लैग ऑपरेटर

"Backshift" redirects here. For the linguistic sense, see Sequence of tenses.

समय श्रृंखला विश्लेषण में, लैग ऑपरेटर (एल) या बैकशिफ्ट ऑपरेटर (बी) पिछले तत्व का उत्पादन करने के लिए समय श्रृंखला के एक तत्व पर काम करता है। उदाहरण के लिए, कुछ समय श्रृंखला दी गई है

$X=\{X_{1},X_{2},\dots \}$

तब

$LX_{t}=X_{t-1}$ सभी के लिए $t>1$

या इसी तरह बैकशिफ्ट ऑपरेटर बी के संदर्भ में: $BX_{t}=X_{t-1}$ सभी के लिए $t>1$. समान रूप से, इस परिभाषा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$X_{t}=LX_{t+1}$ सभी के लिए $t\geq 1$

लैग ऑपरेटर (साथ ही बैकशिफ्ट ऑपरेटर) को मनमानी पूर्णांक शक्तियों तक बढ़ाया जा सकता है

$L^{-1}X_{t}=X_{t+1}$

और

$L^{k}X_{t}=X_{t-k}.$

लैग बहुपद

लैग ऑपरेटर के बहुपद का उपयोग किया जा सकता है, और यह ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज (ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज) मॉडल के लिए एक सामान्य संकेतन है। उदाहरण के लिए,

$\varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}$

एक AR(p) मॉडल निर्दिष्ट करता है।

लैग ऑपरेटरों के एक बहुपद को 'लैग बहुपद' कहा जाता है ताकि, उदाहरण के लिए, ARMA मॉडल को संक्षिप्त रूप से निर्दिष्ट किया जा सके

$\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}$

कहाँ $\varphi (L)$ और $\theta (L)$ क्रमशः अंतराल बहुपदों का प्रतिनिधित्व करते हैं

$\varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}$

और

$\theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,$

लैग ऑपरेटरों के बहुपद गुणन और विभाजन के समान नियमों का पालन करते हैं जैसे कि चर की संख्याएं और बहुपद करते हैं। उदाहरण के लिए,

$X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},$

का मतलब वही बात है

$\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.$

चरों के बहुपदों की तरह, लैग ऑपरेटर में एक बहुपद को बहुपद लंबे विभाजन का उपयोग करके दूसरे बहुपद से विभाजित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर ऐसे एक बहुपद को दूसरे से विभाजित करने पर, जब प्रत्येक का एक परिमित क्रम (उच्चतम घातांक) होता है, तो एक अनंत-क्रम बहुपद प्राप्त होता है।

एक संहारक संचालिका, निरूपित $[\ ]_{+}$, ऋणात्मक घात (भविष्य के मान) वाले बहुपद की प्रविष्टियों को हटा देता है।

ध्यान दें कि $\varphi \left(1\right)$ गुणांकों के योग को दर्शाता है:

$\varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}$

अंतर ऑपरेटर

Main article: Finite difference

समय श्रृंखला विश्लेषण में, पहला अंतर ऑपरेटर:$\Delta$

${\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}$

इसी प्रकार, दूसरा अंतर ऑपरेटर निम्नानुसार काम करता है:

${\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}$

उपरोक्त दृष्टिकोण i-वें अंतर ऑपरेटर को सामान्यीकृत करता है $\Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .$

सशर्त अपेक्षा

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में पिछले सूचना सेट को देखते हुए किसी चर के अपेक्षित मूल्य की परवाह करना आम बात है। होने देना $\Omega _{t}$ वह सभी जानकारी हो जो समय t पर सामान्य ज्ञान हो (इसे अक्सर अपेक्षा ऑपरेटर के नीचे लिखा जाता है); तो भविष्य में एक्स, जे समय-चरणों की प्राप्ति का अपेक्षित मूल्य, समकक्ष रूप से लिखा जा सकता है:

$E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].$

इन समय-निर्भर सशर्त अपेक्षाओं के साथ, बैकशिफ्ट ऑपरेटर (बी) के बीच अंतर करने की आवश्यकता है जो केवल पूर्वानुमानित चर की तारीख को समायोजित करता है और लैग ऑपरेटर (एल) जो पूर्वानुमानित चर की तारीख और सूचना सेट को समान रूप से समायोजित करता है:

$L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],$

$B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].$

यह भी देखें

• ऑटोरेग्रेसिव मॉडल
• ऑटोरेग्रेसिव चलती औसत मॉडल
• मूविंग एवरेज मॉडल
• शिफ्ट ऑपरेटर
• Z-परिवर्तन

संदर्भ

• Hamilton, James Douglas (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6.
• Verbeek, Marno (2008). A Guide to Modern Econometrics. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7.
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: Difference Operator. Wolfram Research. Retrieved 10 November 2017.
• Box, George E. P.; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016). Time Series Analysis: Forecasting and Control (5th ed.). New Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1.