माइनर (रैखिक बीजगणित)

This article is about a concept in linear algebra. For the concept of "minor" in graph theory, see Graph minor.

रेखीय बीजगणित में, मैट्रिक्स (गणित) का एक माइनर A कुछ छोटे वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक होता है, जो A से उसकी एक या अधिक पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर काट दिया जाता है। मैट्रिक्स सहकारकों की गणना के लिए केवल एक पंक्ति और वर्ग मैट्रिक्स (पहले नाबालिगों) से एक कॉलम को हटाकर प्राप्त माइनर आवश्यक हैं, जो बदले में वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं।

परिभाषा और चित्रण

पहले अवयस्क

यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो i में प्रविष्टि का मामूली वीं पंक्ति और जे वें कॉलम (जिसे (i, j) माइनर या फर्स्ट माइनर भी कहा जाता है) i को हटाकर गठित सबमैट्रिक्स का निर्धारक है वीं पंक्ति और जे वें स्तंभ। इस संख्या को अक्सर एम द्वारा निरूपित किया जाता है_i,j. (i, j) सहकारक को माइनर को गुणा करके प्राप्त किया जाता है $(-1)^{i+j}$.

इन परिभाषाओं को समझाने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 मैट्रिक्स पर विचार करें,

${\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}$

नाबालिग एम की गणना करने के लिए_2,3 और कॉफ़ेक्टर सी_2,3, हम उपरोक्त मैट्रिक्स के निर्धारक को पंक्ति 2 और कॉलम 3 के साथ हटाते हैं।

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13$

अतः (2,3) प्रविष्टि का सहकारक है

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

सामान्य परिभाषा

मान लीजिए A एक m × n मैट्रिक्स है और k एक पूर्णांक है जिसमें 0 <k ≤ m, और k ≤ n' '। A k × k माइनर A का, जिसे A का मामूली निर्धारक भी कहा जाता है, यदि m = n, (' 'n−k)A का वां लघु निर्धारक (निर्धारक शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी आदेश के बजाय शब्द डिग्री का उपयोग किया जाता है) k × का निर्धारक है m−k पंक्तियों और n−k कॉलम को हटाकर k मैट्रिक्स A से प्राप्त किया गया। कभी-कभी इस शब्द का उपयोग ऊपर दिए गए ए से प्राप्त k × k मैट्रिक्स को संदर्भित करने के लिए किया जाता है (m−k पंक्तियों और n− को हटाकर k कॉलम), लेकिन इस मैट्रिक्स को A के (स्क्वायर) सबमैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस मैट्रिक्स के निर्धारक को संदर्भित करने के लिए माइनर शब्द को छोड़कर। उपरोक्त के रूप में एक मैट्रिक्स ए के लिए, कुल हैं ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ k × k आकार के अवयस्क। ऑर्डर शून्य के नाबालिग को अक्सर 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्ग मैट्रिक्स के लिए, शून्य नाबालिग मैट्रिक्स का निर्धारक होता है।

होने देना $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ और $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ अनुक्रमणिका के क्रमबद्ध अनुक्रम (प्राकृतिक क्रम में, जैसा कि हमेशा अवयस्कों के बारे में बात करते समय माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहते हैं। अवयस्क ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ इंडेक्स के इन विकल्पों के अनुरूप दर्शाया गया है $\det _{I,J}A$ या $\det A_{I,J}$ या $[A]_{I,J}$ या $M_{I,J}$ या $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ या $M_{(i),(j)}$ (जहां $(i)$ अनुक्रमित I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है), स्रोत पर निर्भर करता है। साथ ही, साहित्य में उपयोग में आने वाले दो प्रकार के संकेत हैं: अनुक्रमित I और J के आदेशित अनुक्रमों से जुड़े नाबालिगों द्वारा, कुछ लेखक मैट्रिक्स के निर्धारक का मतलब है कि मूल मैट्रिक्स के तत्वों को उन पंक्तियों से मूल मैट्रिक्स के तत्वों को ले कर बनाया गया है जिनके सूचकांक I और कॉलम हैं जिनके सूचकांक J में हैं, जबकि कुछ अन्य लेखकों का मतलब I और J से जुड़े एक नाबालिग से है I में पंक्तियों और J में स्तंभों को हटाकर मूल मैट्रिक्स से गठित मैट्रिक्स का निर्धारक।किस संकेतन का उपयोग किया जाता है, हमेशा प्रश्न में स्रोत से जाँच की जानी चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चुनने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण मामला ऊपर वर्णित पहले नाबालिग या (i, j)-नाबालिग का मामला है; उस मामले में, अनन्य अर्थ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ साहित्य में हर जगह मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।

पूरक

पूरक, बी_{ijk...,pqr...}नाबालिग का एम_{ijk...,pqr...}, एक वर्ग मैट्रिक्स का, 'ए', मैट्रिक्स 'ए' के ​​निर्धारक द्वारा बनता है जिसमें से एम के साथ जुड़े सभी पंक्तियां (आईजेके...) और कॉलम (पीक्यूआर...)_{ijk...,pqr...}हटा दिया गया है। किसी तत्व के प्रथम लघु का पूरक a_ijकेवल वह तत्व है।

नाबालिगों और सहकारकों के आवेदन

निर्धारक का सहकारक विस्तार

Main article: Laplace expansion

लाप्लास विस्तार में कोफ़ेक्टर प्रमुखता से दिखाई देते हैं। निर्धारकों के विस्तार के लिए लाप्लास का सूत्र, जो छोटे निर्धारकों के संदर्भ में बड़े निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। एक दिया n × n आव्यूह $A=(a_{ij})$, A का निर्धारक, निरूपित det (A), मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के कोफ़ेक्टर्स के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो उन्हें उत्पन्न करने वाली प्रविष्टियों से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, परिभाषित करना $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ फिर जे के साथ कॉफ़ेक्टर विस्तार वें स्तंभ देता है:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

I के साथ कॉफ़ेक्टर विस्तार वीं पंक्ति देता है:

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम

Main article: Invertible matrix

क्रैमर के नियम का उपयोग करके इसके कॉफ़ेक्टर्स की गणना करके एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को निम्नानुसार लिखा जा सकता है। एक वर्ग मैट्रिक्स ए के सभी कॉफ़ैक्टर्स द्वारा गठित मैट्रिक्स को कोफ़ैक्टर मैट्रिक्स कहा जाता है (जिसे कॉफ़ैक्टर्स का मैट्रिक्स भी कहा जाता है या, कभी-कभी, 'कोमैट्रिक्स):

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

तब A का व्युत्क्रम A के निर्धारक के व्युत्क्रम कोफ़ैक्टर मैट्रिक्स गुणा का स्थानान्तरण है:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स के स्थानान्तरण को 'ए' का सहायक मैट्रिक्स (जिसे क्लासिकल एडजॉइंट भी कहा जाता है) कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ और $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ अनुक्रमित अनुक्रमों (प्राकृतिक क्रम में) का आदेश दिया जाना चाहिए (यहाँ A एक n × n मैट्रिक्स है)। फिर

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

जहाँ I', J' सूचकांकों के क्रमबद्ध क्रम को दर्शाता है (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जैसा कि ऊपर है) I, J का पूरक है, ताकि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I में ठीक एक बार प्रकट हो। ′, लेकिन दोनों में नहीं (इसी तरह J और J′ के लिए) और $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ इंडेक्स सेट I की पंक्तियों और इंडेक्स सेट J के कॉलम को चुनकर गठित A के सबमैट्रिक्स के निर्धारक को दर्शाता है। भी, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. वेज उत्पाद का उपयोग करके एक साधारण उपपत्ति दी जा सकती है। वास्तव में,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

कहां $e_{1},\ldots ,e_{n}$ आधार वैक्टर हैं। दोनों ओर अ द्वारा कार्य करने पर व्यक्ति को प्राप्त होता है

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

संकेत के रूप में काम किया जा सकता है $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, इसलिए चिन्ह I और J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।

अन्य अनुप्रयोग

वास्तविक संख्या प्रविष्टियों (या किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत) r के साथ एक m × n मैट्रिक्स दिया गया है, तो कम से कम एक गैर-शून्य r × r माइनर मौजूद है, जबकि सभी बड़े माइनर शून्य हैं।

हम अवयस्कों के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे: यदि 'A' एक m × n मैट्रिक्स है, I k तत्वों के साथ {1,...,m} का एक उपसमुच्चय है, और J {1,... का एक उपसमुच्चय है। ,n} k तत्वों के साथ, तो हम लिखते हैं ['A']_I,J के लिए k × k ए का माइनर जो I में इंडेक्स वाली पंक्तियों और J में इंडेक्स वाले कॉलम से मेल खाता है।

• अगर मैं = जे, तो [ए]_I,J मुख्य अवयस्क कहा जाता है।
• यदि मैट्रिक्स जो एक प्रमुख नाबालिग से मेल खाता है, एक वर्ग ऊपरी-बाएँ मैट्रिक्स (गणित) # बड़े मैट्रिक्स का सबमैट्रिक्स है (यानी, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में मैट्रिक्स तत्व शामिल हैं, जिसे एक प्रमुख प्रिंसिपल सबमैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है) ), तो प्रिंसिपल नाबालिग को अग्रणी प्रिंसिपल नाबालिग (ऑर्डर के) या कोने (प्रिंसिपल) नाबालिग (ऑर्डर के) कहा जाता है। n × n वर्ग मैट्रिक्स के लिए, n प्रमुख प्रमुख नाबालिग हैं।
• एक मैट्रिक्स का एक मूल नाबालिग एक वर्ग सबमैट्रिक्स का निर्धारक होता है जो गैर-निर्धारक निर्धारक के साथ अधिकतम आकार का होता है।* हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए, प्रमुख प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।

साधारण मैट्रिक्स गुणन के सूत्र और दो मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक के लिए कॉची-बिनेट सूत्र दोनों दो मैट्रिक्स के उत्पाद के नाबालिगों के बारे में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष मामले हैं। मान लीजिए कि A एक m × n मैट्रिक्स है, B एक n × p मैट्रिक्स है, I {1,..., का एक सबसेट है m} k तत्वों के साथ और J k तत्वों के साथ {1,...,p} का उपसमुच्चय है। फिर

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चयों K तक फैला हुआ है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का सीधा विस्तार है।

बहुरेखीय बीजगणित दृष्टिकोण

वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए बहुरेखीय बीजगणित में नाबालिगों का एक अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: मैट्रिक्स के k-नाबालिग kth बाहरी शक्ति मानचित्र में प्रविष्टियाँ हैं।

यदि एक मैट्रिक्स के कॉलम एक समय में एक साथ k होते हैं, तो k × k माइनर परिणामी k-वैक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के 2 × 2 अवयस्क

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

हैं -13 (पहली दो पंक्तियों से), -7 (पहली और अंतिम पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से)। अब वेज उत्पाद पर विचार करें

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

जहां दो भाव हमारे मैट्रिक्स के दो स्तंभों के अनुरूप हैं। वेज उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह बिलिनियर मैप और अल्टरनेटिंग मल्टीलाइन मैप है,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

और एंटीकम्यूटेटिविटी,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

हम इस अभिव्यक्ति को सरल कर सकते हैं

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

जहां गुणांक पहले परिकलित अवयस्कों से सहमत होते हैं।

विभिन्न अंकन के बारे में एक टिप्पणी

कुछ पुस्तकों में सहकारक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है। इसके अलावा, इसे ए के रूप में दर्शाया गया है_ij और कॉफ़ैक्टर के रूप में उसी तरह परिभाषित किया गया है:

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

इस अंकन का उपयोग करते हुए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को इस प्रकार लिखा जाता है:

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

ध्यान रखें कि adjunct adjugate या adjoint नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, एक मैट्रिक्स का आसन्न अक्सर संबंधित आसन्न ऑपरेटर को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

• सबमैट्रिक्स

बाहरी कड़ियाँ

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor