वर्णक्रमीय तत्व विधि

आंशिक अंतर समीकरण ों के संख्यात्मक समाधान में, गणित में एक विषय, वर्णक्रमीय तत्व विधि (SEM) परिमित तत्व विधि (FEM) का एक सूत्रीकरण है जो आधार कार्यों के रूप में उच्च डिग्री के टुकड़े-टुकड़े बहुपद ों का उपयोग करता है। वर्णक्रमीय तत्व पद्धति को 1984 के पेपर में पेश किया गया था ए टी पटेरा द्वारा। हालांकि पटेरा को विधि के विकास का श्रेय दिया जाता है, उनका काम एक मौजूदा पद्धति की पुनर्खोज था (विकास इतिहास देखें)

चर्चा

वर्णक्रमीय विधि त्रिकोणमितीय बहुपद श्रृंखला में समाधान का विस्तार करती है, एक मुख्य लाभ यह है कि परिणामी विधि बहुत उच्च क्रम की है। यह दृष्टिकोण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि त्रिकोणमितीय बहुपद एक अलंकारिक आधार हैं $L^{2}(\Omega )$. वर्णक्रमीय तत्व विधि इसके बजाय एक उच्च डिग्री के टुकड़े-टुकड़े बहुपद आधार कार्यों का चयन करती है, साथ ही सटीकता के एक उच्च क्रम को भी प्राप्त करती है। इस तरह के बहुपद आमतौर पर ऑर्थोगोनल चेबीशेव बहुपद होते हैं या गैर-समान रूप से दूरी वाले नोड्स पर लैग्रेंज बहुपद होते हैं। SEM में कम्प्यूटेशनल त्रुटि तेजी से कम हो जाती है क्योंकि बहुपद का अनुमान लगाने का क्रम बढ़ जाता है, इसलिए FEM की तुलना में संरचना की स्वतंत्रता की कम डिग्री के साथ सटीक समाधान के समाधान का तेजी से अभिसरण महसूस किया जाता है। संरचनात्मक स्वास्थ्य निगरानी में, संरचना में बड़ी खामियों का पता लगाने के लिए FEM का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन जैसे-जैसे दोष का आकार कम होता है, उच्च-आवृत्ति तरंग का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। एक उच्च-आवृत्ति तरंग के प्रसार का अनुकरण करने के लिए, आवश्यक FEM जाल बहुत ठीक है जिसके परिणामस्वरूप कम्प्यूटेशनल समय में वृद्धि होती है। दूसरी ओर, SEM स्वतंत्रता की कम डिग्री के साथ अच्छी सटीकता प्रदान करता है। नोड्स की गैर-एकरूपता द्रव्यमान मैट्रिक्स को विकर्ण बनाने में मदद करती है, जो समय और स्मृति को बचाता है और केंद्रीय अंतर विधि (सीडीएम) को अपनाने के लिए भी उपयोगी है। SEM के नुकसान में FEM के लचीलेपन की तुलना में जटिल ज्यामिति को मॉडलिंग करने में कठिनाई शामिल है।

यद्यपि विधि को एक मोडल टुकड़े के अनुसार ऑर्थोगोनल बहुपद आधार के साथ लागू किया जा सकता है, यह अक्सर एक नोडल टेंसर उत्पाद लैग्रेंज आधार के साथ लागू किया जाता है। लीजेंड्रे-गॉस-लोबैटो (एलजीएल) बिंदुओं पर नोडल बिंदुओं को रखकर और एक ही नोड्स का उपयोग करके गाऊसी चतुर्भुज | गॉस-लोबेटो क्वाडरेचर के साथ गैलेर्किन विधि एकीकरण करके विधि अपनी दक्षता हासिल करती है। इस संयोजन के साथ, सरलीकरण का परिणाम ऐसा होता है कि सभी नोड्स पर बड़े पैमाने पर गांठ होती है और आंतरिक बिंदुओं पर एक कोलोकेशन प्रक्रिया का परिणाम होता है।

विधि के सबसे लोकप्रिय अनुप्रयोग कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी में हैंऔर मॉडलिंग भूकंपीय तरंग प्रसार।

ए-प्राथमिकता त्रुटि अनुमान

गैलेरकिन विधि यों और सीईए के लेम्मा का क्लासिक विश्लेषण यहां है और यह दिखाया जा सकता है कि, यदि $u$ कमजोर समीकरण का समाधान है, $u_{N}$ अनुमानित समाधान है और $u\in H^{s+1}(\Omega )$:

$\|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C_{s}N^{-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}$

कहां $N$ डोमेन के विवेकाधिकार से संबंधित है (अर्थात तत्व की लंबाई), $C_{s}$ से स्वतंत्र है $N$, और $s$ टुकड़ेवार बहुपद आधार की डिग्री से बड़ा नहीं है। मजबूत टोपोलॉजी में त्रुटि को बाध्य करने के लिए समान परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि $k\leq s+1$

$\|u-u_{N}\|_{H^{k}(\Omega )}\leq C_{s,k}N^{k-1-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}$ जैसे ही हम बढ़ते हैं $N$, हम आधार कार्यों की डिग्री भी बढ़ा सकते हैं। इस मामले में अगर $u$ एक विश्लेषणात्मक कार्य है:

$\|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C\exp(-\gamma N)$

कहां $\gamma$ पर ही निर्भर करता है $u$.

हाइब्रिड-कोलोकेशन-गैलेरकिन में कुछ अतिअभिसरण गुण होते हैं।एसईएम का एलजीएल फॉर्म समतुल्य है, इसलिए यह समान अतिअभिसरण गुण प्राप्त करता है।

विकास इतिहास

विधि के सबसे लोकप्रिय एलजीएल रूप का विकास आम तौर पर मैडे और पटेरा को दिया जाता है। हालाँकि, इसे एक दशक से भी पहले विकसित किया गया था। सबसे पहले, हाइब्रिड-कोलोकेशन-गैलेरकिन विधि (एचसीजीएम) है, जो आंतरिक लोबेटो बिंदुओं पर सहस्थापन लागू करता है और तत्व इंटरफेस पर गैलेर्किन जैसी अभिन्न प्रक्रिया का उपयोग करता है। यंग द्वारा वर्णित लोबेटो-गैलेरकिन विधि SEM के समान है, जबकि HCGM इन विधियों के समतुल्य है।वर्णक्रमीय साहित्य में इस पहले के काम की उपेक्षा की जाती है।

संबंधित तरीके

• G-NI या SEM-NI सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधियाँ हैं। G-NI या SEM-NI के लिए क्रमशः वर्णक्रमीय विधियों या वर्णक्रमीय तत्व विधियों के गैलेर्किन सूत्रीकरण को संशोधित किया गया है और गॉसियन संख्यात्मक एकीकरण | द्विरेखीय रूप की परिभाषा में इंटीग्रल के बजाय गॉस-लोबेटो एकीकरण का उपयोग किया जाता है। $a(\cdot ,\cdot )$ और कार्यात्मक में $F$. उनका अभिसरण स्ट्रैंग के लेम्मा का परिणाम है।
• SEM एक गैलेरकिन आधारित FEM (परिमित तत्व विधि) है जिसमें लैग्रेंज आधार (आकार) कार्य और समान नोड्स का उपयोग करके गॉसियन चतुर्भुज द्वारा संख्यात्मक एकीकरण को कम किया गया है।
• स्यूडो-स्पेक्ट्रल विधि, ऑर्थोगोनल कोलोकेशन , डिफरेंशियल क्वाडरेचर विधि और G-NI एक ही विधि के अलग-अलग नाम हैं। ये विधियाँ टुकड़े-टुकड़े बहुपद आधार कार्यों के बजाय वैश्विक रूप से कार्यरत हैं। टुकड़ेवार FEM या SEM आधार का विस्तार लगभग तुच्छ है।* वर्णक्रमीय तत्व विधि एक टेंसर उत्पाद स्थान का उपयोग करती है जो गॉसियन क्वाडरेचर # गॉस-लोबेटो नियमों से जुड़े नोडल आधार कार्यों द्वारा फैला हुआ है। गॉस-लोबेटो बिंदु। इसके विपरीत, hp-FEM |p-संस्करण परिमित तत्व विधि नोडलेस आधार कार्यों द्वारा उच्च क्रम बहुपदों के एक स्थान को फैलाती है, संख्यात्मक स्थिरता के लिए लगभग ऑर्थोगोनल चुना जाता है। चूंकि सभी आंतरिक आधार कार्यों को उपस्थित होने की आवश्यकता नहीं है, पी-संस्करण परिमित तत्व विधि एक ऐसा स्थान बना सकती है जिसमें स्वतंत्रता की कम डिग्री के साथ दी गई डिग्री तक सभी बहुपद शामिल हों। हालांकि, उनके टेन्सर-उत्पाद चरित्र के कारण स्पेक्ट्रल विधियों में संभव कुछ स्पीडअप तकनीकें अब उपलब्ध नहीं हैं। नाम पी-संस्करण का अर्थ है कि मेष आकार, एच को कम करने के बजाय अनुमानित बहुपदों (इस प्रकार, पी) के क्रम को बढ़ाकर सटीकता में वृद्धि हुई है।
• hp परिमित तत्व विधि (hp-FEM) घातीय अभिसरण दर प्राप्त करने के लिए h और p शोधन के लाभों को जोड़ती है।

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