लोरेन्ज़ गेज स्थिति

विद्युत चुंबकत्व में, लोरेंज गेज स्थिति या लुडविग लॉरेन्ज़ के लिए लोरेंज गेज, आवश्यकता के अनुसार विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता का आंशिक गेज फिक्सिंग है $\partial _{\mu }A^{\mu }=0.$ यह नाम अक्सर हेंड्रिक लोरेंत्ज़ के साथ भ्रमित होता है, जिन्होंने इस क्षेत्र में कई अवधारणाओं को अपना नाम दिया है। स्थिति लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय है। लॉरेन्ज़ गेज स्थिति गेज को पूरी तरह से निर्धारित नहीं करती है: कोई अभी भी गेज परिवर्तन कर सकता है $A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,$ कहाँ $\partial ^{\mu }$ चार-ढाल है और $f$ क्या कोई हार्मोनिक फ़ंक्शन अदिश फलन है: यानी, एक स्केलर फ़ंक्शन का पालन करना $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,$ अदिश क्षेत्र सिद्धांत का समीकरण)।

लोरेंज गेज स्थिति का उपयोग मैक्सवेल के समीकरणों में अनावश्यक स्पिन-0 घटक को खत्म करने के लिए किया जाता है जब इनका उपयोग द्रव्यमान रहित स्पिन-1 क्वांटम क्षेत्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग बड़े पैमाने पर स्पिन-1 क्षेत्रों के लिए भी किया जाता है जहां गेज परिवर्तन की अवधारणा बिल्कुल भी लागू नहीं होती है।

विवरण

विद्युत चुंबकत्व में, लोरेन्ज़ स्थिति आम तौर पर मंद क्षमता के माध्यम से समय-संस्करण प्रणाली | समय-निर्भर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों की गणना में वैज्ञानिक विधि है। शर्त यह है

$$\partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,$$

कहाँ $A^{\mu }$ चार-क्षमता है, अल्पविराम आंशिक विभेदन को दर्शाता है और दोहराया सूचकांक इंगित करता है कि आइंस्टीन योग सम्मेलन का उपयोग किया जा रहा है। इस स्थिति में लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय होने का लाभ है। यह अभी भी स्वतंत्रता की पर्याप्त गेज डिग्री छोड़ता है।

साधारण वेक्टर संकेतन और एसआई इकाइयों में, स्थिति है

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,$$

कहाँ $\mathbf {A}$ चुंबकीय वेक्टर क्षमता है और $\varphi$ विद्युत क्षमता है; गेज फिक्सिंग भी देखें।

गाऊसी इकाइयों में स्थिति है

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.$$

लोरेंज गेज का त्वरित औचित्य मैक्सवेल के समीकरणों और चुंबकीय वेक्टर क्षमता और चुंबकीय क्षेत्र के बीच संबंध का उपयोग करके पाया जा सकता है:

$$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}$$

इसलिए,

$$\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.$$

चूँकि कर्ल शून्य है, इसका मतलब है कि एक अदिश फलन है $\varphi$ ऐसा है कि

$$-\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$$

यह विद्युत क्षेत्र के लिए एक प्रसिद्ध समीकरण देता है:

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$$

इस परिणाम को एम्पीयर के सर्किट नियम में जोड़ा जा सकता है|एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण,

$${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}$$

ये चला जाता है

$$\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .$$

लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता के लिए, समय व्युत्पन्न और स्थानिक व्युत्पन्न को समान रूप से व्यवहार किया जाना चाहिए (अर्थात एक ही क्रम में)। इसलिए, लोरेंज गेज स्थिति को चुनना सुविधाजनक है, जो बाएं हाथ को शून्य बनाता है और परिणाम देता है

$$\Box \mathbf {A} =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} .$$

इलेक्ट्रिक स्केलर क्षमता पर ध्यान केंद्रित करने और समान गेज विकल्प बनाने से एक समान प्रक्रिया प्राप्त होगी

$$\Box \varphi =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\varphi =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .$$

ये अमानवीय मैक्सवेल समीकरणों के सरल और अधिक सममित रूप हैं। ध्यान दें कि कूलम्ब गेज लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस की समस्या को भी ठीक करता है, लेकिन प्रथम-क्रम डेरिवेटिव के साथ एक युग्मन शब्द छोड़ देता है।

यहाँ

$$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$$

प्रकाश का निर्वात वेग है, और $\Box$ डी'एलेम्बर्टियन ऑपरेटर है। ये समीकरण न केवल निर्वात स्थितियों में मान्य हैं, बल्कि ध्रुवीकृत मीडिया में भी मान्य हैं, अगर $\rho$ और ${\vec {J}}$ विद्युत चुम्बकीय प्रेरण क्षेत्रों के क्रमशः स्रोत घनत्व और परिसंचरण घनत्व हैं ${\vec {E}}$ और ${\vec {B}}$ से हमेशा की तरह गणना की गई $\varphi$ और ${\vec {A}}$ समीकरणों द्वारा

$${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$$

के लिए स्पष्ट समाधान $\varphi$ और $\mathbf {A}$ - अद्वितीय, यदि सभी मात्राएं अनंत पर पर्याप्त तेजी से गायब हो जाती हैं - मंद क्षमता के रूप में जानी जाती हैं।

इतिहास

जब मूल रूप से 1867 में प्रकाशित हुआ, तो लोरेन्ज़ के काम को जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने अच्छी प्रतिक्रिया नहीं दी। मैक्सवेल ने [[विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण]] की व्युत्पत्ति से कूलम्ब के नियम को हटा दिया था क्योंकि वह आजकल कूलम्ब गेज कहलाने वाले क्षेत्र में काम कर रहे थे। लोरेंज गेज ने मैक्सवेल के ईएम तरंग समीकरण की मूल व्युत्पत्ति का खंडन किया, जिसमें कूलम्ब बल पर एक मंदता प्रभाव पेश किया गया और इसे समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र के साथ ईएम तरंग समीकरण के अंदर लाया गया, जिसे लोरेंज के पेपर में कंपन की पहचान पर पेश किया गया था। विद्युत धाराओं के साथ प्रकाश. लोरेन्ज़ का काम मैक्सवेल के समीकरणों को सरल बनाने के लिए समरूपता का पहला उपयोग था, जब मैक्सवेल ने स्वयं अपना 1865 का पेपर प्रकाशित किया था। 1888 में, विद्युत चुम्बकीय तरंगों पर हेनरिक रुडोल्फ हर्ट्ज़ के प्रयोगों के बाद मंद क्षमताएं सामान्य उपयोग में आईं। 1895 में, जे.जे. थॉमसन द्वारा इलेक्ट्रॉनों के लिए डेटा की व्याख्या के बाद मंद क्षमता के सिद्धांत को और बढ़ावा मिला (जिसके बाद विद्युत घटनाओं की जांच समय-निर्भर विद्युत आवेश और विद्युत धारा वितरण से गतिमान बिंदु आवेश में बदल गई)।

यह भी देखें

• गेज फिक्सिंग

बाहरी लिंक और आगे पढ़ना

सामान्य

• Weisstein, E. W. "लोरेंज गेज". Wolfram Research.

अग्रिम पठन

• Lorenz, L. (1867). "विद्युत धाराओं के साथ प्रकाश के कंपन की पहचान पर". Philosophical Magazine. Series 4. 34 (230): 287–301.
• van Bladel, J. (1991). "लोरेंज या लोरेंत्ज़?". IEEE Antennas and Propagation Magazine. 33 (2): 69. doi:10.1109/MAP.1991.5672647. S2CID 21922455.
  • यह सभी देखें Bladel, J. (1991). "लोरेंज या लोरेंत्ज़? [परिशिष्ट]". IEEE Antennas and Propagation Magazine. 33 (4): 56. Bibcode:1991IAPM...33...56B. doi:10.1109/MAP.1991.5672657.
• Becker, R. (1982). विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और अंतःक्रियाएँ. Dover Publications. Chapter 3.
• O'Rahilly, A. (1938). विद्युत चुम्बकीय. Longmans, Green and Co. Chapter 6.

इतिहास

• Nevels, R.; Shin, Chang-Seok (2001). "लोरेंज, लोरेंत्ज़, और गेज". IEEE Antennas and Propagation Magazine. 43 (3): 70–71. Bibcode:2001IAPM...43...70N. doi:10.1109/74.934904.
• Whittaker, E. T. (1989). ईथर और बिजली के सिद्धांतों का इतिहास. Vol. 1–2. Dover Publications. p. 268.

श्रेणी:विद्युतचुम्बकत्व श्रेणी:भौतिकी में अवधारणाएँ