मेट्रिज़ेबल स्पेस

गणित के टोपोलॉजी और संबंधित क्षेत्रों में, एक मेट्रिज़ेबल स्पेस एक सामयिक स्थान है जो एक मीट्रिक स्थान के लिए गृहिणी है।वह है, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $(X,\tau )$ कहा जाता है कि अगर कोई मीट्रिक (गणित) है $d:X\times X\to [0,\infty )$ ऐसा कि टोपोलॉजी द्वारा प्रेरित है $d$ है $\tau .$ मेट्रिज़ेशन प्रमेय प्रमेय हैं जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस को मेट्रिज़ेबल होने के लिए पर्याप्त स्थिति देते हैं।

गुण

मेट्रिज़ेबल स्पेस मीट्रिक रिक्त स्थान से सभी टोपोलॉजिकल गुणों को विरासत में लेते हैं।उदाहरण के लिए, वे हौसडॉर्फ स्पेस परा-सुसंहत स्पेस (और इसलिए सामान्य स्थान और टाइकोफ़ स्पेस) और पहले-गिनती स्थान हैं। पहली-गिनती।हालांकि, मीट्रिक के कुछ गुणों, जैसे कि पूर्णता, को विरासत में नहीं कहा जा सकता है।यह मीट्रिक से जुड़ी अन्य संरचनाओं का भी सच है।उदाहरण के लिए, एक मीट्रिज़ेबल समान स्थान में एक मीट्रिक स्पेस की तुलना में संकुचन मैपिंग का एक अलग सेट हो सकता है, जिसमें यह होमोमोर्फिक है।

मेट्रिज़ेशन प्रमेय

पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मेट्रिज़ेशन प्रमेय में से एक थाUrysohn's metrization theorem।यह बताता है कि हर हॉसडॉर्फ द्वितीय-गिनती योग्य नियमित स्थान मेट्रिज़ेबल है।इसलिए, उदाहरण के लिए, हर दूसरी-काउंटेबल कई गुना मेट्रिज़ेबल है।।अंतरिक्ष metrizable है)।कॉन्ट्रैक्ट नहीं करता है: मीट्रिक रिक्त स्थान मौजूद हैं जो दूसरी गिनती योग्य नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मीट्रिक के साथ संपन्न एक बेशुमार सेट। नीचे वर्णित नागाटा -सिमिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय, एक अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां कॉनवर्स को पकड़ती है।

कई अन्य मेट्रिज़ेशन प्रमेय उरीसोहन के प्रमेय के लिए सरल कोरोलरीज के रूप में अनुसरण करते हैं।उदाहरण के लिए, एक कॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह दूसरा-गिनती है।

Urysohn के प्रमेय को इस तरह से बहाल किया जा सकता है: एक टोपोलॉजिकल स्पेस अलग-अलग स्थान और मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित, हॉसडॉर्फ और दूसरा-काउंटेबल है।नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय इसे गैर-अलग-अलग मामले तक बढ़ाता है।इसमें कहा गया है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित है, तो हॉसडॉर्फ और एक-एक परिमित आधार है।एक σ-बहुत परिमित आधार एक आधार है जो खुले सेटों के कई स्थानीय रूप से परिमित संग्रह का एक संघ है।बारीकी से संबंधित प्रमेय के लिए बिंग मेट्रिज़ेशन प्रमेय देखें।

अलग -अलग मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान को उन रिक्त स्थान के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो Hilbert क्यूब के एक उप -समूह के लिए गृहिणी हैं $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },$ अर्थात्, यूनिट अंतराल का अनगढ़ अनंत उत्पाद (Reals से इसकी प्राकृतिक उप -समूह टोपोलॉजी के साथ), उत्पाद टोपोलॉजी के साथ संपन्न।

एक स्थान को स्थानीय रूप से metrizable कहा जाता है यदि हर बिंदु में एक metrizable पड़ोस (गणित) है।स्मिरनोव ने साबित किया कि एक स्थानीय रूप से metrizable स्थान मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह हॉसडॉर्फ और पैराक्रॉम्पैक्ट है।विशेष रूप से, एक कई गुना मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह पैरासंपैक्ट है।

उदाहरण

एकात्मक ऑपरेटरों का समूह $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ एक अलग हिलबर्ट अंतरिक्ष पर ${\mathcal {H}}$ संपन्न मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी के साथ metrizable है (प्रस्ताव II.1 देखें )।

गैर-मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान के उदाहरण

गैर-सामान्य स्थान मेट्रिज़ेबल नहीं हो सकते हैं;महत्वपूर्ण उदाहरणों में शामिल हैं

• एक बीजगणितीय किस्म पर या एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाती है,
• वास्तविक लाइन से सभी फ़ंक्शन (गणित) का सामयिक वेक्टर अंतरिक्ष $\mathbb {R}$ अपने आप को, पॉइंटवाइज बिंदुवर्धक अभिसरण की टोपोलॉजी साथ।

निचली सीमा टोपोलॉजी के साथ वास्तविक रेखा metrizable नहीं है।सामान्य दूरी फ़ंक्शन इस स्थान पर एक मीट्रिक नहीं है क्योंकि टोपोलॉजी यह निर्धारित करता है कि सामान्य टोपोलॉजी है, न कि निचली सीमा टोपोलॉजी।यह स्थान हॉसडॉर्फ, पैरासंपैक्ट और पहले गिनती योग्य है।

स्थानीय रूप से metrizable लेकिन metrizable नहीं

दो मूल के साथ लाइन, जिसे भी कहा जाता हैbug-eyed lineएक गैर-हौसडॉर्फ कई गुना है (और इस तरह मेट्रिज़ेबल नहीं हो सकता है)।सभी मैनिफोल्ड्स की तरह, यह स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्पेस के लिए होमोमोर्फिक है और इस प्रकार स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल स्पेस (लेकिन मेट्रिज़ेबल नहीं) और स्थानीय रूप से हॉसडॉर्फ स्पेस (लेकिन हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं)।यह एक T1 स्थान भी है | T₁स्थानीय रूप से नियमित स्थान लेकिन एक अर्ध -स्थानिक स्थान नहीं।

लंबी रेखा (टोपोलॉजी) स्थानीय रूप से metrizable है लेकिन metrizable नहीं;एक अर्थ में यह बहुत लंबा है।

यह भी देखें

• Apollonian metric
• Bing metrization theorem
• Metrizable topological vector space
• Moore space (topology)
• Nagata–Smirnov metrization theorem
• Uniformizability, एक समान स्थान के लिए होमोमोर्फिक होने के एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संपत्ति, या समकक्ष रूप से टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक स्थान के एक परिवार द्वारा परिभाषित किया जा रहा है

संदर्भ

This article incorporates material from Metrizable on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.