लैटिस मॉडल (भौतिकी)

दो अणुओं ए और बी से भारित त्रि-आयामी लैटिस को काले और सफेद गोले के रूप में दर्शाया गया है। इस तरह के लैटिस का उपयोग उदाहरण - फ्लोरी-हगिंस समाधान सिद्धांत में किया जाता है।

गणितीय भौतिकी में लैटिस मॉडल भौतिक प्रणाली का गणितीय मॉडल है, जिसे अंतराल या अंतराल अवधि की निरंतरता जैसे कॉन्टिन्यूम (सिद्धांत) के विपरीत लैटिस (समूह) पर परिभाषित किया जाता है। लैटिस मॉडल मूल रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी के संदर्भ में उत्पन्न हुए, जिस समिष्ट पर क्रिस्टल के परमाणु स्वचालित रूप से लैटिस बनाते हैं। वर्तमान में, अनेक कारणों से लैटिस मॉडल सैद्धांतिक भौतिकी में अत्याधिक लोकप्रिय हैं। कुछ मॉडल वास्तविकता मे समाधेय हैं, और इस प्रकार अस्तव्यस्तता सिद्धांत से जो व्यक्त किया जा सकता है, उससे प्रथक भौतिकी में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। लैटिस मॉडल संगणनात्मक भौतिकी के विधियों से अध्ययन के लिए भी मॉडल हैं, क्योंकि किसी भी कॉन्टिन्यूम मॉडल का विवेकीकरण स्वचालित रूप से इसे लैटिस मॉडल में परिवर्तन कर देता है। इनमें से अनेक मॉडलों के स्पष्ट समाधान (जब वे व्याख्या करने योग्य होते हैं) में सॉलिटन की उपस्थिति सम्मिलित होती है। इन्हें व्याख्या करने की विधियों में व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण और लैक्स पेयर की विधि, यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम समूह सम्मिलित हैं। इन मॉडलों के समाधान ने चरण परिवर्तन , चुंबकीयकरण और प्रवर्धन गतिविधि की प्रकृति के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की प्रकृति में अंतर्दृष्टि प्रदान की है।

भौतिक लैटिस मॉडल अधिकांशतः निरंतरता सिद्धांत के अनुमान के रूप में या तो विचलन को प्रतिबंध या संख्यात्मक विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत को पराबैंगनी विच्छेदन देने के लिए होते हैं। कॉन्टिन्यूम सिद्धांत का उदाहरण, क्यूसीडी लैटिस मॉडल है जो क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स की विचारशीलता है। जिसका व्यापक रूप से लैटिस मॉडल के माध्यम से अध्ययन किया जाता है। चूंकि, अंकीय भौतिकी प्रकृति को मौलिक रूप से प्लांक नियम पर असतत मानती है, जो सूचना के घनत्व एवं होलोग्राफिक (स्वलिखित) सिद्धांत की उच्च सीमांत स्थापित करती है। सामान्यतः लैटिस मापक सिद्धांत और लैटिस क्षेत्र सिद्धांत अध्ययन के क्षेत्र हैं। लैटिस मॉडल का उपयोग बहुलक की संरचना और गतिशीलता का अनुकरण करने के लिए भी किया जाता है।

गणितीय विवरण

निम्नलिखित आँकड़े के माध्यम से अनेक लैटिस मॉडल का वर्णन किया जा सकता है:-

लैटिस (समूह) $\Lambda$ को अधिकांशतः $d$ -आयामी यूक्लिडियन अंतराल $\mathbb {R} ^{d}$ या $d$ - आयामी स्थूलक में जाली माना जाता है, यदि लैटिस आवधिक है। वस्तुतः $\Lambda$ अधिकांशतः पूर्णांक लैटिस होती है। यदि लैटिस पर दो बिंदुओं को 'निकटतम' माना जाता है, तो उन्हें सीमा से सम्बद्ध किया जा सकता है, जिससे लैटिस लैटिस लेखाचित्र में परिवर्तित हो जाती है। $\Lambda$ के शीर्षों को कभी-कभी स्थल भी कहा जाता है।

चक्र-परिवर्तनीय अंतराल $S$ है। संभावित प्रणाली स्थितियों का विन्यास समिष्ट ${\mathcal {C}}$ है, तब फलन का समिष्ट $\sigma :\Lambda \rightarrow S$ होता है। कुछ मॉडलों के लिए हम फलन $\sigma :E\rightarrow S$ के समिष्ट पर विचार कर सकते हैं जिस समिष्ट पर $E$ उपरोक्त परिभाषित आरेखीय का सीमा समुच्चय है।

ऊर्जा कार्यात्मक $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ है, जो अतिरिक्त मापदंडों या 'युग्मन स्थिरांक' $\{g_{i}\}$ के समुच्चय पर निर्भर हो सकता है।

उदाहरण

आइसिंग मॉडल सामान्य घन जाली आरेखीय $G=(\Lambda ,E)$ के माध्यम से दिया गया है, जिस समिष्ट पर $\Lambda$ और $\mathbb {R} ^{d}$ में अनंत घन जाली है या $T^{d}$ में अवधि $n$ घन जाली है, और $E$ निकटतम सीमा का समुच्चय है (उसी अक्षर का उपयोग ऊर्जा कार्यात्मक के लिए किया जाता है किन्तु संदर्भ के आधार पर विभिन्न उपयोगों को भिन्न -भिन्न विशेषणीय किया जा सकता है)। चक्र परिवर्तनीय अंतराल $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$ है।

ऊर्जा कार्यात्मक है

$E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).$

चक्र-परिवर्तनीय अंतराल को अधिकांशतः सह समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पॉट्स मॉडल के लिए हमारे पास

S=\mathbb {Z} _{n}

है। सीमा

n\rightarrow \infty

में हमें ्सवाई मॉडल प्राप्त होता है जिसमें

S=SO(2)

होता है। ्सवाई मॉडल को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से

n

संवाहक मॉडल प्राप्त होता है, जिसमें

S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)

होता है।

व्याख्या करने योग्य मॉडल

हम अंकों की सीमित संख्या और परिमित चक्र -परिवर्तनीय अंतराल के साथ लैटिस के विशेषज्ञ हैं। इसे $d$ आयामों में आवर्त $n$ के साथ लैटिस को आवर्त बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। तब विन्यास अंतराल समिष्ट ${\mathcal {C}}$ भी परिमित है। हम विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित कर सकते हैं

Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))

और अभिसरण के कोई उद्देश्य नहीं हैं (जैसे वे जो क्षेत्र सिद्धांत में प्रकट होते हैं) क्योंकि योग परिमित है। सिद्धांत रूप में, इस मान की गणना अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की जा सकती है, जो मात्र मापदंडों $\{g_{i}\}$ और $\beta$ पर निर्भर है। व्यवहार में, समिष्टों के मध्य गैर-रैखिक अंतःक्रियाओं के कारण यह अधिकांशतः कठिन होता है। विभाजन फलन के लिए संवृत-रूप अभिव्यक्ति वाले मॉडल को सम्पूर्ण रूप में व्याख्या करने योग्य के रूप में जाना जाता है।

सम्पूर्ण रूप में हल करने योग्य मॉडल के उदाहरण आवधिक 1डी आइसिंग मॉडल और लुप्त हो रहे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $H=0,$ के साथ आवधिक 2डी आइसिंग मॉडल हैं, किन्तु आयाम $d>2$ , के लिए आइसिंग मॉडल समाधान के अयोग्य रहता है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत

स्पष्ट समाधान प्राप्त करने में कठिनाई के कारण, विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए हमें अधिकांशतः माध्य क्षेत्र सिद्धांत का समर्थन प्राप्त करना पड़ता है। यह माध्य क्षेत्र समिष्टिक रूप से भिन्न या वैश्विक हो सकता है।

वैश्विक माध्य क्षेत्र

फलन $\sigma$ के विन्यास समिष्ट ${\mathcal {C}}$ को चक्र अंतराल $S$ के मध्योन्नत समावरक के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है तब $S$ को $\mathbb {R} ^{m}$ के उपसमुच्चय के संदर्भ में प्राप्ति होती है। इसे हम $\langle {\mathcal {C}}\rangle$ से निरूपित करेंगे। यह तब उत्पन्न होता है, जब क्षेत्र के माध्य मान पर जाने पर, हमारे पास $\sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)$ . होता है।

लैटिस समिष्टों की संख्या $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$ , के रूप में $\langle \sigma \rangle$ के संभावित मान $S$ के मध्योन्नत समावरक को पूर्ण करते हैं। उपयुक्त अनुमान लगाने से, ऊर्जा कार्यात्मकता माध्य क्षेत्र का फलन बन जाती है जो $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ होता है। तब विभाजन फलन बन जाता है

Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.

जैसे कि $N\rightarrow \infty$ थर्मोडायनामिक सीमा में, आसन बिंदु अनुमान हमें बताता है कि अभिन्न असम्बद्ध रूप से उस मान पर प्रभावी है जिस पर $f(\langle \sigma \rangle )$ को न्यूनतम किया गया है:

Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}

जिस समिष्ट पर $\langle \sigma \rangle _{0}$ और $f$ . को न्यूनतम करने वाला तर्क है।

सरल, किन्तु गणितीय रूप से परिशुद्ध दृष्टिकोण, जो प्रासंगिक रूप से सही परिणाम देता है, माध्य क्षेत्र $\langle \sigma \rangle$ के बारे में सिद्धांत को रैखिक बनाने से आता है। विन्यास को $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$ के रूप में अंकित करना, ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ को संक्षेप करना, तत्पश्चात विन्यास का योग विभाजन फलन की गणना की अनुमति देता है।

$d$ आयामों में आवधिक आइसिंग मॉडल के लिए ऐसा दृष्टिकोण आयाम चरण परिवर्तन में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

समिष्टिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र

मान लीजिए कि लैटिस $\Lambda$ की कॉन्टिन्यूम सीमा $\mathbb {R} ^{d}$ है। संपूर्ण $\Lambda$ का औसत निकालने के अतिरिक्त, हम $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$ के निकटतम का औसत निकालते हैं। यह समिष्टिक रूप से भिन्न माध्य क्षेत्र $\langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle$ देता है। हम संकेत चिन्ह को क्षेत्र सिद्धांत के निकट लाने के लिए $\langle \sigma \rangle$ को $\phi$ के साथ पुन: वर्गीकरण करते हैं। इससे विभाजन फलन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में अंकित किया जा सकता है