लॉरेंट बहुपद

गणित में, एक लॉरेंट बहुपद (नामित पियरे अल्फोंस लॉरेंट के बाद) एक क्षेत्र पर एक चर में (गणित) $\mathbb {F}$ गुणांक वाले चर की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों का एक रैखिक संयोजन है $\mathbb {F}$. एक्स में लॉरेंट बहुपदों को एक अंगूठी (गणित) के रूप में दर्शाया गया है $\mathbb {F} [X,X^{-1}]$. वे सामान्य बहुपदों से भिन्न होते हैं क्योंकि उनमें ऋणात्मक कोटि के पद हो सकते हैं। लॉरेंट बहुपदों के निर्माण को पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिससे कई चरों में लॉरेंट बहुपदों की अंगूठी बन जाती है। कई जटिल चरों के अध्ययन में लॉरेंट बहुपदों का विशेष महत्व है।

परिभाषा

एक लॉरेंट बहुपद एक क्षेत्र में गुणांक के साथ $\mathbb {F}$ स्वरूप की अभिव्यक्ति है

$p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F}$

जहाँ X एक औपचारिक चर है, योग सूचकांक k एक पूर्णांक है (जरूरी नहीं कि सकारात्मक हो) और केवल बहुत से गुणांक p_k गैर-शून्य हैं। दो लॉरेंट बहुपद समान होते हैं यदि उनके गुणांक समान होते हैं। ऐसे व्यंजकों को जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और समान पदों को घटाकर उसी रूप में वापस लाया जा सकता है। जोड़ और गुणा के सूत्र सामान्य बहुपदों के समान ही हैं, केवल अंतर यह है कि X की सकारात्मक और नकारात्मक दोनों शक्तियाँ मौजूद हो सकती हैं:

${\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}$

और

${\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.$

चूँकि केवल बहुत से गुणांक a_i और बी_j गैर-शून्य हैं, सभी राशियों के प्रभाव में केवल परिमित रूप से कई शब्द हैं, और इसलिए लॉरेंट बहुपदों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

गुण

• सी पर एक लॉरेंट बहुपद को लॉरेंट श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है जिसमें केवल बहुत से गुणांक गैर-शून्य होते हैं।
• लॉरेंट बहुपद आर[एक्स, एक्स की अंगूठी⁻¹] बहुपद वलय R[X ] का विस्तार है जो X  . अधिक कठोर रूप से, यह X की गैर-नकारात्मक शक्तियों से युक्त गुणक सेट में बहुपद वलय के एक वलय का स्थानीयकरण है। लॉरेंट बहुपद वलय के कई गुण स्थानीयकरण के सामान्य गुणों से अनुसरण करते हैं।
• लॉरेंट बहुपदों का वलय परिमेय फलनों का एक उपवलय है।
• एक क्षेत्र के ऊपर लॉरेंट बहुपदों का वलय नोथेरियन वलय (लेकिन आर्टिनियन रिंग नहीं) है।
• यदि आर एक अभिन्न डोमेन है, लॉरेंट बहुपद अंगूठी आर [एक्स, एक्स की इकाई (सबरिंग थ्योरी)।⁻¹] का रूप uX है^k, जहाँ u, R की एक इकाई है और k एक पूर्णांक है। विशेष रूप से, यदि K एक क्षेत्र है तो K[X, X⁻¹] का रूप aX है^k, जहां a, K का शून्येतर अवयव है।
• लॉरेंट बहुपद वलय R[X, X⁻¹] R पर पूर्णांक#बीजगणितीय गुणों के समूह (गणित) Z के समूह वलय के लिए समरूपी है। आम तौर पर, n वेरिएबल्स में लॉरेंट पॉलीनोमियल रिंग रैंक n के मुक्त एबेलियन समूह के समूह की अंगूठी के लिए आइसोमॉर्फिक है। यह इस प्रकार है कि लॉरेंट बहुपद की अंगूठी को एक क्रमविनिमेय, सहकारी हॉफ बीजगणित की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है।

यह भी देखें

• जोन्स बहुपद

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556