बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय

गणित में, बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) सेट के एक निश्चित क्षेत्र के लिए समरूप है। प्रमेय बूलियन तर्क की गहरी समझ के लिए मौलिक है जो 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में उभरा। प्रमेय को सबसे पहले मार्शल एच. स्टोन ने सिद्ध किया था। हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर रैखिक ऑपरेटर के वर्णक्रमीय सिद्धांत के अपने अध्ययन के द्वारा स्टोन का नेतृत्व किया गया था।

पत्थर की जगह

प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) बी में एक संबंधित टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसे यहां एस (बी) कहा जाता है, जिसे 'स्टोन स्पेस' कहा जाता है। S(B) में बिंदु B पर ultrafilter हैं, या समकक्ष रूप से B से दो-तत्व बूलियन बीजगणित के समरूप हैं। एस (बी) पर टोपोलॉजी एक (बंद) आधार (टोपोलॉजी) से उत्पन्न होती है जिसमें फॉर्म के सभी सेट होते हैं

$$\{x\in S(B)\mid b\in x\},$$

जहाँ b, B का एक तत्व है। यह दो-तत्व बूलियन बीजगणित में समरूपता के जाल के बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी है।

प्रत्येक बूलियन बीजगणित बी के लिए, एस (बी) एक कॉम्पैक्ट जगह है जो हॉसडॉर्फ स्पेस को पूरी तरह से डिस्कनेक्ट करता है; ऐसे स्थानों को 'स्टोन स्पेस' (असीमित स्थान भी) कहा जाता है। इसके विपरीत, किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को देखते हुए, एक्स के सबसेट का संग्रह जो क्लोपेन सेट (बंद और खुला दोनों) है, एक बूलियन बीजगणित है।

प्रतिनिधित्व प्रमेय

स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय का एक सरल संस्करण बताता है कि प्रत्येक बूलियन बीजगणित बी अपने स्टोन स्पेस एस(बी) के क्लोपेन उपसमुच्चय के बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है। समरूपता एक तत्व भेजती है $b\in B$ सभी अल्ट्राफिल्टर के सेट में जिसमें b होता है। यह S(B) पर टोपोलॉजी की पसंद के कारण एक क्लोपेन सेट है और क्योंकि B एक बूलियन बीजगणित है।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा का उपयोग करते हुए प्रमेय को पुन: स्थापित करना; प्रमेय कहता है कि बूलियन बीजगणित (संरचना) के श्रेणी सिद्धांत और स्टोन रिक्त स्थान की श्रेणी के बीच श्रेणियों का द्वंद्व है। इस द्वैत का अर्थ है कि बूलियन बीजगणित और उनके स्टोन रिक्त स्थान के बीच पत्राचार के अलावा, बूलियन बीजगणित ए से बूलियन बीजगणित बी तक प्रत्येक समरूपता एक प्राकृतिक तरीके से एस (बी) से एस (ए) तक निरंतर कार्य से मेल खाती है। दूसरे शब्दों में, एक प्रतिपरिवर्ती फ़ंक्टर है जो श्रेणियों के बीच एक तुल्यता (श्रेणी सिद्धांत) देता है। यह श्रेणियों के एक गैर-तुच्छ द्वंद्व का एक प्रारंभिक उदाहरण था।

प्रमेय स्टोन द्वैत का एक विशेष मामला है, टोपोलॉजिकल स्पेस और आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के बीच द्वैत के लिए एक अधिक सामान्य ढांचा है।

प्रमाण के लिए या तो पसंद के स्वयंसिद्ध या उसके कमजोर रूप की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से, प्रमेय बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय के समतुल्य है, एक कमजोर विकल्प सिद्धांत है जो बताता है कि प्रत्येक बूलियन बीजगणित का एक प्रमुख आदर्श है।

बूलियन रिक्त स्थान (= शून्य-आयामी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान) और निरंतर मानचित्र (क्रमशः, सही मानचित्र) की श्रेणी में शास्त्रीय स्टोन द्वंद्व का विस्तार जीडी डिमोव (क्रमशः, एच.पी. डॉक्टर द्वारा) द्वारा प्राप्त किया गया था।

यह भी देखें

• Stone's representation theorem for distributive lattices
• Representation theorem
• Field of sets
• List of Boolean algebra topics
• Stonean space
• Stone functor
• Profinite group
• Ultrafilter lemma

संदर्भ

• Halmos, Paul; Givant, Steven (1998). Logic as Algebra. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 21. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-327-2.
• Johnstone, Peter T. (1982). Stone Spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2.