राउंड-ऑफ त्रुटि

राउंडऑफ त्रुटि,^[1] राउंडिंग एरर भी कहा जाता है,^[2] सटीक अंकगणित का उपयोग करके दिए गए कलन विधि द्वारा उत्पादित परिणाम और परिमित-परिशुद्धता, गोल अंकगणित का उपयोग करके उसी एल्गोरिदम द्वारा उत्पादित परिणाम के बीच का अंतर है।^[3] राउंडिंग त्रुटियां वास्तविक संख्याओं के निरूपण और उनके साथ की गई अंकगणितीय संक्रियाओं में अशुद्धता के कारण होती हैं। यह परिमाणीकरण त्रुटि का एक रूप है। रेफरी>Aksoy, Pelin; DeNardis, Laura (2007), Information Technology in Theory, Cengage Learning, p. 134, ISBN 978-1-42390140-2</ रेफ> सन्निकटन समीकरण ों या एल्गोरिदम का उपयोग करते समय, विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुत से अंकों का उपयोग करते समय (जो सिद्धांत रूप में असीम रूप से कई अंक होते हैं), संख्यात्मक विश्लेषण के लक्ष्यों में से एक त्रुटि विश्लेषण (गणित) संगणना त्रुटियां हैं। रेफरी>Ralston, Anthony; Rabinowitz, Philip (2012), A First Course in Numerical Analysis, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Dover Publications, pp. 2–4, ISBN 978-0-48614029-2</ref> संगणना त्रुटियां, जिन्हें संख्यात्मक त्रुटि यां भी कहा जाता है, में ट्रंकेशन त्रुटियां और राउंडऑफ त्रुटियां दोनों शामिल हैं।

जब किसी राउंडऑफ़ त्रुटि वाले इनपुट के साथ गणनाओं का एक क्रम बनाया जाता है, तो त्रुटियां जमा हो सकती हैं, कभी-कभी गणना पर हावी हो जाती हैं। खराब स्थिति वाली समस्याओं में, महत्वपूर्ण त्रुटि जमा हो सकती है। रेफरी>Chapman, Stephen (2012), MATLAB Programming with Applications for Engineers, Cengage Learning, p. 454, ISBN 978-1-28540279-6</रेफरी>

संक्षेप में, संख्यात्मक गणनाओं में राउंडऑफ़ त्रुटियों के दो प्रमुख पहलू शामिल हैं:Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag यहां दशमलव निरूपण में निरूपण त्रुटि के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

Notation	Representation	Approximation	Error
1/7	0.142 857	0.142 857	0.000 000 142 857
ln 2	0.693 147 180 559 945 309 41...	0.693 147	0.000 000 180 559 945 309 41...
log₁₀ 2	0.301 029 995 663 981 195 21...	0.3010	0.000 029 995 663 981 195 21...
³√2	1.259 921 049 894 873 164 76...	1.25992	0.000 001 049 894 873 164 76...
√2	1.414 213 562 373 095 048 80...	1.41421	0.000 003 562 373 095 048 80...
e	2.718 281 828 459 045 235 36...	2.718 281 828 459 045	0.000 000 000 000 000 235 36...
π	3.141 592 653 589 793 238 46...	3.141 592 653 589 793	0.000 000 000 000 000 238 46...

एक प्रतिनिधित्व में अनुमत अंकों की संख्या में वृद्धि से संभावित राउंडऑफ़ त्रुटियों की भयावहता कम हो जाती है, लेकिन बहुत से अंकों तक सीमित कोई भी प्रतिनिधित्व अभी भी गणनीय वास्तविक संख्याओं के लिए कुछ हद तक राउंडऑफ़ त्रुटि का कारण होगा। गणना के मध्यवर्ती चरणों के लिए उपयोग किए जाने वाले अतिरिक्त अंकों को गार्ड अंक ों के रूप में जाना जाता है।Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag उदाहरण के लिए, यदि 9.945309 को दो दशमलव स्थानों (9.95) पर गोल किया जाता है, फिर एक दशमलव स्थान (10.0) पर फिर से गोल किया जाता है, तो कुल त्रुटि 0.054691 होती है। एक ही चरण में 9.945309 को एक दशमलव स्थान (9.9) पर राउंड करने से कम त्रुटि (0.045309) आती है। यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, जब सॉफ़्टवेयर विस्तारित परिशुद्धता#x86 विस्तारित सटीक प्रारूप|x86 80-बिट फ़्लोटिंग-पॉइंट में अंकगणित करता है और फिर परिणाम को डबल-परिशुद्धता फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप में राउंड करता है|IEEE 754 बाइनरी64 फ़्लोटिंग-पॉइंट।

फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम

फिक्स्ड-पॉइंट अंकगणित | फिक्स्ड-पॉइंट नंबर सिस्टम की तुलना में, फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित | फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने में अधिक कुशल है, इसलिए यह आधुनिक कंप्यूटरों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जबकि वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ अनंत और निरंतर हैं, एक फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम $F$ परिमित और असतत है। इस प्रकार, प्रतिनिधित्व त्रुटि, जो राउंडऑफ़ त्रुटि की ओर ले जाती है, फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम के अंतर्गत होती है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम का संकेतन

फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम $F$ द्वारा चित्रित है $4$ पूर्णांक:

$\beta$ : आधार या मूलांक
$p$ : शुद्धता
$[L,U]$ : एक्सपोनेंट रेंज, जहां $L$ निचली सीमा है और $U$ ऊपरी सीमा है

कोई भी $x\in F$ निम्नलिखित रूप है:

 $x=\pm (\underbrace {d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}} _{\text{mantissa}})_{\beta }\times \beta ^{\overbrace {E} ^{\text{exponent}}}=\pm d_{0}\times \beta ^{E}+d_{1}\times \beta ^{E-1}+\ldots +d_{p-1}\times \beta ^{E-(p-1)}$

कहां $d_{i}$ एक पूर्णांक ऐसा है $0\leq d_{i}\leq \beta -1$ के लिए $i=0,1,\ldots ,p-1$ , और $E$ एक पूर्णांक ऐसा है $L\leq E\leq U$ .

सामान्यीकृत फ्लोटिंग-नंबर सिस्टम

प्रमुख अंक होने पर फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम सामान्यीकृत होता है $d_{0}$ जब तक संख्या शून्य न हो, हमेशा शून्य नहीं होता है।^[3]चूंकि मंटिसा है $d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}$ , सामान्यीकृत प्रणाली में एक गैर-शून्य संख्या का मंटिसा संतुष्ट करता है $1\leq {\text{mantissa}}<\beta$ . इस प्रकार, इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर के एक गैर-शून्य संस्थान का सामान्यीकृत रूप है $\pm 1.bb\ldots b\times 2^{E}$ कहां $b\in {0,1}$ . बाइनरी में, अग्रणी अंक हमेशा होता है $1$ इसलिए इसे लिखा नहीं जाता है और इसे निहित बिट कहा जाता है। यह अतिरिक्त सटीकता देता है ताकि प्रतिनिधित्व त्रुटि के कारण राउंडऑफ़ त्रुटि कम हो।
फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम के बाद से $F$ $F$ परिमित और असतत है, यह सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, जिसका अर्थ है कि अनंत वास्तविक संख्याएँ केवल कुछ परिमित संख्याओं द्वारा गोलाई के माध्यम से अनुमानित की जा सकती हैं। किसी दिए गए वास्तविक संख्या का फ़्लोटिंग-पॉइंट सन्निकटन $x$ $x$ द्वारा $fl(x)$ $fl(x)$ निरूपित किया जा सकता है।
- सामान्यीकृत फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों की कुल संख्या है
  $2(\beta -1)\beta ^{p-1}(U-L+1)+1,$
  $2(\beta -1)\beta ^{p-1}(U-L+1)+1,$
  कहां
  - $2$ सकारात्मक या नकारात्मक होने पर संकेत की पसंद को गिनता है
  - $(\beta -1)$ अग्रणी अंक की पसंद को गिनता है
  - $\beta ^{p-1}$ शेष मंटिसा को गिनता है
  - $U-L+1$ प्रतिपादकों की पसंद की गणना करता है
  - $1$ संख्या होने पर मामले को गिनता है $0$ .

आईईईई मानक

इंस्टीट्यूट ऑफ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स मानक में आधार बाइनरी है, अर्थात। $\beta =2$ , और सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है। IEEE मानक फ्लोटिंग पॉइंट शब्द के अलग-अलग क्षेत्रों में साइन, एक्सपोनेंट और मंटिसा को स्टोर करता है, जिनमें से प्रत्येक की एक निश्चित चौड़ाई (बिट्स की संख्या) होती है। फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के लिए सटीकता के दो सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले स्तर एकल परिशुद्धता और दोहरी सटीकता हैं।

Precision	Sign (bits)	Exponent (bits)	Mantissa (bits)
Single	1	8	23
Double	1	11	52

मशीन एप्सिलॉन

फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम में राउंडऑफ़ त्रुटि के स्तर को मापने के लिए मशीन एप्सिलॉन का उपयोग किया जा सकता है। यहाँ दो अलग-अलग परिभाषाएँ हैं।^[3]

मशीन एप्सिलॉन, निरूपित $\epsilon _{\text{mach}}$ , एक अशून्य वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने में अधिकतम संभव सन्निकटन त्रुटि है $x$ फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम में। $\epsilon _{\text{mach}}=\max _{x}{\frac {|x-fl(x)|}{|x|}}$
मशीन एप्सिलॉन, निरूपित $\epsilon _{\text{mach}}$ , सबसे छोटी संख्या है $\epsilon$ ऐसा है कि $fl(1+\epsilon )>1$ . इस प्रकार, $fl(1+\delta )=fl(1)=1$ जब भी $|\delta |<\epsilon _{\text{mach}}$ .

विभिन्न राउंडिंग नियमों के तहत राउंडऑफ़ त्रुटि

राउंडिंग के दो सामान्य नियम हैं, राउंड-बाय-चॉप और राउंड-टू-नियरेस्ट। IEEE मानक राउंड टू नियरेस्ट का उपयोग करता है।

राउंड-बाय-चॉप: बेस- $\beta$ $\beta$ का विस्तार $x$ $x$ के बाद काट दिया जाता है $(p-1)$ $(p-1)$ -वाँ अंक।
- यह राउंडिंग नियम पक्षपाती है क्योंकि यह हमेशा परिणाम को शून्य की ओर ले जाता है।
गोल-से-निकटतम: $fl(x)$ $fl(x)$ निकटतम फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर पर सेट है $x$ $x$ . जब कोई टाई होता है, तो फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर जिसका अंतिम संग्रहित अंक भी होता है (साथ ही, अंतिम अंक, बाइनरी रूप में, 0 के बराबर होता है) का उपयोग किया जाता है।
- IEEE मानक के लिए जहां आधार $\beta$ है $2$ , इसका मतलब है कि जब कोई टाई होता है तो इसे गोल किया जाता है ताकि अंतिम अंक के बराबर हो $0$ .
- यह राउंडिंग नियम अधिक सटीक है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है।
- राउंडिंग ताकि अंतिम संग्रहीत अंक तब भी हो जब कोई टाई हो यह सुनिश्चित करता है कि इसे व्यवस्थित रूप से ऊपर या नीचे नहीं किया गया है। यह एक पक्षपातपूर्ण राउंडिंग के कारण लंबी गणनाओं में अवांछित धीमी बहाव की संभावना से बचने का प्रयास करना है।
निम्नलिखित उदाहरण दो राउंडिंग नियमों के तहत राउंडऑफ़ त्रुटि के स्तर को दर्शाता है।^[3]राउंडिंग नियम, राउंड-टू-नियरेस्ट, सामान्य रूप से कम राउंडऑफ़ त्रुटि की ओर जाता है।

x	Round-by-chop	Roundoff Error	Round-to-nearest	Roundoff Error
1.649	1.6	0.049	1.6	0.049
1.650	1.6	0.050	1.6	0.050
1.651	1.6	0.051	1.7	-0.049
1.699	1.6	0.099	1.7	-0.001
1.749	1.7	0.049	1.7	0.049
1.750	1.7	0.050	1.8	-0.050

=== IEEE मानक === में राउंडऑफ़ त्रुटि की गणना करना

मान लीजिए कि गोल-से-निकटतम और आईईईई डबल परिशुद्धता का उपयोग।

उदाहरण: दशमलव संख्या $(9.4)_{10}=(1001.{\overline {0110}})_{2}$ में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है $+1.\underbrace {0010110011001100110011001100110011001100110011001100} _{\text{52 bits}}110\ldots \times 2^{3}$ के बाद से $53$ बाइनरी पॉइंट के दाईं ओर -rd बिट एक 1 है और उसके बाद अन्य नॉनज़रो बिट्स हैं, राउंड-टू-निकटतम नियम को गोल करने की आवश्यकता है, अर्थात, 1 बिट जोड़ें $52$ -और बिट। इस प्रकार, IEEE मानक 9.4 में सामान्यीकृत फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व है

 $fl(9.4)=1.0010110011001100110011001100110011001100110011001101\times 2^{3}.$

अब प्रतिनिधित्व करते समय राउंडऑफ़ त्रुटि की गणना की जा सकती है $9.4$ साथ $fl(9.4)$ .

यह निरूपण अनंत पूंछ को हटाकर प्राप्त किया गया है

0.{\overline {1100}}\times 2^{-52}\times 2^{3}=0.{\overline {0110}}\times 2^{-51}\times 2^{3}=0.4\times 2^{-48}

दाहिनी पूंछ से और फिर जोड़ा गया

1\times 2^{-52}\times 2^{3}=2^{-49}

राउंडिंग स्टेप में।

फिर

fl(9.4)=9.4-0.4\times 2^{-48}+2^{-49}=9.4+(0.2)_{10}\times 2^{-49}

.

इस प्रकार, राउंडऑफ़ त्रुटि है

(0.2\times 2^{-49})_{10}

.

=== मशीन एप्सिलॉन === का उपयोग करके राउंडऑफ़ त्रुटि को मापना

मशीन एप्सिलॉन $\epsilon _{\text{mach}}$ उपरोक्त दो राउंडिंग नियमों का उपयोग करते समय राउंडऑफ़ त्रुटि के स्तर को मापने के लिए उपयोग किया जा सकता है। नीचे सूत्र और संगत प्रमाण दिए गए हैं।^[3]मशीन ईपीएसलॉन की पहली परिभाषा यहां प्रयोग की जाती है।

प्रमेय

राउंड-बाय-चॉप: $\epsilon _{\text{mach}}=\beta ^{1-p}$
गोल-से-निकटतम: $\epsilon _{\text{mach}}={\frac {1}{2}}\beta ^{1-p}$

प्रमाण

होने देना $x=d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}d_{p}\ldots \times \beta ^{n}\in \mathbb {R}$ कहां $n\in [L,U]$ , और जाने $fl(x)$ का फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व हो $x$ . चूंकि राउंड-बाय-चॉप का उपयोग किया जा रहा है, यह है

{\begin{aligned}{\frac {|x-fl(x)|}{|x|}}&={\frac {|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}d_{p}d_{p+1}\ldots \times \beta ^{n}-d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}\times \beta ^{n}|}{|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots \times \beta ^{n}|}}\\&={\frac {|d_{p}.d_{p+1}\ldots \times \beta ^{n-p}|}{|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots \times \beta ^{n}|}}\\&={\frac {|d_{p}.d_{p+1}d_{p+2}\ldots |}{|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots |}}\times \beta ^{-p}\end{aligned}}

इस मात्रा का अधिकतम निर्धारण करने के लिए, अंश का अधिकतम और हर का न्यूनतम ज्ञात करने की आवश्यकता है। तब से

d_{0}\neq 0

(सामान्यीकृत प्रणाली), भाजक का न्यूनतम मूल्य है

1

. अंश ऊपर से घिरा हुआ है

(\beta -1).(\beta -1){\overline {(\beta -1)}}=\beta

. इस प्रकार,

{\frac {|x-fl(x)|}{|x|}}\leq {\frac {\beta }{1}}\times \beta ^{-p}=\beta ^{1-p}

. इसलिए,

\epsilon =\beta ^{1-p}

राउंड-बाय-चॉप के लिए। राउंड टू नियरेस्ट का प्रमाण समान है।

ध्यान दें कि राउंड-टू-निकटतम नियम का उपयोग करते समय मशीन एप्सिलॉन की पहली परिभाषा दूसरी परिभाषा के बराबर नहीं है, लेकिन यह राउंड-बाय-चॉप के बराबर है।

== फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित == के कारण राउंडऑफ़ त्रुटि

भले ही कुछ संख्याओं को फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों द्वारा सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है और ऐसी संख्याओं को मशीन नंबर कहा जाता है, फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित करने से अंतिम परिणाम में राउंडऑफ़ त्रुटि हो सकती है।

जोड़

मशीन जोड़ में जोड़े जाने वाले दो नंबरों के दशमलव बिंदुओं को जोड़ना, उन्हें जोड़ना और फिर परिणाम को फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर के रूप में संग्रहीत करना शामिल है। जोड़ को उच्च परिशुद्धता में किया जा सकता है, लेकिन परिणाम को वापस निर्दिष्ट सटीकता पर गोल किया जाना चाहिए, जिससे राउंडऑफ़ त्रुटि हो सकती है।^[3]

उदाहरण के लिए, जोड़ना $1$ को $2^{-53}$ आईईईई डबल परिशुद्धता में इस प्रकार है,
${\begin{aligned}1.00\ldots 0\times 2^{0}+1.00\ldots 0\times 2^{-53}&=1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}\times 2^{0}+0.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}1\times 2^{0}\\&=1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}1\times 2^{0}.\end{aligned}}$
इसे इस रूप में सहेजा गया है $1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}\times 2^{0}$ चूंकि IEEE मानक में राउंड टू नियरेस्ट का उपयोग किया जाता है। इसलिए, $1+2^{-53}$ के बराबर है $1$ आईईईई में डबल परिशुद्धता और राउंडऑफ़ त्रुटि है $2^{-53}$ .

इस उदाहरण से पता चलता है कि एक बड़ी संख्या और एक छोटी संख्या को जोड़ते समय राउंडऑफ़ त्रुटि पेश की जा सकती है। घातांकों का मिलान करने के लिए मंटिसा में दशमलव बिंदुओं को स्थानांतरित करने से कुछ कम महत्वपूर्ण अंकों का नुकसान होता है। परिशुद्धता के नुकसान को अवशोषण के रूप में वर्णित किया जा सकता है।^[4] ध्यान दें कि दो फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के योग के परिणामस्वरूप एक राउंडऑफ़ त्रुटि होगी, जब उनका योग दो में से बड़े की तुलना में अधिक परिमाण का क्रम होगा।

उदाहरण के लिए, आधार के साथ सामान्यीकृत फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम पर विचार करें $10$ और सटीकता $2$ . फिर $fl(62)=6.2\times 10^{1}$ और $fl(41)=4.1\times 10^{1}$ . ध्यान दें कि $62+41=103$ लेकिन $fl(103)=1.0\times 10^{2}$ . की राउंडऑफ त्रुटि है $103-fl(103)=3$ .

इस तरह की त्रुटि एक ऑपरेशन में अवशोषण त्रुटि के साथ हो सकती है।

गुणा

सामान्य तौर पर, का उत्पाद $2$ $p$ -डिजिट मंटिसा में तक शामिल हैं $2p$ अंक, इसलिए परिणाम मंटिसा में फिट नहीं हो सकता है।^[3]इस प्रकार परिणाम में राउंडऑफ़ त्रुटि शामिल होगी।

उदाहरण के लिए, आधार के साथ सामान्यीकृत फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम पर विचार करें $\beta =10$ और मंटिसा अंक अधिक से अधिक हैं $2$ . फिर $fl(77)=7.7\times 10^{1}$ और $fl(88)=8.8\times 10^{1}$ . ध्यान दें कि $77\times 88=6776$ लेकिन $fl(6776)=6.7\times 10^{3}$ वहाँ से अधिक से अधिक $2$ मंटिसा अंक। राउंडऑफ त्रुटि होगी $6776-fl(6776)=6776-6.7\times 10^{3}=76$ .

विभाग

सामान्य तौर पर, का भागफल $2$ $p$ -डिजिट मंटिसा में इससे अधिक हो सकते हैं $p$ -अंक।^[3]इस प्रकार परिणाम में राउंडऑफ़ त्रुटि शामिल होगी।

उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त सामान्यीकृत फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम अभी भी उपयोग किया जा रहा है, तो $1/3=0.333\ldots$ लेकिन $fl(1/3)=fl(0.333\ldots )=3.3\times 10^{-1}$ . तो, पूंछ $0.333\ldots -3.3\times 10^{-1}=0.00333\ldots$ काट दिया जाता है।

घटाव

अवशोषण घटाव पर भी लागू होता है।

उदाहरण के लिए, घटाना $2^{-60}$ से $1$ आईईईई डबल परिशुद्धता में इस प्रकार है, ${\begin{aligned}1.00\ldots 0\times 2^{0}-1.00\ldots 0\times 2^{-60}&=\underbrace {1.00\ldots 0} _{\text{60 bits}}\times 2^{0}-\underbrace {0.00\ldots 01} _{\text{60 bits}}\times 2^{0}\\&=\underbrace {0.11\ldots 1} _{\text{60 bits}}\times 2^{0}.\end{aligned}}$ इसे इस रूप में सहेजा गया है $\underbrace {1.00\ldots 0} _{\text{53 bits}}\times 2^{0}$ चूंकि IEEE मानक में राउंड टू नियरेस्ट का उपयोग किया जाता है। इसलिए, $1-2^{-60}$ के बराबर है $1$ आईईईई में डबल परिशुद्धता और राउंडऑफ़ त्रुटि है $-2^{-60}$ .

दो लगभग समान संख्याओं के घटाव को घटाव रद्दीकरण कहा जाता है।^[3] जब अग्रणी अंक रद्द कर दिए जाते हैं, तो परिणाम बिल्कुल प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुत छोटा हो सकता है और इसे केवल के रूप में दर्शाया जाएगा $0$ .

उदाहरण के लिए, चलो $|\epsilon |<\epsilon _{\text{mach}}$ और यहाँ मशीन एप्सिलॉन की दूसरी परिभाषा का उपयोग किया गया है। इसका क्या उपाय है $(1+\epsilon )-(1-\epsilon )$ ?
यह जाना जाता है कि $1+\epsilon$ और $1-\epsilon$ लगभग समान संख्याएँ हैं, और $(1+\epsilon )-(1-\epsilon )=1+\epsilon -1+\epsilon =2\epsilon$ . हालाँकि, फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर सिस्टम में, $fl((1+\epsilon )-(1-\epsilon ))=fl(1+\epsilon )-fl(1-\epsilon )=1-1=0$ . यद्यपि $2\epsilon$ के दोनों उदाहरणों का प्रतिनिधित्व करने के लिए आसानी से काफी बड़ा है $\epsilon$ देते हुए गोल कर दिया गया है $0$ .

कुछ बड़े के साथ भी $\epsilon$ , सामान्य मामलों में परिणाम अभी भी काफी अविश्वसनीय है। मूल्य की सटीकता में बहुत अधिक विश्वास नहीं है क्योंकि किसी भी फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या में सबसे अधिक अनिश्चितता दाईं ओर के अंक हैं।

उदाहरण के लिए, $1.99999\times 10^{2}-1.99998\times 10^{2}=0.00001\times 10^{2}=1\times 10^{-5}\times 10^{2}=1\times 10^{-3}$ . परिणाम $1\times 10^{-3}$ स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व योग्य है, लेकिन इसमें बहुत अधिक विश्वास नहीं है।

यह भयावह रद्दीकरण की घटना से निकटता से संबंधित है, जिसमें दो संख्याओं को सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

राउंडऑफ़ त्रुटि का संचय

त्रुटियों को बढ़ाया जा सकता है या संचित किया जा सकता है जब गणना के अनुक्रम को एक प्रारंभिक इनपुट पर लागू किया जाता है जिसमें अचूक प्रतिनिधित्व के कारण राउंडऑफ़ त्रुटि होती है।

अस्थिर एल्गोरिदम

एक एल्गोरिथ्म या संख्यात्मक प्रक्रिया को स्थिर कहा जाता है यदि इनपुट में छोटे परिवर्तन केवल आउटपुट में छोटे परिवर्तन उत्पन्न करते हैं और यदि आउटपुट में बड़े परिवर्तन उत्पन्न होते हैं तो इसे अस्थिर कहा जाता है।<ref name="Collins_2005">Collins, Charles (2005). "स्थिति और स्थिरता" (PDF). Department of Mathematics in University of Tennessee. Retrieved 2018-10-28.</रेफरी>

कुछ एल्गोरिथम चलाते समय गणनाओं का एक क्रम सामान्य रूप से होता है। परिणाम में त्रुटि की मात्रा संख्यात्मक स्थिरता पर निर्भर करती है। राउंडऑफ़ त्रुटि अस्थिर एल्गोरिदम द्वारा बढ़ाई जाएगी।

उदाहरण के लिए, ${\textstyle y_{n}=\int _{0}^{1}\,{\frac {x^{n}}{x+5}}dx}$ के लिए $n=1,2,\ldots ,8$ साथ $y_{0}$ दिया हुआ। इसे दिखाना आसान है ${\textstyle y_{n}={\frac {1}{n}}-5y_{n-1}}$ . मान लीजिए $y_{0}$ हमारा प्रारंभिक मूल्य है और इसमें एक छोटी प्रतिनिधित्व त्रुटि है $\epsilon$ , जिसका अर्थ है कि इस एल्गोरिथम का प्रारंभिक इनपुट है $y_{0}+\epsilon$ के बजाय $y_{0}$ . फिर एल्गोरिथ्म गणनाओं के निम्नलिखित क्रम को करता है।

 ${\begin{aligned}y_{1}&=1-5(y_{0}+\epsilon )=1-5y_{0}-5\epsilon \\y_{2}&={\frac {1}{2}}-5(1-5y_{0}-5\epsilon )={\frac {1}{2}}-5+25y_{0}+5^{2}\epsilon \\&\ \;\vdots \\y_{n}&=\ldots +5^{n}\epsilon \end{aligned}}$

राउंडऑफ़ त्रुटि सफल गणनाओं में बढ़ जाती है इसलिए यह एल्गोरिथम अस्थिर है।

खराब स्थिति वाली समस्याएं

यहां तक कि अगर एक स्थिर एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है, तब भी समस्या का समाधान राउंडऑफ़ त्रुटि के संचय के कारण तब भी गलत हो सकता है जब समस्या स्वयं खराब हो।

किसी समस्या की स्थिति संख्या इनपुट में सापेक्ष परिवर्तन के समाधान में सापेक्ष परिवर्तन का अनुपात है।^[3]एक समस्या अच्छी तरह से वातानुकूलित है यदि इनपुट में छोटे सापेक्ष परिवर्तन समाधान में छोटे सापेक्ष परिवर्तनों में परिणामित होते हैं। अन्यथा, समस्या बीमार स्थिति है।^[3]दूसरे शब्दों में, एक समस्या बीमार है यदि इसकी स्थिति संख्या 1 से बहुत बड़ी है।

स्थिति संख्या को राउंडऑफ़ त्रुटियों के माप के रूप में पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप खराब स्थिति वाली समस्याओं को हल किया जा सकता है।^[5]

यह भी देखें

प्रेसिजन (अंकगणित)
छंटनी
गोलाई
महत्व का नुकसान
तैरनेवाला स्थल
कहान योग एल्गोरिथम
मशीन एप्सिलॉन
विल्किंसन का बहुपद

संदर्भ

↑ Butt, Rizwan (2009), Introduction to Numerical Analysis Using MATLAB, Jones & Bartlett Learning, pp. 11–18, ISBN 978-0-76377376-2
↑ Ueberhuber, Christoph W. (1997), Numerical Computation 1: Methods, Software, and Analysis, Springer, pp. 139–146, ISBN 978-3-54062058-7
↑ ^3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 ^3.10 Forrester, Dick (2018). गणित/Comp241 संख्यात्मक तरीके (व्याख्यान नोट्स). Dickinson College.
↑ Biran, Adrian B.; Breiner, Moshe (2010). "5". What Every Engineer Should Know About MATLAB and Simulink. Boca Raton, Florida: CRC Press. pp. 193–194. ISBN 978-1-4398-1023-1.
↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Chapra_2012

आगे की पढाई

Matt Parker (2021). Humble Pi: When Math Goes Wrong in the Real World. Riverhead Books. ISBN 978-0593084694.

बाहरी कड़ियाँ

Roundoff Error at MathWorld.
Goldberg, David (March 1991). "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic" (PDF). ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. S2CID 222008826. Retrieved 2016-01-20. ([1], [2])
20 Famous Software Disasters

[1] Butt, Rizwan (2009), Introduction to Numerical Analysis Using MATLAB, Jones & Bartlett Learning, pp. 11–18, ISBN 978-0-76377376-2

[2] Ueberhuber, Christoph W. (1997), Numerical Computation 1: Methods, Software, and Analysis, Springer, pp. 139–146, ISBN 978-3-54062058-7

[Forrester_2018-3] 3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 ^3.10 Forrester, Dick (2018). गणित/Comp241 संख्यात्मक तरीके (व्याख्यान नोट्स). Dickinson College.

[4] Biran, Adrian B.; Breiner, Moshe (2010). "5". What Every Engineer Should Know About MATLAB and Simulink. Boca Raton, Florida: CRC Press. pp. 193–194. ISBN 978-1-4398-1023-1.

[Chapra_2012-5] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Chapra_2012

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