मिशेल समाधान

मिशेल समाधान ध्रुवीय निर्देशांक में रैखिक लोच समीकरणों का एक सामान्य समाधान है ( $r,\theta \,$ ) जॉन हेनरी मिशेल | जे द्वारा विकसित। एच मिशेल। समाधान ऐसा है कि तनाव घटक फूरियर श्रृंखला के रूप में हैं $\theta \,$ .

मिचेल^[1] दिखाया गया है कि सामान्य समाधान को फॉर्म के हवादार तनाव समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

{\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}~r^{2}+B_{0}~r^{2}~\ln(r)+C_{0}~\ln(r)\\&+\left(I_{0}~r^{2}+I_{1}~r^{2}~\ln(r)+I_{2}~\ln(r)+I_{3}~\right)\theta \\&+\left(A_{1}~r+B_{1}~r^{-1}+B_{1}'~r~\theta +C_{1}~r^{3}+D_{1}~r~\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}~r+F_{1}~r^{-1}+F_{1}'~r~\theta +G_{1}~r^{3}+H_{1}~r~\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}~r^{n}+B_{n}~r^{-n}+C_{n}~r^{n+2}+D_{n}~r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}~r^{n}+F_{n}~r^{-n}+G_{n}~r^{n+2}+H_{n}~r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}

शर्तें $A_{1}~r~\cos \theta \,$ और $E_{1}~r~\sin \theta \,$ तनाव की एक तुच्छ अशक्त स्थिति को परिभाषित करते हैं और उन्हें अनदेखा कर दिया जाता है।

तनाव घटक

ऐयरी स्ट्रेस फंक्शन (बेलनाकार निर्देशांक में) के संदर्भ में तनाव के समीकरणों में मिशेल समाधान को प्रतिस्थापित करके तनाव (भौतिकी) घटकों को प्राप्त किया जा सकता है। तनाव घटकों की एक तालिका नीचे दिखाई गई है।^[2]

$\varphi$	$\sigma _{rr}\,$	$\sigma _{r\theta }\,$	$\sigma _{\theta \theta }\,$
$r^{2}\,$	$2$	$0$	$2$
$r^{2}~\ln r$	$2~\ln r+1$	$0$	$2~\ln r+3$
$\ln r\,$	$r^{-2}\,$	$0$	$-r^{-2}\,$
$\theta \,$	$0$	$r^{-2}\,$	$0$
$r^{3}~\cos \theta \,$	$2~r~\cos \theta \,$	$2~r~\sin \theta \,$	$6~r~\cos \theta \,$
$r\theta ~\cos \theta \,$	$-2~r^{-1}~\sin \theta \,$	$0$	$0$
$r~\ln r~\cos \theta \,$	$r^{-1}~\cos \theta \,$	$r^{-1}~\sin \theta \,$	$r^{-1}~\cos \theta \,$
$r^{-1}~\cos \theta \,$	$-2~r^{-3}~\cos \theta \,$	$-2~r^{-3}~\sin \theta \,$	$2~r^{-3}~\cos \theta \,$
$r^{3}~\sin \theta \,$	$2~r~\sin \theta \,$	$-2~r~\cos \theta \,$	$6~r~\sin \theta \,$
$r\theta ~\sin \theta \,$	$2~r^{-1}~\cos \theta \,$	$0$	$0$
$r~\ln r~\sin \theta \,$	$r^{-1}~\sin \theta \,$	$-r^{-1}~\cos \theta \,$	$r^{-1}~\sin \theta \,$
$r^{-1}~\sin \theta \,$	$-2~r^{-3}~\sin \theta \,$	$2~r^{-3}~\cos \theta \,$	$2~r^{-3}~\sin \theta \,$
$r^{n+2}~\cos(n\theta )\,$	$-(n+1)(n-2)~r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$(n+1)(n+2)~r^{n}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\cos(n\theta )\,$	$-(n+2)(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$(n-1)(n-2)~r^{-n}~\cos(n\theta )$
$r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,$
$r^{n+2}~\sin(n\theta )\,$	$-(n+1)(n-2)~r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$(n+1)(n+2)~r^{n}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\sin(n\theta )\,$	$-(n+2)(n-1)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$(n-1)(n-2)~r^{-n}~\sin(n\theta )\,$
$r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n-1)~r^{n-2}~\cos(n\theta )\,$	$n(n-1)~r^{n-2}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$-n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{-n-2}~\cos(n\theta )\,$	$n(n+1)~r^{-n-2}~\sin(n\theta )\,$

विस्थापन घटक

विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) $(u_{r},u_{\theta })$ रैखिक लोच | तनाव-तनाव और रैखिक लोच | तनाव-विस्थापन संबंधों का उपयोग करके मिशेल समाधान से प्राप्त किया जा सकता है। मिशेल समाधान के लिए हवादार तनाव समारोह में शर्तों के अनुरूप विस्थापन घटकों की तालिका नीचे दी गई है। इस तालिका में

\kappa ={\begin{cases}3-4~\nu &{\rm {for~plane~strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\rm {for~plane~stress}}\\\end{cases}}

कहाँ $\nu$ पोइसन का अनुपात है, और $\mu$ कतरनी मापांक है।

$\varphi$	$2~\mu ~u_{r}\,$	$2~\mu ~u_{\theta }\,$
$r^{2}\,$	$(\kappa -1)~r$	$0$
$r^{2}~\ln r$	$(\kappa -1)~r~\ln r-r$	$(\kappa +1)~r~\theta$
$\ln r\,$	$-r^{-1}\,$	$0$
$\theta \,$	$0$	$-r^{-1}\,$
$r^{3}~\cos \theta \,$	$(\kappa -2)~r^{2}~\cos \theta \,$	$(\kappa +2)~r^{2}~\sin \theta \,$
$r\theta ~\cos \theta \,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\cos \theta +\{1-(\kappa +1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$	$-{\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\sin \theta +\{1+(\kappa +1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$
$r~\ln r~\cos \theta \,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\sin \theta -\{1-(\kappa -1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\cos \theta -\{1+(\kappa -1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$
$r^{-1}~\cos \theta \,$	$r^{-2}~\cos \theta \,$	$r^{-2}~\sin \theta \,$
$r^{3}~\sin \theta \,$	$(\kappa -2)~r^{2}~\sin \theta \,$	$-(\kappa +2)~r^{2}~\cos \theta \,$
$r\theta ~\sin \theta \,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\sin \theta -\{1-(\kappa +1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa -1)\theta ~\cos \theta -\{1+(\kappa +1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$
$r~\ln r~\sin \theta \,$	$-{\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\cos \theta +\{1-(\kappa -1)\ln r\}~\sin \theta ]\,$	${\frac {1}{2}}[(\kappa +1)\theta ~\sin \theta +\{1+(\kappa -1)\ln r\}~\cos \theta ]\,$
$r^{-1}~\sin \theta \,$	$r^{-2}~\sin \theta \,$	$-r^{-2}~\cos \theta \,$
$r^{n+2}~\cos(n\theta )\,$	$(\kappa -n-1)~r^{n+1}~\cos(n\theta )\,$	$(\kappa +n+1)~r^{n+1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\cos(n\theta )\,$	$(\kappa +n-1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta )\,$	$-(\kappa -n+1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{n}~\cos(n\theta )\,$	$-n~r^{n-1}~\cos(n\theta )\,$	$n~r^{n-1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{-n}~\cos(n\theta )\,$	$n~r^{-n-1}~\cos(n\theta )\,$	$n(~r^{-n-1}~\sin(n\theta )\,$
$r^{n+2}~\sin(n\theta )\,$	$(\kappa -n-1)~r^{n+1}~\sin(n\theta )\,$	$-(\kappa +n+1)~r^{n+1}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n+2}~\sin(n\theta )\,$	$(\kappa +n-1)~r^{-n+1}~\sin(n\theta )\,$	$(\kappa -n+1)~r^{-n+1}~\cos(n\theta )\,$
$r^{n}~\sin(n\theta )\,$	$-n~r^{n-1}~\sin(n\theta )\,$	$-n~r^{n-1}~\cos(n\theta )\,$
$r^{-n}~\sin(n\theta )\,$	$n~r^{-n-1}~\sin(n\theta )\,$	$-n~r^{-n-1}~\cos(n\theta )\,$