योगज प्रतिलोम

गणित में, किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम $a$ वह संख्या है, जिसे जोड़ने पर $a$ , 0 (संख्या) उत्पन्न करता है। इस संख्या को विपरीत (संख्या) के रूप में भी जाना जाता है,^[1] हस्ताक्षर परिवर्तन,^[2] और निषेध।^[3] एक वास्तविक संख्या के लिए, यह अपने चिन्ह (गणित) को उलट देता है: एक धनात्मक संख्या का योज्य व्युत्क्रम (विपरीत संख्या) ऋणात्मक होता है, और एक ऋणात्मक संख्या का योगात्मक व्युत्क्रम धनात्मक होता है। शून्य स्वयं का योज्य प्रतिलोम है।

का योज्य प्रतिलोम $a$ एकात्मक ऑपरेशन ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया गया है: $- a$ (यह सभी देखें § Relation to subtraction नीचे)।^[4] उदाहरण के लिए, 7 का योज्य व्युत्क्रम -7 है, क्योंकि 7 + (−7) = 0, और −0.3 का योज्य व्युत्क्रम 0.3 है, क्योंकि −0.3 + 0.3 = 0.

इसी तरह, का योज्य व्युत्क्रम $a - b$ है $-(a - b)$ जिसे सरल बनाया जा सकता है $b - a$ . का योज्य प्रतिलोम 2x − 3 है 3 − 2x, क्योंकि 2x − 3 + 3 − 2x = 0.^[5] योज्य व्युत्क्रम को इसके व्युत्क्रम तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है जो जोड़ के बाइनरी ऑपरेशन के तहत है (यह भी देखें § Formal definition नीचे), जो संख्याओं के अलावा अन्य गणितीय वस्तुओं के व्यापक सामान्यीकरण की अनुमति देता है। किसी भी व्युत्क्रम संक्रिया के लिए, फलन संयोजन योज्य व्युत्क्रम में पहचान फलन होता है: $-(- x) = x$ .

⁸√1, परस्पर विपरीत हैं

सामान्य उदाहरण

किसी संख्या के लिए (और आमतौर पर किसी भी वलय (बीजगणित) में), योज्य व्युत्क्रम की गणना -1 से गुणन का उपयोग करके की जा सकती है; वह है, $- n = -1 \times n$ . संख्याओं के वलयों के उदाहरण पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ और सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

घटाव से संबंध

योज्य व्युत्क्रम घटाव से निकटता से संबंधित है, जिसे विपरीत के जोड़ के रूप में देखा जा सकता है:

a - b = a + (- b)

.

इसके विपरीत, योगात्मक व्युत्क्रम को शून्य से घटाव के रूप में माना जा सकता है:

- a = 0 - a

.

इसलिए, यूनरी माइनस साइन नोटेशन को घटाव के लिए शॉर्टहैंड के रूप में देखा जा सकता है (0 प्रतीक छोड़े गए), हालांकि एक सही टाइपोग्राफी में, यूनरी के बाद कोई स्थान (विराम चिह्न) नहीं होना चाहिए।

अन्य गुण

ऊपर सूचीबद्ध सर्वसमिकाओं के अतिरिक्त, निषेध में निम्नलिखित बीजगणितीय गुण होते हैं:

$-(- a) = a$ , यह एक इनवोल्यूशन (गणित) है
$-(a + b) = (- a) + (- b)$
$-(a - b) = b - a$
$a - (- b) = a + b$
$(- a) \times b = a \times (- b) = -(a \times b)$
(−a) × (−b) = a × b
- विशेष रूप से, $(- a) 2 = a 2$

औपचारिक परिभाषा

नोटेशन + आमतौर पर विनिमेय बाइनरी ऑपरेशंस के लिए आरक्षित होता है (ऑपरेशन जहां $x + y = y + x$ सबके लिए $x$ , $y$ ). यदि ऐसा ऑपरेशन एक पहचान तत्व को स्वीकार करता है $o$ (ऐसा है कि $x + o ( = o + x) = x$ सभी के लिए $x$ ), तो यह तत्व अद्वितीय है ( $o' = o' + o = o$ ). किसी प्रदत्त के लिए $x$ , अगर मौजूद है $x'$ ऐसा है कि $x + x' ( = x' + x) = o$ , तब $x'$ का योज्य प्रतिलोम कहा जाता है $x$ .

यदि + साहचर्य है, अर्थात, $(x + y) + z = x + (y + z)$ सभी के लिए $x$ , $y$ , $z$ , तो एक योज्य व्युत्क्रम अद्वितीय है। इसे देखने के लिए, आइए $x'$ और $x″$ प्रत्येक का योगात्मक व्युत्क्रम हो $x$ ; तब

x' = x' + o = x' + (x + x″) = (x' + x) + x″ = o + x″ = x″

.

उदाहरण के लिए, चूँकि वास्तविक संख्याओं का योग साहचर्य है, प्रत्येक वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय योज्य व्युत्क्रम होता है।

अन्य उदाहरण

निम्नलिखित सभी उदाहरण वास्तव में एबेलियन समूह हैं:

जटिल आंकड़े: $-(a + bi) = (- a) + (- b) i$ . जटिल तल पर, यह ऑपरेशन मूल (गणित) के चारों ओर एक जटिल संख्या 180 डिग्री (कोण) को घुमाता है (चित्र #व्यास देखें)।
वास्तविक- और जटिल-मूल्यवान कार्यों का जोड़: यहाँ, एक समारोह का योगात्मक व्युत्क्रम $f$ कार्य है $- f$ द्वारा परिभाषित $(- f)(x) = - f (x)$ , सभी के लिए $x$ , ऐसा है कि $f + (- f) = o$ , शून्य समारोह ( $o (x) = 0$ सभी के लिए $x$ ).
अधिक आम तौर पर, एबेलियन समूह में मूल्यों के साथ सभी कार्यों पर क्या लागू होता है ('शून्य' का अर्थ इस समूह का पहचान तत्व है):
अनुक्रम, मैट्रिक्स (गणित) और नेट (गणित) भी विशेष प्रकार के कार्य हैं।
एक सदिश स्थान में, योगात्मक व्युत्क्रम −v का विपरीत वेक्टर कहा जाता है v; इसका मूल और विपरीत दिशा के समान मानदंड (गणित) है। योज्य व्युत्क्रम -1 द्वारा अदिश गुणन के अनुरूप है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए, यह मूल में बिंदु प्रतिबिंब है। बिल्कुल विपरीत दिशाओं में सदिश (ऋणात्मक संख्याओं से गुणा) को कभी-कभी एंटीपैरलल कहा जाता है।
- वेक्टर स्पेस-वैल्यू फ़ंक्शन (आवश्यक रूप से रैखिक नहीं),
मॉड्यूलर अंकगणित में, मॉड्यूलर योज्य व्युत्क्रम $x$ भी परिभाषित किया गया है: यह संख्या है $a$ ऐसा है कि $a + x \equiv 0 (mod n)$ . यह योज्य व्युत्क्रम हमेशा मौजूद रहता है। उदाहरण के लिए, 3 मॉड्यूल 11 का व्युत्क्रम 8 है क्योंकि यह इसका समाधान है $3 + x \equiv 0 (mod 11)$ .

गैर-उदाहरण

प्राकृतिक संख्याएँ, कार्डिनल संख्याएँ और क्रमिक संख्याएँ अपने संबंधित सेट (गणित) के भीतर योगात्मक व्युत्क्रम नहीं होती हैं। इस प्रकार कोई कह सकता है, उदाहरण के लिए, कि प्राकृतिक संख्याओं में योगात्मक व्युत्क्रम होते हैं, लेकिन क्योंकि ये योगात्मक व्युत्क्रम स्वयं प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं, योगात्मक व्युत्क्रम लेने के तहत प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय संवरण (गणित) नहीं है।

यह भी देखें

-1
निरपेक्ष मूल्य (पहचान के माध्यम से संबंधित $|- x | = | x |$ ).
जोड़ने योग्य पहचान
उलटा काम करना
इन्वोल्यूशन (गणित)
गुणात्मक प्रतिलोम
प्रतिबिंब समरूपता
अर्धसमूह
मोनोइड
समूह (गणित)

नोट्स और संदर्भ

↑ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5th ed.), Cengage Learning, p. 40, ISBN 9781133710790.
↑ Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Basic Algebra for College Students. Houghton Mifflin. p. 54. ISBN 978-0-395-20656-0. ...to take the additive inverse of the member, we change the sign of the number.
↑ The term "negation" bears a reference to negative numbers, which can be misleading, because the additive inverse of a negative number is positive.
↑ Weisstein, Eric W. "Additive Inverse". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-27.
↑ "Additive Inverse". www.learnalberta.ca. Retrieved 2020-08-27.

श्रेणी:सार बीजगणित श्रेणी:अंकगणित श्रेणी:प्राथमिक बीजगणित

[1] Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5th ed.), Cengage Learning, p. 40, ISBN 9781133710790.

[2] Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Basic Algebra for College Students. Houghton Mifflin. p. 54. ISBN 978-0-395-20656-0. ...to take the additive inverse of the member, we change the sign of the number.

[3] The term "negation" bears a reference to negative numbers, which can be misleading, because the additive inverse of a negative number is positive.

[4] Weisstein, Eric W. "Additive Inverse". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-27.

[5] "Additive Inverse". www.learnalberta.ca. Retrieved 2020-08-27.

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