वर्णक्रमीय स्थान

गणित में, एक वर्णक्रमीय स्थान एक स्थलीय स्थान है जो एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम के लिए होमियोमॉर्फिक है। सुसंगत टोपोस के संबंध के कारण इसे कभी-कभी सुसंगत स्थान भी कहा जाता है।

परिभाषा

बता दें कि X एक सांस्थितिक स्थान है और K^$\circ$(X) सभी का समुच्चय हो कॉम्पैक्ट जगह एक्स का खुला सेट । फिर एक्स को वर्णक्रमीय कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करता है:

• X कॉम्पैक्ट स्पेस है और कोलमोगोरोव स्पेस|टी₀.
• क^$\circ$(X) X के खुले उपसमूहों का एक आधार (टोपोलॉजी) है।
• क^$\circ$(X) क्लोजर (गणित) परिमित चौराहा है।
• X सोबर स्पेस है, यानी, X के हर गैर-खाली हाइपरकनेक्टेड स्पेस बंद सेट में एक (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) सामान्य बिंदु है।

समतुल्य विवरण

एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। निम्नलिखित गुणों में से प्रत्येक समकक्ष हैं एक्स के वर्णक्रमीय होने की संपत्ति के लिए:

1. X परिमित कोलमोगोरोव अंतरिक्ष की एक प्रक्षेप्य सीमा के लिए होमियोमॉर्फिक है | टी₀-स्पेस।
2. X एक वितरणात्मक जाली L के वितरणात्मक जाली के लिए द्वैत सिद्धांत के लिए होमियोमॉर्फिक है। इस मामले में, L isomorphic (एक बंधी हुई जाली के रूप में) जाली K के लिए है^$\circ$(X) (इसे 'वितरणात्मक जालक के लिए द्वैत सिद्धांत' कहा जाता है)।
3. X रिंग के स्पेक्ट्रम के लिए होमियोमॉर्फिक है।
4. X एक प्रिस्टले अंतरिक्ष द्वारा निर्धारित टोपोलॉजिकल स्पेस है।
5. X एक टी है₀ अंतरिक्ष जिसका फ्रेम और खुले सेट के स्थान सुसंगत हैं (और प्रत्येक सुसंगत फ्रेम इस तरह से एक अद्वितीय वर्णक्रमीय स्थान से आता है)।

गुण

X को वर्णक्रमीय स्थान होने दें और K को दें^$\circ$(X) पहले जैसा हो। तब:

• क^$\circ$(X) X के सबसेट का जालक (क्रम) है।
• X का प्रत्येक बंद सबस्पेस टोपोलॉजी स्पेक्ट्रल है।
• एक्स के कॉम्पैक्ट और खुले उपसमुच्चय का एक मनमाना चौराहा (इसलिए के से तत्वों का^$\circ$(X)) फिर से स्पेक्ट्रल है।
• X कोलमोगोरोव स्पेस है|टी₀परिभाषा के अनुसार, लेकिन सामान्य तौर पर टी1 स्पेस नहीं|टी₁. वास्तव में एक वर्णक्रमीय स्थान T है₁ अगर और केवल अगर यह हॉसडॉर्फ स्पेस है (या टी₂) यदि और केवल यदि यह एक बूलियन स्थान है यदि और केवल यदि K^$\circ$(X) एक बूलियन बीजगणित है।
• X को जोड़ीदार स्टोन स्पेस के रूप में देखा जा सकता है।

स्पेक्ट्रल मानचित्र

वर्णक्रमीय रिक्त स्थान 'X' और 'Y' के बीच एक वर्णक्रमीय मानचित्र 'f: X → Y' एक सतत मानचित्र है, जो 'f' के अंतर्गत 'Y' के प्रत्येक खुले और कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का पूर्व चित्र है फिर से कॉम्पैक्ट है।

स्पेक्ट्रल रिक्त स्थान की श्रेणी, जिसमें वर्णक्रमीय मानचित्र morphisms के रूप में हैं, बंधी वितरण जाली की श्रेणी के लिए श्रेणियों की समानता है (साथ में इस तरह के जाली के morphisms के साथ)। इस प्रति-तुल्यता में, एक वर्णक्रमीय स्थान X जाली K से मेल खाता है^$\circ$(एक्स)।

संदर्भ

• M. Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43—60
• Johnstone, Peter (1982), "II.3 Coherent locales", Stone Spaces, Cambridge University Press, pp. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3.
• Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spectral Spaces. New Mathematical Monographs. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723.