: [(अंश निर्वापित / कण)  (  # कण / मीटर)   (# मीटर / नमूना) = अंश बुझा / नमूना]

गणितीय सूत्र

बीयर-लैंबर्ट कानून की एक आम और व्यावहारिक अभिव्यक्ति एक भौतिक सामग्री के ऑप्टिकल क्षीणन से संबंधित है जिसमें प्रजातियों के नमूना और मोलर अवशोषकता के माध्यम से ऑप्टिकल पथ की लंबाई के लिए एकसमान एकाग्रता की एकल क्षीणन प्रजातियां होती हैं। यह अभिव्यक्ति है:

$$\log(I_{0}/I)=A=\varepsilon \ell c$$

कहाँ

• A अवशोषण है
• ε क्षीणन प्रजातियों का दाढ़ क्षीणन गुणांक या दाढ़ अवशोषक है
• ℓ ऑप्टिकल पथ की लंबाई है
• c क्षीण प्रजातियों की दाढ़ की सघनता है

बीयर-लैंबर्ट कानून का एक अधिक सामान्य रूप बताता है कि, के लिए N सामग्री के नमूने में क्षीणन प्रजातियां,

$${\begin{aligned}T&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\mathrm {d} z\right),\end{aligned}}$$

या समकक्ष वह

$${\begin{aligned}\tau &=\sum _{i=1}^{N}\tau _{i}=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\,\mathrm {d} z,\\[4pt]A&=\sum _{i=1}^{N}A_{i}=\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\,\mathrm {d} z,\end{aligned}}$$

कहाँ

• σ_i क्षीणन प्रजातियों का क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) है i सामग्री के नमूने में;
• n_i क्षीणन प्रजातियों की संख्या घनत्व है i सामग्री के नमूने में;
• ε_i क्षीणन प्रजातियों का दाढ़ क्षीणन गुणांक या दाढ़ अवशोषक है i सामग्री के नमूने में;
• c_i क्षीणन प्रजातियों की राशि सांद्रता है i सामग्री के नमूने में;
• ℓ सामग्री के नमूने के माध्यम से प्रकाश की किरण की पथ लंबाई है।

उपरोक्त समीकरणों में, संप्रेषण {{mvar|T}सामग्री का नमूना इसकी ऑप्टिकल गहराई से संबंधित है τ और इसके अवशोषण के लिए A निम्न परिभाषा द्वारा

$$T={\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}}=e^{-\tau }=10^{-A},$$

कहाँ

• $\mathrm {\Phi _{e}^{t}}$ उस सामग्री के नमूने द्वारा प्रेषित दीप्तिमान प्रवाह है;
• $\mathrm {\Phi _{e}^{i}}$ उस सामग्री के नमूने द्वारा प्राप्त उज्ज्वल प्रवाह है।

क्षीणन क्रॉस सेक्शन और दाढ़ क्षीणन गुणांक से संबंधित हैं

$$\varepsilon _{i}={\frac {\mathrm {N_{A}} }{\ln {10}}}\,\sigma _{i},$$

और संख्या घनत्व और राशि एकाग्रता द्वारा

$${\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i},\\[4pt]A&=\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}.\end{aligned}}$$

$$c_{i}={\frac {n_{i}}{\mathrm {N_{A}} }},$$

कहाँ N_A अवोगाद्रो नियतांक है। एकसमान क्षीणन की स्थिति में ये संबंध बन जाते हैं

$${\begin{aligned}T&=\exp \left(-\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i}\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}\right),\end{aligned}}$$

या समकक्ष

$${\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i},\\[4pt]A&=\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}.\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i},\\[4pt]A&=\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}.\end{aligned}}$$

उदाहरण के लिए वायुमंडलीय विज्ञान अनुप्रयोगों और विकिरण परिरक्षण सिद्धांत में गैर-समान क्षीणन के मामले होते हैं।

कानून बहुत अधिक सांद्रता पर टूट जाता है, खासकर अगर सामग्री अत्यधिक बिखरी हुई हो। बीयर-लैंबर्ट कानून में रैखिकता बनाए रखने के लिए 0.2 से 0.5 की सीमा के भीतर अवशोषण आदर्श है। यदि विकिरण विशेष रूप से तीव्र है, तो गैर-रैखिक प्रकाशिकी प्रक्रियाएं भी भिन्नताएं पैदा कर सकती हैं। हालांकि, मुख्य कारण यह है कि एकाग्रता निर्भरता सामान्य रूप से गैर-रैखिक है और बीयर का नियम केवल कुछ शर्तों के तहत मान्य है जैसा कि नीचे व्युत्पत्ति द्वारा दिखाया गया है। मजबूत ऑसिलेटर्स और उच्च सांद्रता के लिए विचलन मजबूत होते हैं। यदि अणु एक-दूसरे के करीब हैं तो परस्पर क्रियाएं शुरू हो सकती हैं। इन अंतःक्रियाओं को मोटे तौर पर भौतिक और रासायनिक अंतःक्रियाओं में विभाजित किया जा सकता है। भौतिक संपर्क अणुओं की ध्रुवीकरण क्षमता को तब तक नहीं बदलते जब तक कि बातचीत इतनी मजबूत न हो कि प्रकाश और आणविक क्वांटम अवस्था इंटरमिक्स (मजबूत युग्मन), लेकिन विद्युत चुम्बकीय युग्मन के माध्यम से क्षीणन क्रॉस सेक्शन गैर-योज्य हो। इसके विपरीत रासायनिक अंतःक्रियाएं ध्रुवीकरण और इस प्रकार अवशोषण को बदल देती हैं।

=== क्षीणन गुणांक === के साथ अभिव्यक्ति कानून को क्षीणन गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन इस मामले में इसे बौगुएर-लैंबर्ट का कानून कहा जाता है। (नेपियरियन) क्षीणन गुणांक $\mu$ और दशकीय क्षीणन गुणांक $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}}$ एक सामग्री के नमूने की मात्रा इसकी संख्या घनत्व और मात्रा सांद्रता से संबंधित होती है

$${\begin{aligned}\mu (z)&=\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(z)=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i}(z),\\[4pt]\mu _{10}(z)&=\sum _{i=1}^{N}\mu _{10,i}(z)=\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}(z)\end{aligned}}$$

क्रमशः, क्षीणन क्रॉस सेक्शन और मोलर क्षीणन गुणांक की परिभाषा द्वारा। तब अव बन जाता है

$${\begin{aligned}T&=\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right),\end{aligned}}$$

और

$${\begin{aligned}\tau &=\int _{0}^{\ell }\mu (z)\,\mathrm {d} z,\\[4pt]A&=\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}$$

एकसमान क्षीणन की स्थिति में ये संबंध बन जाते हैं

$$T=e^{-\mu \ell }=10^{-\mu _{10}\ell },$$

या समकक्ष

$${\begin{aligned}\tau &=\mu \ell ,\\[4pt]A&=\mu _{10}\ell .\end{aligned}}$$

कई मामलों में, क्षीणन गुणांक भिन्न नहीं होता है $z$, जिस मामले में किसी को एक अभिन्न प्रदर्शन नहीं करना पड़ता है और कानून को इस प्रकार व्यक्त कर सकता है:

$$I(z)=I_{0}e^{-\mu z}$$

जहां क्षीणन आमतौर पर अवशोषण गुणांक का जोड़ होता है $\alpha$ (इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े का निर्माण) या प्रकीर्णन (उदाहरण के लिए रेले स्कैटरिंग यदि प्रकीर्णन केंद्र घटना तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत छोटा है)। यह भी ध्यान दें कि कुछ प्रणालियों के लिए हम रख सकते हैं $1/\lambda$ (1 ओवर इनलेस्टिक मीन फ्री पाथ) के स्थान पर $\mu$.

व्युत्पत्ति

मान लें कि प्रकाश की एक किरण सामग्री के नमूने में प्रवेश करती है। परिभाषित करना z बीम की दिशा के समानांतर अक्ष के रूप में। सामग्री के नमूने को मोटाई के साथ प्रकाश की किरण के लंबवत पतली स्लाइस में विभाजित करें dz पर्याप्त रूप से छोटा है कि एक स्लाइस में एक कण दूसरे कण को ​​उसी स्लाइस में अस्पष्ट नहीं कर सकता है जब साथ में देखा जाता है z दिशा। एक स्लाइस से निकलने वाले प्रकाश का उज्ज्वल प्रवाह, उसमें प्रवेश करने वाले प्रकाश की तुलना में कम हो जाता है, द्वारा $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ कहाँ μ (नेपियरियन) क्षीणन गुणांक है, जो निम्नलिखित प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण, साधारण अंतर समीकरण उत्पन्न करता है:

$${\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z).$$

क्षीणन उन फोटॉनों के कारण होता है जो बिखरने या अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) के कारण टुकड़ा के दूसरी तरफ नहीं बन पाए। इस अवकल समीकरण का हल समाकलन गुणक को गुणा करके प्राप्त किया जाता है

$$\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)$$

प्राप्त करने के लिए

$${\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\,\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)+\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)=0,$$

जो उत्पाद नियम (पीछे की ओर लागू) के कारण सरल हो जाता है

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[\Phi _{\mathrm {e} }(z)\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)\right]=0.$$

दोनों पक्षों को एकीकृत करना और के लिए हल करना Φ_e वास्तविक मोटाई की सामग्री के लिए ℓ, घटना के साथ टुकड़ा पर उज्ज्वल प्रवाह $\mathrm {\Phi _{e}^{i}} =\mathrm {\Phi _{e}} (0)$ और प्रेषित चमकदार प्रवाह $\mathrm {\Phi _{e}^{t}} =\mathrm {\Phi _{e}} (\ell )$ देता है

$$\mathrm {\Phi _{e}^{t}} =\mathrm {\Phi _{e}^{i}} \exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right),$$

और अंत में

$$T=\mathrm {\frac {\Phi _{e}^{t}}{\Phi _{e}^{i}}} =\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right).$$

दशकीय क्षीणन गुणांक के बाद से μ₁₀ (नेपियरियन) क्षीणन गुणांक से संबंधित है $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}},$ हमारे पास भी है

$${\begin{aligned}T&=\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\ln {10}\,\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right)^{\ln {10}}\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right).\end{aligned}}$$

संख्या घनत्व से स्वतंत्र तरीके से क्षीणन गुणांक का वर्णन करने के लिए n_i की N पदार्थ के नमूने की क्षीण प्रजाति, एक क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) का परिचय देता है $\sigma _{i}={\tfrac {\mu _{i}(z)}{n_{i}(z)}}.$ σ_i क्षेत्र का आयाम है; यह बीम के कणों और प्रजातियों के कणों के बीच परस्पर क्रिया की संभावना को व्यक्त करता है i सामग्री के नमूने में:

$$T=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right).$$

कोई दाढ़ क्षीणन गुणांक का भी उपयोग कर सकता है $\varepsilon _{i}={\tfrac {\mathrm {N_{A}} }{\ln 10}}\sigma _{i},$ कहाँ N_A अवोगाद्रो स्थिरांक है, जिसका उपयोग क्षीणन गुणांक को राशि सांद्रता से स्वतंत्र तरीके से वर्णित करने के लिए किया जाता है $c_{i}(z)=n_{i}{\tfrac {z}{\mathrm {N_{A}} }}$ सामग्री के नमूने की क्षीणन प्रजातियों में से:

$${\begin{aligned}T&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {N_{A}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{i}(z)}{\mathrm {N_{A}} }}\mathrm {d} z\right)^{\ln {10}}\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\mathrm {d} z\right).\end{aligned}}$$

वैधता

कुछ शर्तों के तहत बीयर-लैंबर्ट कानून विश्लेषण के क्षीणन और एकाग्रता के बीच एक रैखिक संबंध बनाए रखने में विफल रहता है। इन विचलनों को तीन श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है:

1. वास्तविक—कानून की सीमाओं के कारण मौलिक विचलन।
2. रासायनिक—जिस नमूने का विश्लेषण किया जा रहा है उसकी विशिष्ट रासायनिक प्रजातियों के कारण विचलन देखा गया।
3. उपकरण—विचलन जो क्षीणन मापन के तरीके के कारण होता है।

बीयर-लैंबर्ट कानून के वैध होने के लिए कम से कम छह शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता है। ये:

1. एटेन्यूएटर्स को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करना चाहिए।
2. एटेन्यूएटिंग माध्यम इंटरेक्शन वॉल्यूम में सजातीय होना चाहिए।
3. क्षीण करने वाले माध्यम को विकिरण को बिखेरना नहीं चाहिए - कोई मैलापन नहीं - जब तक कि इसे विभेदक ऑप्टिकल अवशोषण स्पेक्ट्रोस्कोपी के रूप में नहीं माना जाता है।
4. आपतित विकिरण में समानांतर किरणें होनी चाहिए, प्रत्येक अवशोषी माध्यम में समान लंबाई में घूम रही हों।
5. घटना विकिरण अधिमानतः एकरंगा होना चाहिए, या कम से कम एक चौड़ाई होनी चाहिए जो क्षीणन संक्रमण की तुलना में संकीर्ण हो। अन्यथा एक फोटोडायोड के बजाय शक्ति के लिए डिटेक्टर के रूप में एक स्पेक्ट्रोमीटर की आवश्यकता होती है जो तरंग दैर्ध्य के बीच भेदभाव नहीं कर सकता।
6. घटना प्रवाह परमाणुओं या अणुओं को प्रभावित नहीं करना चाहिए; इसे केवल अध्ययन के तहत प्रजातियों की गैर-इनवेसिव जांच के रूप में कार्य करना चाहिए। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि प्रकाश को ऑप्टिकल संतृप्ति या ऑप्टिकल पंपिंग का कारण नहीं बनना चाहिए, क्योंकि इस तरह के प्रभाव निचले स्तर को कम कर देंगे और संभवतः उत्तेजित उत्सर्जन को जन्म देंगे।

यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो बीयर-लैंबर्ट कानून से विचलन होगा।

स्पेक्ट्रोफोटोमेट्री द्वारा रासायनिक विश्लेषण

नमूने के व्यापक पूर्व-प्रसंस्करण की आवश्यकता के बिना, स्पेक्ट्रोफोटोमेट्री द्वारा मिश्रण के विश्लेषण के लिए बीयर-लैंबर्ट कानून लागू किया जा सकता है। एक उदाहरण रक्त प्लाज्मा के नमूनों में बिलीरुबिन का निर्धारण है। शुद्ध बिलीरुबिन का स्पेक्ट्रम ज्ञात है, इसलिए दाढ़ क्षीणन गुणांक ε ज्ञात है। दशकीय क्षीणन गुणांक का मापन μ₁₀ एक तरंग दैर्ध्य पर बने होते हैं λ जो संभावित व्यवधानों को सही करने के लिए बिलीरुबिन और दूसरी तरंग दैर्ध्य के लिए लगभग अद्वितीय है। राशि एकाग्रता c तब द्वारा दिया जाता है

$$c={\frac {\mu _{10}(\lambda )}{\varepsilon (\lambda )}}.$$

अधिक जटिल उदाहरण के लिए, मात्रा सांद्रता पर दो प्रजातियों वाले समाधान में मिश्रण पर विचार करें c₁ और c₂. किसी भी तरंग दैर्ध्य पर डेकाडिक क्षीणन गुणांक λ द्वारा दिया गया है

$$\mu _{10}(\lambda )=\varepsilon _{1}(\lambda )c_{1}+\varepsilon _{2}(\lambda )c_{2}.$$

इसलिए, दो तरंग दैर्ध्य पर मापन दो अज्ञात में दो समीकरण उत्पन्न करता है और मात्रा सांद्रता निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होगा c₁ और c₂ जब तक दो घटकों के दाढ़ क्षीणन गुणांक, ε₁ और ε₂ दोनों तरंग दैर्ध्य पर जाना जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके इन दो प्रणाली समीकरणों को हल किया जा सकता है। व्यवहार में दो से अधिक तरंग दैर्ध्य पर किए गए मापों से दो राशि सांद्रता निर्धारित करने के लिए रैखिक कम से कम वर्गों (गणित) का उपयोग करना बेहतर होता है। दो से अधिक घटकों वाले मिश्रण का विश्लेषण उसी तरह से किया जा सकता है, जिसमें न्यूनतम का उपयोग किया जाता है N युक्त मिश्रण के लिए तरंग दैर्ध्य N अवयव।

बहुलक गिरावट और ऑक्सीकरण (जैविक ऊतक में भी) के विश्लेषण के साथ-साथ विभिन्न खाद्य नमूने में विभिन्न यौगिकों की एकाग्रता को मापने के लिए कानून का व्यापक रूप से निकट-अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपी और निकट-अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपी में उपयोग किया जाता है। लगभग 6 माइक्रोमीटर पर कार्बोनिल समूह क्षीणन का आसानी से पता लगाया जा सकता है, और गणना की गई बहुलक के ऑक्सीकरण की डिग्री।

वातावरण के लिए आवेदन

सौर या तारकीय विकिरण के क्षीणन का वर्णन करने के लिए बौगुएर-लैंबर्ट कानून लागू किया जा सकता है क्योंकि यह वायुमंडल के माध्यम से यात्रा करता है। इस मामले में, विकिरण के बिखरने के साथ-साथ अवशोषण भी होता है। तिरछे पथ के लिए ऑप्टिकल गहराई है τ′ = m τ, कहाँ τ एक लंबवत पथ को संदर्भित करता है, m को वायु द्रव्यमान कहा जाता है, और समतल-समानांतर वातावरण के लिए इसे निर्धारित किया जाता है m = sec θ कहाँ θ दिए गए पथ के संगत चरम कोण है। वातावरण के लिए बाउगर-लैंबर्ट नियम आमतौर पर लिखा जाता है

$$T=\exp {\big (}-m(\tau _{\mathrm {a} }+\tau _{\mathrm {g} }+\tau _{\mathrm {RS} }+\tau _{\mathrm {NO_{2}} }+\tau _{\mathrm {w} }+\tau _{\mathrm {O_{3}} }+\tau _{\mathrm {r} }+\cdots ){\bigr )},$$

जहां प्रत्येक τ_x ऑप्टिकल गहराई है जिसका सबस्क्रिप्ट अवशोषण या बिखरने के स्रोत की पहचान करता है जो इसका वर्णन करता है:

• a एयरोसौल्ज़ को संदर्भित करता है (जो अवशोषित और बिखेरता है);
• g समान रूप से मिश्रित गैसें हैं (मुख्य रूप से कार्बन डाईऑक्साइड (CO₂) और आणविक ऑक्सीजन (O₂) जो केवल अवशोषित करता है);
• NO₂ नाइट्रोजन डाइऑक्साइड है, मुख्य रूप से शहरी प्रदूषण (केवल अवशोषण) के कारण;
• RS रमन के वातावरण में बिखरने के प्रभाव हैं;
• w जल वाष्प जल अवशोषण है;
• O₃ ओजोन है (केवल अवशोषण);
• r आणविक ऑक्सीजन से रेले स्कैटरिंग है (O₂) और नाइट्रोजन (N₂) (आकाश के नीले रंग के लिए जिम्मेदार);
• जिन एटेन्यूएटर्स पर विचार किया जाना है, उनका चयन तरंग दैर्ध्य रेंज पर निर्भर करता है और इसमें कई अन्य यौगिक शामिल हो सकते हैं। इसमें टेट्राऑक्सीजन, जोड़ना , formaldehyde, ग्लाइऑक्साल, हलोजन रेडिकल्स की एक श्रृंखला और अन्य शामिल हो सकते हैं।

m ऑप्टिकल मास या एयरमास कारक है, एक शब्द लगभग बराबर (के छोटे और मध्यम मूल्यों के लिए θ) को ${\tfrac {1}{\cos \theta }},$ कहाँ θ देखी गई वस्तु का आकाशीय समन्वय प्रणाली है (प्रेक्षण स्थल पर पृथ्वी की सतह की दिशा के लम्बवत् मापा गया कोण)। इस समीकरण का उपयोग पुनः प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है τ_a, एयरोसोल ऑप्टिकल डेप्थ, जो उपग्रह छवियों के सुधार के लिए आवश्यक है और जलवायु में एरोसोल की भूमिका के लिए लेखांकन में भी महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

• एप्लाइड स्पेक्ट्रोस्कोपी
• [[परमाणु अवशोषण स्पेक्ट्रोस्कोपी]]
• अवशोषण स्पेक्ट्रोस्कोपी
• गुहा रिंग-डाउन स्पेक्ट्रोस्कोपी
• क्लॉसियस-मोसोटी संबंध
• अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपी
• नौकरी की साजिश
• लेजर अवशोषण स्पेक्ट्रोमेट्री
• क्लॉसियस-मोसोटी संबंध | लोरेंत्ज़-लॉरेंज संबंध
• लघुगणक
• पॉलिमर गिरावट
• लोगों के नाम पर वैज्ञानिक कानून
• न्यूक्लिक एसिड की मात्रा
• ट्यून करने योग्य डायोड लेजर अवशोषण स्पेक्ट्रोस्कोपी
• संप्रेषण # बीयर-लैंबर्ट कानून

बाहरी संबंध

• Beer–Lambert Law Calculator
• Beer–Lambert Law Simpler Explanation